1.8. Производная по направлению. Градиент

Для описания скорости изменения функции z=f(x,у) в точке по направлению, задаваемому вектором , введем понятие производной по направлению. Проведем через точку прямую , параллельную вектору . Выберем на прямой вторую точку , отстоящую от точки на расстоянии . При переходе от точки к точке функция z=f(x,у) испытывает приращение

.

Производной функции z=f(x,у) в точке по направлению вектора называется предел отношения при стремлении точки к точке

.

Если функция z=f(x,у) дифференцируема, то приращение функции вдоль прямой записывается в виде

где - бесконечно малая величина более высокого порядка малости по сравнению с и . Примем во внимание, что . Тогда отношение равно

+ .

Переходя к пределу при , и учитывая, что и - бесконечно малые величины, получаем формулу для производной функции z=f(x,у) по направлению

.

Пример 10. Вычислить производную функции по направлению вектора в точке .

Решение: Для нахождения направляющих косинусов, описывающих направление, задаваемое вектором , определим единичный вектор в указанном направлении, для чего разделим проекции вектора на его длину:

, .

Вычислим частные производные функции в точке : , , , . Производная по направлению вектора в точке равна

= .

В случае функции трех переменных имеем: и .

Во многих задачах при изучении поведения функции в данной точке пространства наибольший интерес представляет вопрос о направлении быстрейшего возрастания функции в точке. Это направление задаётся специальным вектором – градиентом.

Пусть функция u=f(x,y,z) имеет в точке M₀(x₀,y₀,z₀) непрерывные частные производные. Тогда в точке М₀ можно построить вектор с координатами:

.

Началом этого вектора служит точка М₀, в которой вычислены частные производные. Вектор называется градиентом скалярной функции u=f(x,y,z) в данной точке и обозначается grad или grad .

Таким образом,

Аналогично определяется градиент функции двух переменных u=f(x,y). Это – вектор на плоскости Oxy:

grad .

Пример 11. Найти градиент функции в точке М₁ (2,1).

Решение: , .

Производная по направлению может быть представлена в виде скалярного произведения вектора и единичного вектора вдоль указанного направления. Поскольку скалярное произведение принимает наибольшую величину, когда направления векторов и совпадают, то вектора указывает направление максимальной скорости возрастания функции , модуль этого вектора характеризует скорость возрастания функции в точке.

1.9. Частные производные и дифференциалы высших порядков

Пусть дана функция z= f (u,v), а и являются функциями переменных и . Частные производные

и могут быть рассмотрены как новые сложные функции двух переменных х и у. Их можно снова дифференцировать по этим переменным.

Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка и обозначаются следующим образом:

; ; ; .

Производные , называются смешанными производными второго порядка.

Пример 12. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение: , ,

, , ,

.

Следует отметить, что смешанные производные второго порядка, вычисленные с помощью различной последовательности дифференцирования по переменным и , оказались равны. Приведем без доказательства соответствующую теорему.

Теорема. Смешанные производные второго порядка равны при условии, что они непрерывны:

= .

Частные производные от частных производных второго порядка образуют частные производные третьего порядка:

;

и т.д.

Рассмотрим дифференциалы второго и более высоких порядков для функции z=f(х,у), имеющей непрерывные частные производные высоких порядков. Полный дифференциал первого порядка

+

содержит dx =x и dy=y. Эти величины не зависят от х и у, поэтому при дифференцировании по х или у их можно считать постоянными.

Полный дифференциал от полного дифференциала первого порядка называется полным дифференциалом второго порядка и обозначается :

= + +

+ + = + +

+ + =

= +2 + .

По аналогии можно получить полные дифференциалы третьего и т.д. порядков. Для дифференциалов высших порядков свойство инвариантности формы не выполняется.