- •Оглавление
- •1. Предмет математического программирования. Линейное программирование
- •1.1. Введение. Предмет математического программирования
- •1.2. Линейное программирование. Общие понятия
- •1.3. Построение математических моделей простейших экономических задач
- •1.4. Замена неравенств уравнениями
- •1.5. Основные виды записи задач линейного программирования
- •Задание для самостоятельной работы
- •2. Графическое решение задачи линейного программирования
- •2.1. Свойства решений задач линейного программирования
- •2.2. Основные случаи графического решения задач линейного программирования
- •Задания для самостоятельной работы
- •3. Симплексный метод решения задач линейного программирования
- •3.1. Построение начального опорного плана
- •3.2. Симплексные таблицы. Признак оптимальности опорного плана
- •3.3. Переход к нехудшему опорному плану
- •1 Итерация:
- •Задания для самостоятельной работы
- •4. Двойственность в линейном программировании
- •4.1. Понятие двойственности
- •4.2. Двойственный симплексный метод
- •Задания для самостоятельной работы
- •5. Элементы теории матричных игр
- •5.1. Матричные игры с нулевой суммой
- •5.2. Максиминные и минимаксные стратегии игроков
- •5.3. Чистые и смешанные стратегии и их свойства
- •5.4. Приведение матричной игры к задаче линейного программирования
- •1 Стр доминирует над 3 стр
- •Задание для самостоятельной работы
- •6. Транспортная задача линейного программирования
- •6.1. Постановка транспортной задачи и ее математическая модель
- •6.2. Закрытая и открытая модели транспортной задачи
- •6.3. Построение исходного опорного плана
- •1. Метод северо-западного угла
- •2. Метод «минимального элемента»
- •6.4. Метод потенциалов решения транспортной задачи, признак оптимальности опорных планов
- •6.5. Решение транспортной задачи с открытой моделью
- •Задания для самостоятельной работы
- •7. Элементы сетевого планирования
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Временные параметры сети (рассмотрим на примере)
- •Задания для самостоятельной работы
- •8. Решение задач линейного программирования с использованием эвм
- •Задание для самостоятельной работы
- •Список используемой литературы
- •400005, Г. Волгоград, просп. Им. В. И. Ленина, 28, корп. 1.
- •403874, Г. Камышин, ул. Ленина, 5.
3.1. Построение начального опорного плана
1. Пусть задача линейного программирования представлена целевой функцией Z=c1х1 +с2х2 +...+сnхn = сjхj и системой ограничений, заданной в каноническом виде
Говорят, что ограничение задачи линейного программирования имеет предпочтительный вид, если вi 0 и левая часть этого ограничения содержит переменную с коэффициентом 1, а в остальные ограничения – равенства она входит с коэффициентом равным 0.
Пример 7.
Первое и второе ограничения имеют предпочтительный вид, а третье – нет.
Если каждое ограничение – равенство задачи линейного программирования имеет предпочтительный вид, то и система ограничений представлена в предпочтительном виде. В этом случае легко найти ее опорное решение: все свободные переменные приравниваются к нулю, тогда базисные переменные равны свободным членам.
Пример 8.
|
|
а) предпочтительными, т. е. базисными переменными являются х2, х3, х4, а свободными – х1 и х5 х1 = 0, х5 = 0, а х2 = 10, х3 = 0, х4 = 2. Тогда начальный опорный план =(0; 10; 80; 32; 0) – угловая точка (согласно теореме 1).
б) пусть система ограничений имеет вид вi; вi 0 (i = ) в задаче линейного программирования на max (задача об использовании сырья). Сведем задачу к каноническому виду, для этого добавим к левым частям неравенств дополнительные переменные хn + i 0 (i = ), тогда получим систему равенств вi; вi 0 (i = ), которая будет иметь предпочтительный вид и, следовательно, начальный опорный план будет = (0,...0, в1, в2,…, вm) (так как в этой системе все дополнительные переменные будут базисными, а в целевую функцию дополнительные переменные входят с коэффициентом равным 0), то Z = c1x1 + c2x2 + … cnxn + 0xn+1 + …0xn+m.
в) в задачах линейного программирования на min (задача о составлении рациона) система ограничений имеет вид вi; вi 0, (i = ). Если мы сведем эту задачу к каноническому виду, то надо из каждого неравенства (из левой части) вычесть дополнительные переменные хn+i 0 (i = ). Получим систему вi; вi 0, (i = ), однако теперь система ограничений не имеет предпочтительного вида, так как дополнительные переменные хn + i входят в левую часть с коэффициентами (– 1). В этом случае вводится так называемый искусственный базис: к левым частям ограничений равенств, не имеющих предпочтительного вида, добавляют искусственные переменные i.
В целевую функцию переменные i вводят с коэффициентом М в случае решения задачи на min и с коэффициентом (– M) для задачи на max, где М – большое положительное число. Полученная задача называется М-задачей, которая соответствует исходной. Она всегда имеет предпочтительный вид.
Пусть исходная задача линейного программирования имеет вид:
max(min) Z = ,
причем ни одно из ограничений не имеет предпочтительной переменной. Тогда М-задача запишется так:
max (min) = – (+) ,
вi ,(i = ),
хj 0, (j = ), i 0 , (i = ).
Эта система ограничений имеет предпочтительный вид, ее начальный опорный план = (0,...0, в1, в2, …, вm). Если некоторые из уравнений исходной системы ограничений имеют предпочтительный вид, то в них не следует вводить искусственные переменные. Итак, если в оптимальном плане = (х1, x2, .., xn, 1, 2, .., m) М-задачи все искусственные переменные I = 0 (i = ), то план = (х1, x2, .., хn) является оптимальным планом исходной задачи. Можно сказать, что если в результате применения симплексного метода к М-задаче получен оптимальный план, в котором все искусственные переменные I = 0, то его первые n-компоненты дают оптимальный план исходной задачи. Если же в оптимальном плане М-задачи хотя бы одна из i 0, то исходная задача не имеет допустимых планов, т. е. ее условия не совместны.