Вопросы для самопроверки

1. Что представляет собой метод равномерного измельчения области ?

2. Дайте определение двойного интеграла.

3. Перечислите основные свойства двойного интеграла.

4. Сформулируйте теорему о среднем для двойного интеграла.

5. Какая двумерная область называется правильной относительно оси ?

6. Какими неравенствами описывается граница области, правильной относительно оси ?

7. Какая переменная полагается постоянной при внутреннем интегрировании?

6. Могут ли пределы внутреннего интегрирования в двойном интеграле быть константами?

7. Могут ли пределы внешнего интегрирования в двойном интеграле быть функциями?

8. Как записывается дифференциал площади в полярных координатах?

9. Каким образом описываются границы области интегрирования в полярных координатах?

10. Почему двойной интеграл используется для вычисления площади плоской фигуры?

11. Выведите формулу двойного интеграла для вычисления площади поверхности.

12. Когда предпочтителен переход к полярным координатам при вычислении двойного интеграла?

13. Выведите формулу для вычисления площади поверхности.

14. Выведите формулу для вычисления момента инерции пластины относительно начала координат.

Задачи для самостоятельного решения

Изменить порядок интегрирования в интегралах:

1. . Ответ: .

2. . Ответ: .

3. . Ответ: .

Вычислить двукратные интегралы:

4. . Ответ:

5. . Ответ: .

6. . Ответ: .

7. . Ответ: .

Вычислить следующие двукратные интегралы путем перехода к полярным координатам:

8. . Ответ: .

9. . Ответ: .

10. . Ответ: .

3. Тройной интеграл

3.1 Задача, приводящая к понятию тройного интеграла

Пусть требуется вычислить массу тела, заполняющего собой замкнутую область V, плотность масс которого задается непрерывной функцией u = f(x; y; z). Разобьем область V поверхностями на n частей. Выберем -тый участок разбиения объемом ΔV_i (i = 1,n). В каждом -том участке выбираем произвольную точку М_i(x_i;y_i;z_i) и определяем значение функции в этой точке . Масса -того участка разбиения приближенно может быть записана в виде . Для нахождения массы всего тела составим интегральную сумму для функции f(x; у; z) по области V.

Если предел интегральной суммы существует при неограниченном увеличении числа n так, что диаметр наибольшего участка разбиения стремится к нулю, то его называют тройным интегралом от функции u = f(x; y; z) по области V и обозначают

Здесь = dx dy dz - элемент объема.

Достаточным условием существования предела интегральной суммы и тройного интеграла является непрерывность подынтегральной функции.

Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двойной интеграл:

1. c - const.

2.

(Первые два свойства называются свойствами линейности тройного интеграла).

3. если области V₁ и V₂ составляют область .

4. Если в области интегрирования f(x;y;z) ≥ φ(x;y;z),

то и

5. Оценка тройного интеграла:

где т и М - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(х; у, z) в области V.

6. Теорема о среднем значении: если функция f(x; y; z) непрерывна в замкнутой области V, то в этой области существующая такая точка M₀ (x₀; y₀; z₀), что справедливо равенство

где V - объем тела.