1-1 Высшая математика / visshaya_matematika_chast_IV
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§5. Індивідуальне завдання 1.5 |
|
|
|
|
|
|
81 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
4. |
Обчислити синус кута між прямою L : x − 2z − 4 = 0; |
і площи- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + y + z +12 = 0 |
|
||||||||
ною P : y + 2z +12 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
5. |
|
Записати рівняння |
|
площини, |
яка |
проходить |
через пряму |
|||||||||||||||||||||||||
|
x |
= |
y + 2 |
= |
z + 2 |
|
перпендикулярно площині x − y − z − 4 = 0 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
6. |
Обчислити відстань d між прямими: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 4 |
= |
y + 4 |
= |
z + 4 |
і |
x +1 |
= |
|
y |
= |
z |
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
7. |
|
1 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
4 |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Чи перетинаються задані прямі: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
= |
|
y − 2 |
= |
z |
|
і |
|
x − 2 |
|
= |
y −1 |
= |
z + 6 |
? |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
0 |
6 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
8. |
|
Задано чотири точки |
A(1; − 3; 0) , |
B(0; 2; 4) , |
C(−3; 4; −1) і |
D(−4; 4; − 8) . Скласти рівняння:
a) площини P, яка проходить через точки А, В, С; б) прямої АВ;
в) прямої DМ, що перпендикулярна до площини P; г) прямої CN, що паралельна прямій АВ;
д) площиниF, якапроходитьчерезточкуD перпендикулярнопрямійАВ. Обчислити:
е) косинус кута між координатною площиною Оху та площиною P.
Варіант №16 1. Скласти канонічне рівняння прямої, що проходить через точку
M (0; − 2; 4) :
а) паралельно вектору SG = 3iG+ Gj − 5kG ;
б) паралельно прямій |
3x − 2 y + 5z −10 = 0; |
|
2x + y − z = 0. |
2. Дослідити взаємне розташування прямої L і площини P. У випадку їх перетину у точці М, знайти координати цієї точки:
a) L : |
x + 5 |
= |
|
y |
= |
z +1 |
, |
|
|
P : 3x − y − z + 3 = 0 ; |
||||
1 |
0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||
б) L : |
x −1 |
= |
|
y − 4 |
= |
|
z +1 |
|
, |
P : 2x + 6 y + 3z − 23 = 0 ; |
||||
−3 |
|
|
2 |
|
−2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) L : |
x + 5 |
|
= |
|
y −1 |
= |
z + 4 |
, |
P : 5x − y − z − 20 = 0 . |
|||||
−8 |
|
|
|
5 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
82 Глава 1. Лінійна алгебра та аналітична геометрія
|
|
|
3. |
Знайти радіус-вектор точки Q, яка симетрична точці P(−4; − 2; 1) |
||||||||||||||||||||||||||||||
відносно прямої, що проходить через точки A(5; 11; − 4) і B(8; 11; 5) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4. |
Обчислити синус кута між прямою L : x + 2 y − z +12 = 0; |
і пло- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − y + z + 6 = 0 |
|
|
|
|
|
|||||||
щиною P : x + 3y − z − 2 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
5. |
Записати |
рівняння |
площини, яка |
проходить |
через |
пряму |
|||||||||||||||||||||||||
|
x −1 |
= |
y +1 |
= |
z + 2 |
|
перпендикулярно площині x − y + 2z − 5 = 0 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
6. Обчислитивідстаньd міжпрямими: |
x |
|
= |
y |
= |
|
z + 3 |
|
і |
x |
= |
y |
= |
z − 5 |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
−1 |
|
−1 |
1 |
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
7. Чи перетинаються задані прямі: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
= |
y − 2 |
= |
z +1 |
і |
x − 3 |
= |
y + 3 |
= |
z + 2 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
8. |
Задано чотири точки A(3; −1; 0) , B(−1; 2; − 3) , |
C(−2; 5; − 3) і |
D(1; − 6; 3) . Скласти рівняння:
a) площини P, яка проходить через точки А, В, С; б) прямої АВ;
в) прямої DМ, що перпендикулярна до площини P; г) прямої CN, що паралельна прямій АВ;
д) площиниF, якапроходитьчерезточкуD перпендикулярнопрямійАВ. Обчислити:
е) косинус кута між координатною площиною Оху та площиною P.
Варіант №17 1. Скласти канонічне рівняння прямої, що проходить через точку
M (−7; 4; 4) :
а) паралельно вектору SG = iG− Gj + 2kG ;
б) паралельно прямій |
x + 2 y + 3 = 0; |
|
x − 3 y − 2z = 0. |
2. Дослідити взаємне розташування прямої L і площини P. У випадку їх перетину у точці М, знайти координати цієї точки:
a) L : |
x + 2 |
= |
|
y + 2 |
= |
z + 8 |
, |
|
P : |
x − y − z −15 = 0 ; |
||||
1 |
|
0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
б) L : |
x −10 |
= |
|
y − 6 |
= |
z − 4 |
, |
P : |
4x + 3y − 58 = 0 ; |
|||||
0 |
|
0 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§5. Індивідуальне завдання 1.5 |
|
83 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) L : |
x + 3 |
= |
y + 2 |
= |
z + 7 |
, |
P : 2 y + z + 3 = 0 . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
8 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
3. Знайти радіус-вектор точки Q, яка симетрична точці |
P(3; −1; 0) |
|||||||||||
відносно прямої, що проходить через точки A(0; 0; −1) і B(1; 0; 1) . |
|||||||||||||||
|
|
|
4. Обчислити синус кута між прямою L : x − z = 0; |
0 |
і площи- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 y + z + 4 = |
|
|
ною P : x + 4z = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
5. |
Записати |
рівняння площини, яка проходить через пряму |
||||||||||
|
x |
= |
y + 3 |
= |
z − 2 |
перпендикулярно площині x + y + 2z −1 = 0 . |
|
|
|||||||
1 |
−1 |
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Обчислити відстань d між прямими:
|
|
x +1 |
= |
|
y − 5 |
= |
z |
|
і |
|
x − 2 |
|
= |
y + 4 |
|
= |
z − 5 |
. |
|
|||||||
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|||||||||
7. Чи перетинаються задані прямі: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x + 4 |
= |
y − 3 |
|
= |
z − 3 |
і |
|
x |
= |
|
y − 4 |
= |
z − 4 |
|
? |
||||||||||
2 |
|
−4 |
|
|
−4 |
3 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||
8. Задано чотири точки |
A(0; − 4; − 3) , |
B(1; − 3; 2) , C(5; 1; 2) і |
D(3; 5; 0) . Скласти рівняння:
a) площини P, яка проходить через точки А, В, С; б) прямої АВ;
в) прямої DМ, що перпендикулярна до площини P; г) прямої CN, що паралельна прямій АВ;
д) площиниF, якапроходитьчерезточкуD перпендикулярнопрямійАВ. Обчислити:
е) косинус кута між координатною площиною Оху та площиною P.
Варіант №18 1. Скласти канонічне рівняння прямої, що проходить через точку
M (−8; − 4; − 4) :
а) паралельно вектору SG = 5iG+ 5 Gj + 2kG ;
б) паралельно прямій |
x − 5y − 4z −1 = 0; |
|
x − 5y + 3 = 0. |
2. Дослідити взаємне розташування прямої L і площини P. У випадку їх перетину у точці М, знайти координати цієї точки:
84 |
|
|
Глава 1. Лінійна алгебра та аналітична геометрія |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) L : |
x + 9 |
= |
|
y −1 |
= |
z − 2 |
|
, |
|
P : x − y −1 = 0 ; |
||||||
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
б) L : |
x −1 |
= |
|
y −11 |
= |
|
z + 8 |
|
, |
P : x + y −12 = 0 ; |
||||||
5 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
|
−8 |
|
|
|
|
|||
в) L : |
x + 5 |
= |
|
y + 2 |
|
= |
z + 7 |
|
|
, |
P : 3x + 9 y + 2z + 6 = 0 . |
|||||
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
3.Знайти радіус-вектор точкиQ, яка симетрична точці P(−1; 2; 1) відносно прямої, що проходить через точки A(−1; 2; 0) і B(−2; 4; 0) .
4.Обчислити синус кута між прямою L : x − y + 4 = 0 ; і площиною
y −1 = 0
P : x − 5y + z +12 = 0 .
|
5. |
Записати рівняння |
площини, яка проходить |
через пряму |
|||||||||||||||||||||||||||||||
x + 4 |
= |
y + 2 |
= |
|
z |
|
|
перпендикулярно площині |
|
x + 3y + 2z +10 = 0 . |
|||||||||||||||||||||||||
5 |
|
−4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
6. |
Обчислити відстань d між прямими: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x + 3 |
|
= |
y + 5 |
= |
z |
|
і |
x − 3 |
= |
y + 3 |
= |
z + 2 |
. |
|
||||||||||||||
|
7. |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
5 |
|
|
|
6 |
|
|
−6 |
|
||||||||
|
Чи перетинаються задані прямі: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
= |
|
y + 2 |
= |
z −1 |
|
і |
|
x −1 |
= |
|
y − 3 |
= |
z + 7 |
? |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
−2 |
5 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
−1 |
|
||||||||||
|
8. |
Задано чотири точки |
A(0; 2; − 4) , |
B(−3; − 7; 2) , |
C(0; − 3; − 4) і |
D(1; − 5; − 8) . Скласти рівняння:
a) площини P, яка проходить через точки А, В, С; б) прямої АВ;
в) прямої DМ, що перпендикулярна до площини P; г) прямої CN, що паралельна прямій АВ;
д) площиниF, якапроходитьчерезточкуD перпендикулярнопрямійАВ. Обчислити:
е) косинус кута між координатною площиною Оху та площиною P.
Варіант №19 1. Скласти канонічне рівняння прямої, що проходить через точку
M (1; 5; 1) :
а) паралельно вектору SG = 3iG+ 3 Gj + 4kG ;
§5. Індивідуальне завдання 1.5 |
85 |
|
|
б) паралельно прямій x + y + 2z +1 = 0;x + y − 5z − 5 = 0.
2. Дослідити взаємне розташування прямої L і площини P. У випадку їх перетину у точці М, знайти координати цієї точки:
|
|
|
a) L : |
|
x + 3 |
= |
|
y −1 |
= |
|
|
z − 4 |
|
, |
|
|
P : x + y + 6 = 0 ; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
б) L : |
|
x − 7 |
= |
|
|
y +1 |
= |
|
z − 6 |
, |
|
|
P : 3x − 5y − 4z − 2 = 0 ; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
7 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
в) L : |
|
x + 4 |
= |
|
y +1 |
= |
z + 6 |
, |
|
|
P : 5x − y + 4z − 2 = 0 . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3. Знайти радіус-вектор точки Q, яка симетрична точці P(− 4; 4; − 2) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
відноснопрямої, щопроходитьчерезточки A(10; − 4; − 37) і B(−14; 20; 59) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4. Обчислити синус кута між прямою L : x + y − 2z −14 = 0; і пло- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + 2 y + z + 4 = 0 |
|||||
щиною P : x + 3 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
5. Записати рівняння площини, яка проходить через пряму |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
= |
y + 3 |
= |
|
z |
|
|
перпендикулярно площині 3x − y − 3 = 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
9 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
−10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
6. Обчислити відстань d між прямими: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 5 |
= |
|
y + 3 |
= |
|
z + 4 |
і |
|
x −1 |
= |
y + 8 |
= |
|
z + 4 |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
6 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|||||||
|
|
|
7. Чи перетинаються задані прямі: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 2 |
|
|
= |
y − 2 |
|
= |
z + 3 |
|
і |
x + 5 |
|
= |
y − 2 |
= |
z + 5 |
? |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
−3 |
|||||||||||||||
|
|
|
8. Задано чотири точки |
A(2; 2; − 3) , |
B(−3; −1; − 2) , C(−2; 4; − 3) і |
D(−5; − 3; 2) . Скласти рівняння:
a) площини P, яка проходить через точки А, В, С; б) прямої АВ;
в) прямої DМ, що перпендикулярна до площини P; г) прямої CN, що паралельна прямій АВ;
д) площиниF, якапроходитьчерезточкуD перпендикулярнопрямійАВ. Обчислити:
е) косинус кута між координатною площиною Оху та площиною P.
Варіант №20 1. Скласти канонічне рівняння прямої, що проходить через точку
M (0; 5; − 6) :
86 |
Глава 1. Лінійна алгебра та аналітична геометрія |
|
|
|
|
|
а) паралельно вектору SG = −7iG− 3 Gj + 2kG ; |
|
|
б) паралельно прямій |
3x − y − 2z − 3 = 0; |
|
|
x + 6 y +1 = 0. |
2. Дослідити взаємне розташування прямої L і площини P. У випадку їх перетину у точці М, знайти координати цієї точки:
a) L : |
x + 5 |
= |
y + 3 |
= |
|
z − 4 |
|
|
, |
P : x + y +14 = 0 ; |
|
||
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|||||
б) L : |
x + 7 |
= |
y + 9 |
= |
|
z − 2 |
, |
P : x + y +16 = 0 ; |
|
||||
0 |
0 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||
в) L : |
x − 2 |
= |
y + 4 |
= |
z + 2 |
|
, |
P : 3x − 5y + 6z −1 = 0 . |
|
||||
1 |
−2 |
|
|
||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
3. Знайти радіус-вектор точки Q, яка симетрична точці P(3; 0; −1) |
|||||||||||||
відносно прямої, що проходить через точки A(0; 1; 0) і B(1; 2; −1) . |
|
||||||||||||
4. Обчислити синус кута між прямою L : x + 3y − 2z +12 = 0; |
і пло- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + z − 3 = 0 |
|
щиною P : 3x − 4y + 2z − 29 = 0 .
5. Записати рівняння площини, яка проходить через пряму x −1 2 = y1−1 = z−+13 перпендикулярно площині x + y − 3 = 0 .
6. Обчислити відстань d між прямими:
|
x + 3 |
= |
|
y − 3 |
= |
|
z + 2 |
і |
|
x + 2 |
= |
|
y + 2 |
= |
|
z +1 |
. |
||||||
1 |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
6 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
||||||||
7. Чи перетинаються задані прямі: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x +1 |
= |
y + 4 |
= |
z + 2 |
|
і |
x + 9 |
= |
y + 5 |
= |
z +1 |
? |
||||||||||
|
7 |
|
|
8 |
|
|
|
−3 |
|
|
1 |
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
||||
8. Задано чотири точки A(−1; − 4; − 2) , |
|
B(−1; 1; − 2) , C(−7; − 8; 3) і |
D(−5; −1; 0) . Скласти рівняння:
a) площини P, яка проходить через точки А, В, С; б) прямої АВ;
в) прямої DМ, що перпендикулярна до площини P; г) прямої CN, що паралельна прямій АВ;
д) площиниF, якапроходитьчерезточкуD перпендикулярнопрямійАВ. Обчислити:
е) косинус кута між координатною площиною Оху та площиною P.
§5. Індивідуальне завдання 1.5 |
87 |
|
|
Варіант №21 1. Скласти канонічне рівняння прямої, що проходить через точку
M (−4; − 4; − 2) :
а) паралельно вектору SG = 7iG+ 5 Gj ;
x + 3y + 3 = 0;
б) паралельно прямій 4x − 2 y + 4z −1 = 0.
2. Дослідити взаємне розташування прямої L і площини P. У випадку їх перетину у точці М, знайти координати цієї точки:
a) L : |
x − 3 |
= |
|
|
y +1 |
= |
|
z + 2 |
|
, |
P : x − 3y −12 = 0 ; |
|
|||||
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||
б) L : |
x − 7 |
= |
|
|
y +1 |
= |
|
z − 2 |
, |
P : x + y −14z + 22 = 0 ; |
|
||||||
3 |
|
|
−3 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||
в) L : |
x −1 |
|
= |
|
y + 5 |
|
= |
z |
, |
|
P : x + 7 y +12z +12 = 0 . |
|
|||||
1 |
|
|
|
−3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
3. Знайти радіус-вектор точки Q, яка симетрична точці P(−1; 0; 3) |
|||||||||||||||||
відносно прямої, що проходить через точки A(0; −1; 0) і B(0; 1; 1) . |
|||||||||||||||||
4. Обчислити синус кута між прямою L : x + y − 2z +10 = 0; |
і пло- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x − 2 y − 2z −11 = |
0 |
щиною P : 3x + y + 2z −13 = 0 .
5. Записати рівняння площини, яка проходить через пряму x +0 2 = 0y = z −4 3 перпендикулярно площині x + y + 2 = 0 .
6. Обчислити відстань d між прямими:
|
|
x + 3 |
= |
|
y −1 |
= |
|
z − 2 |
і |
|
x + 3 |
= |
|
y + 3 |
= |
|
z +1 |
. |
||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||||||
7. Чи перетинаються задані прямі: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x + 4 |
= |
y + 6 |
|
= |
z + 3 |
|
і |
x + 7 |
|
= |
|
y − 6 |
= |
z − 7 |
? |
||||||||
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
−3 |
|
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|||||||
8. Задано чотири точки A(−2; −1; − 2) , |
B(−5; −1; − 4) , C(0; − 6; − 2) і |
D(−1; 3; 2) . Скласти рівняння:
a) площини P, яка проходить через точки А, В, С; б) прямої АВ;
в) прямої DМ, що перпендикулярна до площини P; г) прямої CN, що паралельна прямій АВ;
д) площиниF, якапроходитьчерезточкуD перпендикулярнопрямійАВ.
88 |
Глава 1. Лінійна алгебра та аналітична геометрія |
|
|
Обчислити:
е) косинус кута між координатною площиною Оху та площиною P.
Варіант №22 1. Скласти канонічне рівняння прямої, що проходить через точку
M (2; 5; − 2) :
а) паралельно вектору SG = 5iG+ Gj + 4kG ;
x − y − 2z + 5 = 0;
б) паралельно прямій
x + 3 y + 2z − 3 = 0.
2. Дослідити взаємне розташування прямої L і площини P. У випадку їх перетину у точці М, знайти координати цієї точки:
a) L : |
x − 3 |
= |
|
y + 7 |
= |
|
|
z + 8 |
|
, |
P : x − 3y + 2z − 5 = 0 ; |
|||
4 |
|
2 |
|
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) L : |
x − 3 |
= |
|
y − 3 |
= |
|
|
z + 2 |
, |
P : 7x + 3y − 30 = 0 ; |
||||
0 |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) L : |
x −1 |
= |
|
y − 4 |
= |
z + 5 |
|
, |
P : 3x + 7 y + 8z + 59 = 0 . |
|||||
3 |
|
|
7 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
3. Знайти радіус-вектор точки Q, яка симетрична точці P(2; 1; −1) відносно прямої, що проходить через точки A(2; 0; −1) і B(4; 0; − 2) .
4.Обчислити синус кута між прямою L : x + 3 y + 2z − 20 = 0 ; і пло-
x + 2 y + 2 z −17 = 0
щиною P : 2x + 3y + 2z + 23 = 0 .
5. Записати рівняння площини, яка проходить через пряму x 1+ 5 = y 1− 4 = 2z перпендикулярно площині x − y + 9 = 0 .
6. Обчислити відстань d між прямими:
|
x − 3 |
= |
|
y +1 |
= |
z − 4 |
|
|
і |
x − 3 |
= |
|
y + 4 |
= |
z − 2 |
. |
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
−3 |
||||||||||||||
7. Чи перетинаються задані прямі: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x +1 |
= |
y +1 |
= |
z −1 |
|
і |
|
x |
= |
y − 5 |
|
= |
z +1 |
? |
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
−1 |
|||||||||||||||
8. Задано чотири точки A(−4; 4; 2) , |
|
B(−1; 3; − 2) , C(−1; 2; 1) і |
D(−9; − 3; − 6) . Скласти рівняння:
a) площини P, яка проходить через точки А, В, С;
§5. Індивідуальне завдання 1.5 |
89 |
|
|
б) прямої АВ;
в) прямої DМ, що перпендикулярна до площини P; г) прямої CN, що паралельна прямій АВ;
д) площиниF, якапроходитьчерезточкуD перпендикулярнопрямійАВ. Обчислити:
е) косинус кута між координатною площиною Оху та площиною P.
Варіант №23 1. Скласти канонічне рівняння прямої, що проходить через точку
M (1; 5; 0) :
а) паралельно вектору SG = −iG+ 2kG ;
3x + 4 y − 3 = 0 ;
б) паралельно прямій
5x − 2 y − 6 z = 0.
2. Дослідити взаємне розташування прямої L і площини P. У випадку їх перетину у точці М, знайти координати цієї точки:
a) L : |
x − 5 |
= |
y − 2 |
= |
z + 5 |
, |
P : 5x − y + 5z − 4 = 0 ; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
−1 |
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) L : |
x |
= |
|
y −11 |
= |
z − 4 |
, |
|
P : 3x + 4 y −11z = 0 ; |
||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
в) L : |
x |
= |
|
y + 5 |
= |
z |
, |
|
|
|
P : 5x + 4y +12 = 0 . |
||||||
4 |
|
|
−3 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3. Знайти радіус-вектор точки Q, яка симетрична точці P(−2; 4; − 6) відносно прямої, що проходить через точки A(2; 12; 6) і B(−14; − 8; − 2) .
|
|
|
4. Обчислити синус кута між прямою L : 3x − 2 y + z + 8 = 0; |
і пло- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
x + y + 3z = 0 |
|
щиною P : |
|
x + 2 y + z −1 = 0 . |
|
|||||
|
|
|
5. Записати рівняння площини, яка проходить через пряму |
|||||
|
x |
= |
y −1 |
= |
|
z |
перпендикулярно площині 3x − 2y − z − 5 = 0 . |
|
3 |
2 |
13 |
|
|||||
|
|
|
|
6. Обчислити відстань d між прямими:
x − 5 |
= |
y − 6 |
= |
z −1 |
|
і |
x + 5 |
= |
y −1 |
= |
z |
. |
|
1 |
4 |
−1 |
|
2 |
−4 |
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
7. Чи перетинаються задані прямі:
x − 3 |
= |
y + 2 |
= |
|
z |
і |
x − 4 |
= |
y − 8 |
= |
z + 2 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
−5 |
|
1 |
12 |
3 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
6 |
|
90 |
Глава 1. Лінійна алгебра та аналітична геометрія |
|
|
8. |
Задано чотири точки A(0; 2; 0) , B(−1; 0; − 9) , C(−1; 4; − 7) і |
D(7; 0; − 7) . Скласти рівняння:
a) площини P, яка проходить через точки А, В, С; б) прямої АВ;
в) прямої DМ, що перпендикулярна до площини P; г) прямої CN, що паралельна прямій АВ;
д) площиниF, якапроходитьчерезточкуD перпендикулярнопрямійАВ. Обчислити:
е) косинус кута між координатною площиною Оху та площиною P.
Варіант №24 1. Скласти канонічне рівняння прямої, що проходить через точку
M (8; − 5; −1) :
а) паралельно вектору SG = −7iG− 5 Gj + 4kG;
б) паралельно прямій x − y +1 = 0;
5x − 2 y + 2z − 5 = 0.
2. Дослідити взаємне розташування прямої L і площини P. У випадку їх перетину у точці М, знайти координати цієї точки:
a) L : |
x + 3 |
|
= |
|
y +1 |
|
= |
|
z + 2 |
|
|
, |
|
P : x − y + 4z + 7 = 0 ; |
||
5 |
|
1 |
|
|
−1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) L : |
x + 2 |
= |
|
y +15 |
= |
z −1 |
, |
P : 3y + z + 29 = 0 ; |
||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
−9 |
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
||||
в) L : |
x + 4 |
= |
|
y +1 |
= |
z + 4 |
|
, |
P : 8x + y −10z − 69 = 0 . |
|||||||
5 |
|
2 |
|
−2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Знайти радіус-вектор точки Q, яка симетрична точці P(8; 0; − 21) |
|
відноснопрямої, щопроходитьчерезточки A(−17; −1; −19) і B(39; −1; 13) . |
||
4. |
Обчислити синус кута між прямою L : |
y − 5 = 0; і площиною |
|
|
x + 2z = 0 |
P: x − 3y − 3z − 5 = 0 .
5.Записати рівняння площини, яка проходить через пряму
x 7+ 3 = 2y = z−10+1 перпендикулярно площині 2x + 3y + 2z + 8 = 0 . 6. Обчислити відстань d між прямими:
x |
= |
y + 3 |
= |
z − 4 |
і |
x + 2 |
= |
y + 4 |
= |
z + 3 |
. |
2 |
3 |
|
2 |
9 |
|
||||||
|
2 |
|
|
5 |
|