5.2. Вычисление поверхностного интеграла II рода

Вычисление поверхностного интеграла II рода сводится к вычислению двойного интеграла.

Предположим, что функция R(x,у,z) непрерывна во всех точках поверхности S, заданной уравнением z =z(x,y), где z(x,y) – непрерывная функция в замкнутой области – проекции поверхности S на плоскость Оху.

Выберем ту сторону поверхности S, где нормаль к ней образует с осью Oz острый угол ( >0). Тогда Δσ_i > 0 (i = 1,2, ..., n).

Так как z_i = z(x_i,y_i), то интегральная сумма может быть записана в виде

Правая часть этого равенства есть интегральная сумма для функции R(x,y,z(x,y)), непрерывной в области D. Переходя к пределу при λ → 0 и , получаем формулу

выражающую поверхностный интеграл II рода по переменным х и у через двойной интеграл. Если выбрать вторую, нижнюю сторону поверхности S, то полученный двойной интеграл надо взять со знаком «минус». Поэтому

По аналогии в зависимости от выбранной стороны поверхности имеем:

где D_xz – проекция поверхности S на плоскость Oxz. Здесь поверхность S задана уравнением у = у(х,z).

Далее,

где D_yz – проекции поверхности S на плоскость Oyz. Здесь поверхность S задана уравнением х = х(у,z).

Знаки перед интегралами соответствуют знакам косинусов углов между нормалью к поверхности и осью, перпендикулярной плоскости проецирования.

Для вычисления поверхностного интеграла II рода общего вида используют формулы перехода к двойным интегралам, при этом поверхность S проектируется на все три координатные плоскости:

Можно показать справедливость равенств где ds – элемент площади поверхности S; – направляющие косинусы нормали к выбранной стороне поверхности S. Это позволяет представить поверхностный интеграл в виде:

Пример 31. Вычислить ²dxdy , где σ – часть плоскости x+y+z=1, заключённая в первом октанте, ( >0).

Решение: На рисунке 32 изображена заданная часть плоскости. Нормальный вектор , соответствующий указанной стороне поверхности, образует с осью Оz острый угол. Поэтому перед двойным интегралом в формуле следует брать знак «плюс».

.

Пример 32. Вычислить поверхностный интеграл

по верхней стороне части плоскости 2х — 3y + z = 6, лежащей в IV октанте.

Решение: На рисунке 33 изображена заданная часть плоскости.

Нормаль , соответствующая указанной стороне поверхности, образует с осью Оу тупой угол, а с осями Ох и Oz - острые. В этом можно убедиться, найдя направляющие косинусы

нормального вектора = (2; —3; 1) плоскости:

Следовательно,

5.3. Формула Остроградского-Гаусса

Связь между поверхностным интегралом II рода по замкнутой поверхности и тройным интегралом по объему, ограниченному этой поверхностью устанавливает теорема.

Теорема. Если функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в пространственной области V, то имеет место формула

где S – граница области V, причем интегрирование по S производится по ее внешней стороне. Формула называется формулой Остроградского-Гаусса.

Пусть область V ограничена снизу поверхностью S₁, с уравнением , сверху – поверхностью S₂, уравнение которой . Функции z₁(х,у) и z₂(x,у) непрерывны в замкнутой области D – проекции V на плоскость Оху .Область V сбоку ограничена цилиндрической поверхностью S₃, образующие которой параллельны оси Oz (см. рис. 34).

Рассмотрим тройной интеграл

Двойные интегралы в правой части равенства заменим поверхностными интегралами II рода по внешней стороне поверхностей S_i и S₂ соответственно.

Получаем

Добавляя равный нулю интеграл по внешней стороне S₃, получим:

где S – поверхность, ограничивающая область V.

По аналогии доказываются формулы

Складывая почленно равенства, получаем формулу Остроградского-Гаусса.

Подынтегральное выражение называется дивергенцией (расходимостью) векторного поля

и обозначается . Полем называется область пространства, в каждой точке которой определено значение скалярной (скалярное поле) или векторной (векторное поле) величины. Дивергенция векторного поля связана с количеством выходящих из данного микрообъема или входящих в него силовых линий векторного поля, что в свою очередь связано с наличием источников или стоков. В электростатике, например, отличие от нуля дивергенции в микрообъеме связано с наличием положительных или отрицательных зарядов.

Перечислим свойства дивергенции.

1. Дивергенция постоянного вектора равна нулю

2. , где с-константа.

3. , т.е. дивергенция суммы векторов равна сумме дивергенций этих векторов.

4. Если скалярная функция, вектор, то .

Поскольку левая часть формулы Остроградского представляет собой поток векторного поля через замкнутую поверхность, то формула Остроградского означает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность равен тройному интегралу от дивергенции поля по объему, ограниченному поверхностью.

Формулу Остроградского-Гаусса можно использовать для быстрого вычисления поверхностных интегралов II рода по замкнутым поверхностям.

Пример 33. Вычислить , где S –внешняя поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями ,

Решение: По формуле Остроградского-Гаусса находим: