Задачи для самостоятельного решения

Решить показательные уравнения:

1. 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

21) 22)

23) 24)

25) 26)

27) 28)

29) 30)

1.5. Показательные неравенства

Показательными неравенствами называют неравенства вида где

_{Решение показательных неравенств основано на монотонности показательных функций (см. свойства показательной функции).}

_{Пример 1. Решить неравенство}

Т.к. то данное неравенство примет вид или Поскольку то последнее неравенство равносильно неравенству откуда

Пример 2. Решить неравенство

Т.к. , то данное неравенство равносильно неравенству Решая последнее неравенство методом интервалов, получим

Пример 3. Решить неравенство

Введём новую переменную Исходное неравенство примет вид . Решая неравенство методом интервалов, получим С учётом условия получаем Следовательно, , откуда

Пример 4. Решить неравенство

Т.к. при всех , то, разделив обе части неравенства на получим равносильное неравенство:

или Пусть тогда получим неравенство, которое решается методом интервалов: Учитывая, что получаем

Пример 5. Решить неравенство

Применяя способ группировки, получим или т.е. Полученное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:

или

нет решения.

Т.е.

Пример 6. Решить неравенство

Т.к. при умножив обе части неравенства на получим равносильное неравенство Учитывая, что переходим к равносильному неравенству

Пример 7. Решить неравенство

Пусть Тогда

Т.к. и то Решая методом интервалов последнее неравенство, имеем Следовательно,

Т.е.

Пример 8. Решить неравенство

Возможны два случая: 1) В этом случае данное неравенство равносильно неравенству Т.о., имеем систему неравенств

откуда находим

2. т. е. В этом случае получим систему неравенств

И

Задачи для самостоятельного решения

Решить показательные неравенства:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

21) 22)

23) 24)

25) 26)

27) 28)

29) 30)

1.6. Логарифмические уравнения

Пример 1.Решить уравнение

.

По определению логарифма имеем .

Отсюда

, , .

Пример 2. Решить уравнение

.

Перепишем уравнение в виде

.

Заменяя сумму логарифмов логарифмом произведения, получим

.

Отсюда находим

, .

Решив это уравнение, получим .

Пример 3. Решите уравнение   .

Найдем О.Д.З.:

Отсюда получаем

.

Переходим к квадратному уравнению:

,

   Получаем

В О.Д.З. входит только

Пример 4. Решите уравнение

О.Д.З. уравнения определяется системой неравенств:

Нетрудно видеть, что пересечением этих промежутков будет пустое множество. Т.е. система решений не имеет.

Пример 5. Решите уравнение

Сделаем замену:

Уравнение принимает вид .

Решив его, получим

Сделаем обратную замену:

    Пример 6. Решите уравнение

 Найдем О.Д.З. Для этого решим систему неравенств:

Отсюда получаем . 

Воспользовавшись правилом сложения логарифмов, переходим к уравнению

 Основания логарифмов одинаковы, поэтому получаем уравнение

.

Или

Решения этого уравнения:

   Первый корень не входит в О.Д.З., второй — входит.

Пример 7. Решите уравнение

 

О.Д.З.     Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

 

Оба ответа входят в область допустимых значений.

Пример 8. Решите уравнение

Для нахожден6ия О.Д.З. решим систему неравенств:

Отсюда,

Используя свойства логарифма, преобразуем уравнение:

Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем

.

Получаем

не принадлежит О.Д.З. Т. е. .

Пример 9. Решить уравнение . Найдем некоторый результат. Затем выполним проверку. Поиск ОДЗ в этом случае трудоемкий.

Нетрудно проверить, что является решением.

Пример 10. Решить уравнение

. (4)

ОДЗ уравнения .

Преобразуем выражение в правой части уравнения

.

В результате уравнение (4) примет вид

.

Прологарифмировав по основанию 3, получим или .

Решив квадратное уравнение относительно получим

Пример 11. Решить уравнение

ОДЗ уравнения: . Уравнение является однородным второго порядка относительно переменных и :

.

Решив данное уравнение как квадратное относительно переменной получим, что оно равносильно следующему .

Откуда имеем уравнения

и .

Заметив, что получим равносильные уравнения и

или и

Откуда получаем .

Пример 13. Решить уравнение

.

Преобразуем уравнение

.

Примем . Тогда

.

Откуда .

С учетом введенных обозначений исходное уравнение примет вид

.

Откуда

Найдем множество значений переменной . Для всех допустимых значений переменной имеем

и потому .

Учитывая далее, что а также принимая во внимание неравенство для всех , получаем, что

.

В результате из двух корней и подходит второй . Но только при (для ). Поэтому имеем уравнение , которое равносильно каждому из уравнений

.

Откуда