Задачи для самостоятельного решения

Решить уравнения:

₁₎ log₂x + log₄x +log₈x =11/3 14)

2) log₇x – log_x7 = 1,5 15)

3) ₁₆₎

4) 2 ₁₇₎

5) ₁₈₎

6) log x-log 5=1,5 19)

7) ; 20)

8) 21)

9) 22)

10) ; 23)

11) 24)

12) 25)

13) 26)

27)

28)

29)

30)

1.7. Логарифмические неравенства

Пример 1. Решите неравенство

 Найдем область допустимых значений. Выражение, стоящее под знаком логарифмической функции, должно принимать только положительные значения. Это значит, что искомая область допустимых значений определяется следующей системой неравенств:

Так как в основании логарифма стоит число, меньше единицы, соответствующая логарифмическая функция будет убывающей, а потому получаем неравенство:

.

Или

Получаем

.

   Окончательно, с учетом области допустимых значений получаем

.

Пример 2. Решите неравенство

Определим область допустимых значений:

На множестве допустимых значений неравенства проводим равносильные преобразования:

,

,

,

,

,

.

Или

.

Получаем

.

С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ

    .

Пример 3. Решите логарифмическое неравенство:

 Область допустимых значений неравенства определяется следующей системой:

.

Видно, что в области допустимых значений выражение, стоящее в основании логарифма всегда больше единицы, а потому равносильным будет переход к следующему неравенству:

.

С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:

.   

Пример 4. Решите неравенство:

Найдем область допустимых значений , для этого решим систему неравенств:

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма и перейдем к равносильному в области допустимых значений неравенству:

   Неравенство будет равносильно двум системам.

   

С учетом О.Д.З. получаем  

Пример 5. Решить неравенство

Найдем О.Д.З.:

В нашем неравенстве логарифм стоит в квадрате, поэтому это логарифмическое неравенство  мы будем решать с помощью замены переменных.

Сначала приведем логарифмы к одному основанию:

Сделаем замену:

Получим квадратное неравенство:

.

Значит,  .

Запишем это двойное неравенство в виде системы неравенств:

Получим систему:

  С учетом О.Д.З. получаем

Пример 6. Решить неравенство

.

Решение. Наше неравенство равносильно следующей системе неравенств:

Решая первые четыре неравенства, практически находим ОДЗ исходного неравенства:

Откуда: .

Решим теперь пятое неравенство системы. После элементарных преобразований получим неравенство

.

Умножим второй сомножитель на −1 и поменяем знак неравенства:

.

Нетрудно заметить, что корнями второго множителя в этом неравенстве являются числа 1 и -2. Поэтому, раскладывая второй множитель на одночлены первого порядка, получаем

.

Это неравенство легко решить методом интервалов: .

С учетом найденного ранее ОДЗ получаем окончательный ответ .

_{Пример 7.}

  .

.