1-1 Высшая математика / visshaya_matematika_chast_IV
.pdfОсновні позначення |
11 |
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∫∫ f (x, y, z) dσ |
— поверхневийінтегралпершогородувідфунк- |
σ |
по поверхні σ . |
ції f (x, y, z) |
∫∫ P(x, y, z) dydz + Q(x, y, z) dzdx + R(x, y, z) dxdy — поверхневий
σ
інтегралдругогородувідвектор-функції P (x, y, z)i + Q(x, y, z) j + + R(x, y, z) k по вибраній стороні поверхні σ .
grad u = |
u — градієнт скалярного поля u . |
div a = |
a — дивергенція векторного поля a . |
rot a = |
× a — ротор векторного поля a . |
∆ u — лапласіан функції u . z — комплексне число.
z— комплексне число, спряжене комплексному числу z . i — уявна одиниця.
Re z — дійсна частина комплексного числа z . Im z — уявна частина комплексного числа z . Arg z — аргумент комплексного числа z .
arg z — головне значення аргументу комплексного числа z . z — модуль комплексного числа z .
Ln z — логарифмічна функція. ln z — головне значення Ln z .
Re f (z) — дійсна частина функції комплексної змінної. Im f (z) — уявна частина функції комплексної змінної. f ′(z) — похідна функції f (z) .
∫ f (z) dz — інтеграл від функції f (z) вздовж контуру C .
C
12Основні позначення
∫f (z) dz — інтеграл від функції f (z) вздовж замкненого кон-
C
туру C .
res f (z0 ) , res [ f (z); z0 ], res f (z) — лишок функції |
f (z) в |
z = z0 |
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особливій точці z0 . |
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f (t) NF( p) — функція F( p) є зображенням функції |
f (t) . |
η (t) — одинична функція Хевісайда. |
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f1 (t) f2 (t) — згортка функцій f1 (t) та f2 (t) . |
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ГЛАВА 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА ТА АНАЛІТИЧНА
ГЕОМЕТРІЯ
§1. Індивідуальне завдання 1.1
Визначники
[Ч.1, гл.3, §1, приклади 1 – 6]
Завдання: обчислити визначники третього та четвертого порядків. У прикладі 1 обчислити визначник трьома способами: a) за допомогою правила трикутників; б) безпосереднім розкладанням за елементами рядка або стовпця; в) розкладанням за елементами рядка (стовпця), попередньо обернувши в нуль всі, крім одного, елементи цього рядка (стовпця).
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−1 |
2 |
−3 |
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1. |
4 |
5 |
6 |
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. |
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7 |
8 |
9 |
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1 |
5 |
25 |
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1. |
1 |
7 |
49 |
. |
|
1 |
8 |
64 |
|
|
1 |
1 |
1 |
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1. |
4 |
5 |
9 |
. |
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16 |
25 |
81 |
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Варіанти завдань Варіант №1
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5 |
0 |
4 |
2 |
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2 4 |
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−1 |
2 |
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2. |
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1 |
−1 |
2 |
1 |
. |
|
3. |
−1 2 |
|
3 |
1 |
|
. |
|
|
|||
|
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4 |
1 |
2 |
0 |
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2 5 |
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1 4 |
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||||||||
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1 |
1 |
1 |
1 |
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|
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1 2 |
|
0 |
3 |
|
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Варіант №2 |
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3 |
1 |
2 |
3 |
|
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|
2 |
1 |
5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||
2. |
|
|
4 |
−1 |
2 |
4 |
. |
|
3. |
3 |
2 |
1 |
2 |
|
. |
|
|
|||
|
|
1 −1 1 1 |
|
1 |
2 3 −4 |
|
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||||||||||||
|
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|
4 |
−1 2 |
5 |
|
|
|
1 |
1 |
5 |
|
1 |
|
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Варіант №3 |
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1 |
1 |
1 |
|
1 |
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|
2 |
1 |
|
1 |
8 |
|
|
||||
|
|
|
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|
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|||||||||||||
2. |
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1 |
−1 |
1 |
1 |
. |
3. |
1 |
−3 −6 9 |
|
. |
||||||||
|
|
1 |
1 |
−1 |
1 |
0 |
2 2 −5 |
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
1 |
−1 |
|
|
1 |
4 |
|
6 |
0 |
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14 |
Глава 1. Лінійна алгебра та аналітична геометрія |
|
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|
4 |
2 |
−1 |
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|||||
1. |
|
5 |
3 |
−2 |
|
. |
|
|
3 |
2 |
−1 |
|
|
1. |
|
3 |
2 |
−4 |
|
. |
|
|
|||||
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4 |
1 |
−2 |
|
||
|
|
5 |
2 |
−3 |
|
|
|
|
3 |
4 |
−5 |
|
|
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|||||
1. |
|
8 |
7 |
−2 |
|
. |
|
|
2 |
−1 |
8 |
|
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4 |
−3 |
5 |
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|||||
1. |
|
3 |
−2 |
8 |
|
. |
|
|
1 |
−7 |
−5 |
|
|
|
3 |
2 |
1 |
|
1. |
2 |
5 |
3 |
. |
|
3 |
4 |
2 |
|
|
2 |
1 |
3 |
|
1. |
5 |
3 |
2 |
. |
|
1 |
4 |
3 |
|
Варіант №4
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
−2 |
5 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2. |
1 |
2 |
3 |
4 |
. |
3. |
1 |
−1 |
7 |
4 |
|
. |
1 |
4 |
9 |
16 |
1 |
3 |
3 |
4 |
|
||||
|
1 |
8 |
27 |
64 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
Варіант №5
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
||||||||
2. |
|
−2 |
1 |
−4 |
3 |
. 3. |
|
0 |
|
2 |
5 |
9 |
|
|
. |
|||||||||
|
|
3 −4 −1 2 |
|
0 0 |
3 7 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
4 |
3 −2 −1 |
|
−2 −4 −6 0 |
|
|||||||||||||||||
|
Варіант №6 |
|
|
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|
|
|
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||||
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
−1 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||
2. |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
. |
|
|
3. |
0 |
|
1 |
2 |
−1 |
|
. |
||||||||
|
1 1 0 1 |
|
|
3 −1 2 3 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
6 |
|
1 |
|
|
|
|
|
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|
Варіант №7 |
|
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||||
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1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
3 |
−3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||
2. |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
. |
3. |
2 |
|
1 |
−1 |
|
2 |
|
|
. |
|
|||||||
|
1 3 6 10 |
6 |
2 |
1 0 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
4 |
10 |
20 |
|
|
|
2 |
|
3 |
0 |
−5 |
|
|
|
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||||||
|
Варіант №8 |
|
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||||
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|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
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|
8 |
7 |
2 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2. |
|
2 |
3 |
4 |
1 |
|
. |
|
|
3. |
−8 |
2 |
7 |
|
10 |
|
|
|
. |
|||||
|
3 |
4 1 2 |
|
|
|
4 4 4 5 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
4 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
−3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
Варіант №9 |
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|
||||
|
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7 |
5 |
|
3 |
2 |
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2. |
|
3 |
2 |
|
1 |
4 |
. |
3. |
1 |
|
−1 |
2 |
|
2 |
|
|
. |
|||||||
|
3 |
−3 −2 |
2 |
1 1 −1 3 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
5 |
3 |
|
1 |
4 |
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
−1 |
|
|
§1. Індивідуальне завдання 1.1 |
15 |
|
|
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
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|
|
|
|
1. |
5 |
−2 |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|||||||||||
1. |
4 |
−4 |
7 |
|
|
|
. |
|||||
|
−3 12 −15 |
|
|
|||||||||
|
12 |
6 −4 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|||||||||||
1. |
6 |
4 |
4 |
|
. |
|
|
|
|
|||
|
3 |
2 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||
1. |
6 |
−6 |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
−5 |
10 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||
1. |
11 |
−2 |
10 |
|
. |
|||||||
|
2 |
−14 |
|
−5 |
|
|
||||||
|
−1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
2 |
−1 |
2 |
|
. |
|
|
|
||||
|
2 |
2 |
−1 |
|
|
Варіант №10
|
|
|
3 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
3 |
−1 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2. |
|
|
1 |
3 |
|
1 |
1 |
. |
|
3. |
5 |
2 |
0 |
1 |
|
|
|
. |
|
|
||||||
|
|
1 |
1 3 1 |
|
0 |
2 1 −3 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
6 |
−2 |
9 |
8 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Варіант №11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2. |
|
|
2 |
1 |
|
2 |
2 |
|
|
. |
|
3. |
3 |
5 |
2 |
−2 |
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
2 |
2 |
1 2 |
|
|
4 |
1 0 −2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
−3 −3 −3 4 |
|
2 1 3 5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2. |
|
|
−3 −3 4 −3 |
. 3. |
−1 1 0 −3 |
|
. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
−3 4 −3 −3 |
3 3 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
4 −3 −3 −3 |
|
4 0 3 −4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Варіант №13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
5 |
1 |
3 |
2 |
|
|
2 |
1 |
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2. |
|
|
3 |
−1 |
2 |
3 |
. |
3. |
3 |
2 |
1 |
−1 |
|
. |
|
|
||||||||||
|
|
1 |
−1 1 −1 |
4 |
3 2 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
−1 |
2 |
4 |
|
|
5 |
4 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Варіант №14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
5 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
−2 |
|
1 |
−3 |
4 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2. |
|
|
4 |
0 |
|
1 |
1 |
|
. |
|
3. |
3 |
−2 |
−5 |
1 |
|
. |
|||||||||
|
|
3 |
1 0 1 |
|
|
2 2 −4 −6 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
1 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
−1 |
−8 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Варіант №15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
5 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
5 |
1 |
2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2. |
|
|
2 |
5 |
|
2 |
2 |
|
|
. |
|
3. |
4 |
1 |
4 |
−3 |
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
2 |
2 |
5 |
2 |
|
2 |
1 3 −2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
4 |
2 |
5 |
−4 |
|
|
|
|
|
16 |
Глава 1. Лінійна алгебра та аналітична геометрія |
|
|
Варіант №16
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
3 |
−1 |
7 |
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
2 |
3 |
|
|
|
|||||||||||
1. |
1 2 3 |
|
. |
|
|
|
|
2. |
|
. |
3. |
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 −2 2 6 |
|
2 |
|
7 5 4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
1 |
3 |
|
|
|
|
−3 |
−10 |
2 |
11 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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Варіант №17 |
|
|
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|||||||||
|
5 |
|
8 |
−1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
2 |
−1 |
|
|
|
2 |
|
−3 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 0 −2 |
|
|
|
4 |
|
−2 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1. |
1 2 3 |
. |
2. |
|
|
. |
3. |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
−3 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
−2 |
−3 1 10 |
|
|
|
3 |
|
−1 4 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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||||||||||||
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Варіант №18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
5 |
|
8 |
−1 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
−3 |
|
6 |
−1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
1. |
1 2 9 |
. |
2. |
. |
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||
3 |
0 1 2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
1 −2 −6 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
−3 |
13 |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
−2 |
13 |
4 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
Варіант №19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
−1 |
|
8 |
|
−1 |
|
|
4 |
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−2 |
3 |
−4 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. |
9 2 3 |
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
. |
1 3 4 1 |
. |
|
|
|
|
|
4 |
5 3 2 |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
13 |
|
−3 |
2 |
|
|
|
3 |
2 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
17 |
|
−7 |
|
|
|
1 |
−1 3 −2 |
|
|
|
2 |
|
1 −4 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
3 2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 −4 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1. |
−1 13 |
1 |
|
. |
2. |
|
|
. |
|
3. |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
1 |
|
7 |
1 |
|
|
|
3 −2 1 −5 |
|
|
|
4 |
|
2 −3 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
4 |
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
3 |
−6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
−2 |
1 |
|
|
|
|
|
5 |
1 2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 −1 −15 −18 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
2 |
|
5 |
6 |
|
|
|||||||||||||
1. |
2 |
|
1 3 |
. |
2. |
. |
|
|
|
|
|
3. |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||
|
2 |
2 3 1 |
|
|
|
|
|
2 1 |
0 |
7 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
3 |
|
−2 |
|
|
1 |
3 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
1 |
5 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§2. Індивідуальне завдання 1.2 |
17 |
|
|
|
|
5 |
−1 |
−1 |
|
|
|
|
|||||
1. |
|
1 |
9 |
3 |
|
. |
|
|
2 |
13 |
2 |
|
|
|
|
3 |
−2 |
2 |
|
|
|
|
|||||
1. |
|
2 |
5 |
1 |
|
. |
|
|
4 |
3 |
2 |
|
|
|
2 |
3 |
1 |
|
1. |
−1 |
3 |
4 |
. |
|
2 |
5 |
−1 |
|
|
5 |
4 |
3 |
|
1. |
2 |
1 |
−1 |
. |
|
1 |
2 |
3 |
|
Варіант №22
|
1 |
6 |
2 |
1 |
|
|
4 |
1 |
1 |
1 |
|
2. |
5 |
0 |
−3 |
2 |
. |
3. |
1 |
4 |
1 |
1 |
. |
4 |
0 |
1 5 |
1 |
1 |
4 |
1 |
|||||
|
−2 |
3 |
2 |
0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
4 |
|
Варіант №23
|
3 |
1 |
1 |
2 |
|
|
|
1 |
3 |
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2. |
1 3 2 1 |
|
. |
3. |
−1 2 7 5 |
|
. |
|
|
||||||||
|
1 |
2 |
3 |
1 |
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
3 |
|
|
|
−5 |
2 |
−1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
Варіант №24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
−1 12 −2 −3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2. |
2 |
2 |
3 |
4 |
|
. |
3. |
8 −9 4 9 |
|
. |
|||||||
|
3 |
3 |
3 |
4 |
|
|
|
1 |
7 |
|
3 |
−6 |
|
|
|||
|
4 |
4 |
4 |
4 |
|
|
|
5 |
−3 |
|
3 |
4 |
|
|
|||
Варіант №25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4 |
0 |
0 |
5 |
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2. |
0 |
4 |
5 |
0 |
|
. |
3. |
7 |
10 |
12 |
|
13 |
|
|
. |
|
|
0 |
5 |
4 |
0 |
|
1 1 3 |
1 |
|
|
|||||||||
|
5 |
0 |
0 |
4 |
|
|
|
4 |
4 |
5 |
|
6 |
|
|
|
|
|
§2. Індивідуальне завдання 1.2
Матриці. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
[Ч.1, гл.3, §2, приклади 6 – 10; гл.3, §3, приклади 2 – 5]
Завдання: 1. a) Розв’язати матричне рівняння. Виконати перевірку правильності розв’язку; б) знайти ранг матриці A . 2. Знайти обернену мат-
рицюдляматриці A . Виконатипервірку: A A−1 = E . 3. Розв’язатисистеми рівнянь, використовуючи метод Гаусса. Виконати перевірку.
18 |
Глава 1. Лінійна алгебра та аналітична геометрія |
|
|
Варіанти завдань Варіант №1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−1 |
3 |
2 |
5 |
|
|
1 |
0 |
7 |
4 |
; |
5 −3 |
2 |
3 |
4 |
|||
1. a) X |
|
|
= |
|
|
б) A = |
|
|
0 |
. |
|||
|
|
|
4 2 |
|
13 8 |
|
1 −3 −5 |
−7 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
1 |
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
1 |
|||
|
|
2 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. |
A = |
|
1 |
−1 |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 + 3x2 |
|
|
+ 8x4 = 0; |
|
x1 − x2 + 2x3 + 2x4 = 2; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
− x |
+ |
3x |
|
= 0; |
|
|
3x |
− 2x |
2 |
− |
x |
− |
x |
|
= −1; |
||||
3. а) |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
б) |
|
1 |
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ |
2x = 1; |
|
5x |
|
− 3x |
|
− 4x |
− |
2x |
4 |
= −4; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
x |
|
= −24, |
|
|
7x |
|
− 4x |
2 |
− 7x |
− 5x |
= −7. |
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
4 |
10 |
|
||||
1. a) |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
4 |
7 |
; |
б) A = |
|
4 |
|
|
8 18 |
7 |
|
|||||||||
|
3 |
|
|
X = |
16 |
|
|
|
|
|
18 |
40 |
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
10 |
|
17 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
7 |
17 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||
|
|
3 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. A = |
1 |
|
3 |
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
5 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 + x2 − x3 − x4 + x5 = 1; |
||||||||||||
|
x1 + x2 − x3 + x4 = 4; |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2x |
|
− x |
2 |
|
+ |
3x |
− 2x |
|
= 1; |
|
|
x |
|
− x |
|
+ x |
+ |
x |
− 2x = 0; |
||||||
3. а) |
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
б) |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
− |
x |
+ |
2x |
4 |
= 6 ; |
|
3x |
+ 3x |
|
− 3x |
− |
3x |
|
+ 4x = 2; |
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
4 |
5 |
|||||
|
|
3x |
|
− x |
2 |
+ |
x |
− |
x |
|
= 0 , |
|
|
4x |
|
+ 5x |
|
− 5x |
− |
5x |
|
+ 7x = 3. |
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
4 |
5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №3 |
1 |
2 |
|
3 |
14 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
6 |
|
25 |
30 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
; |
б) A = |
|
1 1 |
|
1 6 . |
|
|||||||||||||||||
1. а) X |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
8 |
|
|
46 |
|
|
|
|
2 |
3 |
|
−1 |
|
5 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
§2. Індивідуальне завдання 1.2 |
19 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
A = 3 |
|
2 |
|
−4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
−1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 + 3x2 |
+11x3 + 5x4 = 2; |
|
3x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + x5 = 1; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2x |
|
+ |
2x + x |
|
+ |
x |
|
= 1; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
x1 + x2 |
+ 5x3 + 2x4 = 1; |
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||
3. а) |
|
|
б) |
|
x |
|
|
|
+ x |
|
+ 2x + |
x = 0; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
2x |
+ |
|
x |
|
+ 3x |
+ 2x |
|
|
= −3; |
|
|
1 |
+ |
2x |
|
3 |
|
|
4 |
|
5 |
|
||||||
|
|
|
|
1 |
+ |
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
= −3, |
|
|
x |
|
+ x |
|
|
|
− |
x = 1; |
|||||||
|
|
|
|
x |
|
x |
|
+ 3x |
+ 4x |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
5 |
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2x + x − x − 2x = 1. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
−1 |
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
4 |
|
1 |
|
|
|
13 |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
|
|
1 −1 |
|
|
|
|||||||
1. a) |
|
|
X = |
|
|
|
|
; |
б) A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
|
11 |
|
|
3 |
1 |
−1 |
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
−1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
A = |
3 |
|
−1 |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
−2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 + 3x2 + 5x3 + 7x4 = 12; |
|
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 7; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x + |
5x + 7 x + x |
4 |
|
= 0; |
|
|
3x + |
2x + x + x − 3x = −2; |
||||||||||||||||||||
3. а) |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
б) |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|||
|
5x |
+ |
7x |
2 |
+ x |
+ 3x |
4 |
|
= 4; |
|
|
|
|
x |
+ 2x |
+ 2x |
+ 6x |
= 23; |
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
||
|
|
|
7x |
+ |
|
x |
2 |
+ 3x |
+ 5x |
4 |
|
= 16, |
|
|
5x |
|
+ |
4x |
+ 3x |
|
+ |
3x |
− |
x |
= 12. |
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
−1 |
1 |
|
|||
1. а) |
2 |
|
−3 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
15 |
−5 |
|
; б) |
|
|
4 3 |
−1 2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
= |
|
|
|
A = |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
8 5 |
−3 4 |
|
||||||||||
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
A = |
2 |
|
0 |
|
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
−2 |
|
1 |
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
Глава 1. Лінійна алгебра та аналітична геометрія |
|
|
|
|
2x1 + |
|
x2 + 4x3 + 8x4 = −1; |
|
2x1 + 7 x2 + 3x3 + |
x4 = |
5; |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x + |
3x − |
6x + |
2x |
4 |
|
= 3; |
|
|
x + |
|
3x |
2 |
+ 5x − |
2x = |
3; |
|
|||||||||||||||
3. а) |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
8; б) |
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
||||
|
|
3x − |
2x + |
2x − |
2x = |
|
x + |
|
5x |
2 |
− 9x + |
8x |
4 |
= |
1; |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2x − x + |
2x |
|
|
|
|
|
= 4 , |
|
|
5x +18x + 4x + |
5x = |
12. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|||
1. a) |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
8 0 |
|
|
4 0 |
;б) |
|
0 3 |
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
= |
|
|
|
A = |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 7 |
|
|
6 −1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
0 2 |
|
|
|
|
4 2 |
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. A = |
1 |
|
−3 |
|
−2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
−5 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 − x2 + 3x3 + 2x4 = 4; |
|
2x1 − 2x2 + x3 − x4 + x5 = 1; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3x + 3x + 3x + 2x = 6; |
|
|
x + |
|
2x − x + x − |
2x = |
1; |
|||||||||||||||||||||||||
3. а) |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
б) |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
5 |
|
||||
|
3x − x − x + 2x = 6; |
|
4x − |
10x + 5x − |
5x + |
7x = |
1; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
5 |
|
||||
|
|
3x − |
x |
+ 3x |
− |
x |
|
= 6 , |
|
|
2x − |
14x |
|
+ 7x |
|
− |
7x +11x = |
−1. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
5 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
Варіант №7 |
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||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
11 |
2 |
|
||
1. а) |
|
2 |
|
0 |
|
|
|
3 |
|
|
0 |
|
|
|
2 |
−4 |
|
; б) |
|
A = |
|
1 |
|
0 |
|
|
4 −1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
11 4 56 5 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−1 |
|
|
5 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−6 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. A = 0 |
|
1 |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 5; |
|
5x1 − 3x2 + 2x3 + 4x4 = 3; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2x |
+ |
|
x |
|
+ |
2x |
|
+ 3x |
|
= 1; |
|
|
4x + x + x + 3x = −2; |
|
|||||||||||||||||
3. а) |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
б) |
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||
|
|
3x |
+ |
2x |
|
+ |
|
x |
|
+ 2x |
|
= 1; |
|
3x + 2x + 2x + 6x |
4 |
= −4; |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
4x |
+ |
3x |
|
+ |
2x |
|
+ |
x |
|
= −5 , |
|
|
2x − 3x + 7x + 17x = 0. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|