Основные уравнения теории пластичности
Система уравнений, описывающая течение пластической среды в области деформации, включает:
уравнения равновесия материальной частицы
;
;
.
Здесь
(
= 1, 2, 3) – компоненты тензора напряжений,
а
(k
= 1, 2, 3) – координаты.
А.
Эйнштейн предложил компактную запись
уравнений такого типа. Используя такую
запись, эти три уравнения можно записать
в виде одного:
.
Суммирование производится по индексу
«k»;
условие несжимаемости (допущения):
,
или
(суммирование
по индексу «
»)
и
- компоненты вектора скорости материальной
частицы;
кинематические соотношения для скоростей деформаций (шесть) в сокращенном виде выглядит следующим образом:
(
=
1, 2, 3),
где
-
компоненты вектора скорости деформации;
уравнения, связывающие напряжения и скорости деформации (шесть)
(
=1,
2, 3)
г
де
-
среднее напряжение;
при
,
0 при
-
символ Кронеккера;
-
интенсивность касательных напряжений
(
=
1, 2, 3);
- интенсивность скоростей деформаций
сдвига (
= 1, 2, 3);
;
- зависимость вида Т = Т(Н, Т, Г, …), характеризующая свойства материала, где Т – температура, Г – степень деформации.
В эту систему могут входить уравнения, характеризующие тепловые процессы, условия разрушения и т.п.
Краевые задачи ОМД являются, как отмечалось, краевыми задачами механики сплошной среды. Во-первых, они нелинейные, так как нелинейные основные уравнения.
Во-вторых, геометрия объемной области течения металла с неизвестными заранее участками границ, как правило, довольно сложная. В-третьих, возникают трудности при описание граничных условий (трение, теплопередача и т.д.). Все это приводит к стремлению значительно упростить постановку задачи и описать наиболее важные стороны исследуемых процессов (идеализация). Используя условия геометрической симметрии или практической независимости каких-либо переменных от времени или координаты, иногда рассматривают плоские или осесимметричные стационарные течения.
Можно решать соответствующие краевые задачи для инструмента и для деформируемого материала. При этом инструмент чаще всего рассматривают как идеально упругую среду – изотропную и однородную, а деформируемый материал в зависимости от его свойств и условий обработки может быть аппроксимирован различными идеализированными средствами от идеальной жесткопластической до сжимаемой среды с наследственными свойствами.
Рассмотрим
простой пример осадки параллелепипеда
из идеально пластического материала.
Пусть такой параллелепипед сжимается
между абсолютно гладкими плитами (без
трения). И пусть на его боковых гранях
действуют равномерно распределенные
нормальные напряжения
и
.
Поставим задачу: найти распределение напряжений и скоростей деформации и определить конечные размеры параллелепипеда.
Будем
считать, что параллелепипед находится
в состояние текучести. Поверхность S
состоит из
двух частей
и
.
На
(боковой грани) действуют заданные
напряжения:
.
На
(контактные поверхности) заданы:
нормальная составляющая скорости
,
где
- скорость перемещения инструмента и
условие отсутствия трения
.
Зададим
напряжения следующим образом:
(полуобратный метод решения задачи).
В
результате решения нам необходимо найти
только
.
В
этом случае граничные условия в
напряжениях и уравнениях равновесия
(
=
1, 2, 3) тождественно удовлетворяются.
Будем
использовать безразмерные величины
,
где
- сопротивление деформации или предел
текучести.
Для
нахождения нормального давления
на
контакте используем условие пластичности:
.
После некоторых преобразований с учетом
формул получим
.
Решение этого уравнения дает
.
Рассматриваемому случаю сжатия в этой формуле соответствует знак «плюс», тогда имеем
.