1-1 Высшая математика / visshaya_matematika_chast_IV
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§1. Індивідуальне завдання 5.1 |
191 |
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Варіант №4 |
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1. z = |
3 − i |
. |
2. а) – 8; |
б) 2 − 2i ; |
в) −5 + 2i . |
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3 + i |
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3. |
( 3 + i)50 . |
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4. |
3 −7 . |
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5. |
а) |
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z : |
|
π |
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< arg z < |
π2 |
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; б) |
{z : | z +1| ≥ 1, |
| z+ i |< 1} . |
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3 |
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||||||||||||||||||||||
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3 |
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Варіант №5 |
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1. |
z |
= |
|
3 − i |
. |
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2. а) −4i ; |
б) |
|
3 − i ; |
в) |
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|
4 + 5i |
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|||||||
3. |
1− i |
8 |
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4. |
3 |
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||||||
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|
. |
|
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−1 . |
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||||||
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1+ i |
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5. |
а) |
{z : |
|
2 < | z + i | < 3} ; |
б) |
z : | z | |
< 2, Re z ≥ 1, arg z< |
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Варіант №6 |
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1. |
z = (2 + 3i)(3 − i) . |
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2. |
а) 9i ; |
б) |
−2 + 2i ; |
в) |
||||||||||||||||
3. |
(1− i)30 . |
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|
4. |
3 −1+ i . |
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||||||||||
5. |
а) |
{z : − 2 < Im z < 2} ; |
б) |
|
z : | z − i | ≤ 1, |
0< arg z< |
π |
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4 |
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Варіант №7 |
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1. |
z = (6 +11i)(7 + 3i) . |
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2. |
а) 13; |
б) |
− |
12 − 2i ; |
в) |
||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
100 |
|
|
|
6 −64 . |
|
|
|
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||||||
3. |
|
|
|
− |
|
|
|
|
i . |
|
|
4. |
|
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||||||
|
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|
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|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
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||||
|
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|
|
π |
|
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||||||
5. |
а) |
{z : |
|
| Re z | ≤ 1} ; |
|
|
б) |
z : | z + i | > 1, |
− |
≤ arg z< |
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4 |
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Варіант №8
−3 + 4i .
π4 .
6 + 7i .
.
−6 + 5i .
0 .
1. |
z = (3 + 5i)(4 − i) . |
2. а) 27; |
б) 2 − 2 |
3i ; в) |
−4 − 5i . |
|||
3. |
(1+ i)20 . |
4. 4 1 − i . |
|
|
|
|
||
5. а) {z : 2 < | z | < 4} ; |
б) z : |
| z + i | < 1, − |
3π |
≤ arg z≤ − |
π |
. |
||
4 |
||||||||
|
|
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4 |
192 |
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|
Глава 5. Функції комплексної змінної. Операційне числення |
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Варіант №9 |
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|||
1. |
z |
= |
1 |
|
|
+ |
|
1 |
. |
|
|
2. |
а) – 15; |
б) −1+ i |
|
3 |
; |
в) |
−7 − 9i . |
||||||
1+ 4i |
4 |
− i |
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||
3. |
|
|
1 |
|
+ i |
1 |
8 . |
|
|
|
4. |
4 −i . |
|
|
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|
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|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
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||||
5. |
а) |
{z : |
0 < Im z < +∞ } ; |
|
б) |
|
z : | z −1− i | < 1, |
| arg z | ≤ |
π . |
||||||||||||||||
|
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|
4 |
|
|
|
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|
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|
Варіант №10 |
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|
||||
1. |
z |
= |
1 |
|
|
+ |
|
i |
. |
|
|
2. а) −27i ; |
б) −2 + 2 3i ; |
в) 16 +17i . |
|||||||||||
1+ 2i |
2 |
− i |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
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|
|||||||
3. |
(1+ i)12 . |
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|
|
|
|
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|
4. |
4 i . |
|
|
|
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5. а) {z : | z + 3i | < 4}; |
|
|
б) {z : | z | > 1, −1 < Im z ≤ 1, 0< Re z≤ 2}. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
Варіант №11 |
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|
||||
1. |
z = (3 − 2i)2 + 2i . |
|
|
2. а) 5i ; |
б) −1− i ; |
|
|
в) 7 −15i . |
|||||||||||||||||
3. |
1+ i |
3 |
20 |
|
|
|
|
|
4. |
3 |
8i . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1− i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
а) |
|
z : |
−π |
≤ |
arg z≤ |
π2 |
|
; |
|
б) {z : |
| z + i | ≤ |
2, | z− |
i |> |
2} . |
||||||||||
3 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
Варіант №12 |
|
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|
|
|
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|
||||
1. |
z = (1+ i)3 + (1− i)3 . |
|
|
2. |
а) 21; |
б) 3 − |
3i ; |
в) |
−2 +15i . |
||||||||||||||||
3. |
( 3 + i)10 + ( 3 − i)10 . |
|
4. |
3 −2 + 2 3i . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. |
а) |
|
z : |
| z | ≤ |
2, 0≤ |
arg z≤ |
|
3π |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) {z : 1 < | z −1| ≤ 2, Im z≥ 0, Re z< 1} . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 − 2i |
|
|
|
|
|
Варіант №13 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. |
z |
= |
|
− i . |
|
|
|
2. |
а) – 33; |
б) −5 − 5 |
3i ; |
в) 3 +14i . |
|||||||||||||
1+ 3i |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
( 2 − 6i)9 . |
|
|
|
|
4. |
4 −8 + 8i 3 . |
|
|
|
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|
§1. Індивідуальне завдання 5.1 |
193 |
|
|
5. а) {z : −1 < Re z < 2, 1 ≤ Im z≤ 3} ; б) {z : | z − i | ≤ 2, Re z> 1} .
Варіант №14
1. |
z = 2i2 − 3i3 + |
7 |
. |
|
|
|
|
|
2. а) −59i ; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
(5 3 + 5i)6 . |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
4. 3 −1 8 . |
|
|||||||||
5. а) |
z : |
| z | ≤ 1, − |
π |
≤ |
arg z≤ |
π |
; |
|
||||||||||
|
4 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||
|
б) {z : | z −1− i | ≤ 1, Im z> 1, Re z≥ |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №15 |
||||||
1. |
z = |
2 |
+ |
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
2. а) 42i ; |
|
|||
i35 |
1 |
− 3i |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
(−4 |
3 + 4i)9 . |
|
|
|
|
|
|
|
4. |
4 256 . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
5. а) |
z : |
| z + 2i | ≤ |
2, − |
|
|
< |
arg z< 0 |
; |
||||||||||
4 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) {z : | z −1− i | ≥ 1, 0≤ Re z< 2, 0<
Варіант №16
б) −3 2 + 3 2i ; в) −2 + 21i .
1} .
б) 6 + 6 3i ; |
в) −7 − i . |
Im z≤ 2} .
1. |
z = (1+ i)4 + (1− i)4 + i11 . 2. а) −17i ; б) −9 + 9 3i ; |
в) −3 −16i . |
|||||||
3. |
|
8 + 8i |
|
12 |
4. |
4 |
−128 |
+ i 128 3 . |
|
|
|
|
. |
|
|
||||
−4 3 + |
|
|
|
||||||
|
|
4i |
|
|
|
|
|
5. а) |
|
z : |
| z + i | ≤ |
|
2, − |
π |
≤ |
arg z≤ |
π |
|
; |
|
||||||||
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
б) {z : | z −1+ i | ≥ 1, Re z< 1, Im z≤ − 1} . |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №17 |
|
|||||
1. |
z = (1+ i)2 + i(2 + 3i) . |
|
2. а) 27; |
б) −6 + 6 3i ; |
в) 3 + 8i . |
|||||||||||||||
3. |
( 2 + i 6)12 . |
|
|
|
|
|
|
4. 4 |
8 − i 8 . |
|
||||||||||
5. а) |
|
z : |
|
|
z + 3 |
|
|
≤ |
1 ; |
|
|
|
б) {z : 1 ≤ | z− i |< 2, Re z≤ 0, Im z> 1} . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
z − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
194 |
Глава 5. Функції комплексної змінної. Операційне числення |
|
|
Варіант №18
|
|
(1 |
+ i9 )8 |
|
|
2 − i |
|
1 |
− 2i |
|
||
1. |
z = |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
. |
|
17 |
) |
8 |
4 + 3i |
3 |
|
13 |
|||||
|
|
0, 4(1− i |
|
|
|
+ 4i |
|
2. а) −72i ; |
|
|
б) |
|
|
1− i tgα |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) −3 + 7i . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1+ i tgα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
(1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
cos |
|
|
|
|
− i sin |
|
|
|
|
|
|
+ i |
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
4. |
4 |
−8 − i |
8 3 . |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5. |
а) {z : |
|
sin | z | > 0} ; |
|
|
|
|
|
|
б) {z : |
0 < Re(iz) < 1} . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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Варіант №19 |
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(1− i |
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π |
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− i sin |
π |
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|||||||||||||||
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3) cos |
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12 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
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z = |
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12 |
|
. |
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||||||||||||
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1− i21 |
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|||||||||||
2. |
а) 72; |
|
б) |
− cos |
|
π |
|
|
− i sin |
π |
|
|
; |
|
|
|
в) |
4 − 9i . |
|
|
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12 |
|
12 |
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||||||||
3. |
|
− |
|
|
3 |
|
+ |
|
i |
13 |
. |
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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4. |
3 |
−4 + i 48 . |
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|||||||||||||||||
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|
2 |
|
|
|
2 |
|
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|||||||
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1 |
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|
1 |
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5. а) |
z : |
|
|
|
Im |
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< − |
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|
; б) {z : 4 ≤ | z− 1|+ | z+ 1|≤ 8} . |
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|
z |
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|
2 |
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|
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||||||||
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Варіант №20 |
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1. |
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z = |
13 +12i |
|
+ |
|
(2i +1)2 |
. |
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6i |
− 8 |
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i + 2 |
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|||||||||||||||||
2. а) –19; |
|
|
|
|
б) |
|
1 + cos |
10π |
|
+ i sin |
10π |
; в) −5 − i . |
|
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|
|
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|
|
|
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|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
|
|
1+ i |
|
3 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. 5 |
|
|
6 + i 2 |
|
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|
|
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||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
. |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
− |
6 − i |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
||||||||||||||||
5. |
а) {z : |
|
|
z +1+ 2i |
|
≤ |
|
0} ; |
|
б) |
z : |
|
z −1 |
|
< 1, |
arg z ≤ |
π |
, arg (z− 1)>π |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
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|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§1. Індивідуальне завдання 5.1 |
195 |
|
|
Варіант №21
1. |
z = (1− 3i)(1+ i)3 + 9i . |
2. а) 11i ; |
б) − cos |
π |
+ i sinπ |
|
; в) −7 − 5i . |
||||||||||||
4 |
4 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
(− 2 − i 6)9 . |
4. 5 − 3 − i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5. а) z : |
1 |
< |
|
(1+ i) z + i |
|
< |
2 ; |
б) {z : |
cos |
|
z |
|
< 0} . |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. z = 1+15i + 5 −i i .
|
3 |
− i |
15 |
|
3. |
|
|
. |
|
|
|
|||
|
3 |
|
|
|
|
+ i |
|
5. а) |
|
z : |
|
z − |
1 |
|
|
Re |
|
|
|||
|
||||||
|
|
|
|
|
z |
Варіант №22
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
|
|||||
|
2. а) −23i ; б) − cos |
|
|
|
− i sin |
|
|
|
; в) |
9 − 4i . |
|||||
|
7 |
7 |
|||||||||||||
|
4. |
4 −16 +16i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
; |
б) {z : |
|
z − x |
|
< |
|
z − i |
|
} . |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №23
1. |
z = |
|
|
5 |
|
+ |
|
|
|
|
5 |
. |
|
|
|
|
2. а) –77; б) 5(cos170 − i sin170 ) ; в) 1+ 2i . |
||||||||||||||||||||||
|
i |
47 |
|
1 |
− 7i |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
100 |
|
|
|
|
|
4. 6 1 − 3i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3. |
|
− |
|
i |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||
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|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5. а) {z : |
|
z |
|
< 1+ Im z} ; |
б) {z : |
|
z + i |
|
< |
|
z − x |
|
< |
|
z −1} . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1. |
z = |
5 |
+ |
|
|
|
|
3 |
+ |
|
|
3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
19 |
1 |
+ 4i |
1 |
− 4i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
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|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2. а) 38; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) −9(cos350 − i sin 350 ) ; |
|
в) −7 + 8i . |
|||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
1+ i |
3 |
|
|
14 |
|
|
|
|
|
4. 5 −32 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1− i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. а) {z : |
|
z + iz = 0} ; |
б) {z : 6 ≤ |
|
z+ 2 |
|
+ |
|
z− 2 |
|
≤ 12} . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
196 |
|
Глава 5. Функції комплексної змінної. Операційне числення |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №25 |
|
|
||
1. |
z = |
(1 |
+ 2i)2 − (1 |
− i)3 |
. |
|
|
|
|
||||||
(3 |
+ 2i)3 − (2 |
+ i)2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2. а) 95i; |
|
|
|
|
|
б) |
|
|
1+ i 3 |
; |
в) −7 |
+ 23i . |
|||
|
|
|
|
|
2i (cos 600 |
+ i sin 600 ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
(1+ i)13 |
. |
|
|
|
|
4. 8 1+ i . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(1− i)7 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. а) {z : |
|
z |
|
− Re z ≤ 0} ; |
б) {z : Im z 2 < 1} . |
|
|||||||||
|
|
|
§2. Індивідуальне завдання 5.2
Функції комплексної змінної
[Ч.3, гл.3, §3, приклади 7 – 9, §2, приклад 5, §5, приклади 6 – 10, §4, приклади 1 – 11, §6, приклади 4 – 7]
Завдання: 1. Дляваріантів 1 – 20 відновитианалітичну воколі точки z0 функцію f (z) за її відомою дійсною U (x, y) або уявною V (x, y) частиною та значенням f (z0 ) . Для варіантів 21 – 25 представити функцію W = f (z) у вигляді W = U (x, y) + iV (x, y) . Знайти множину точок, де функція f (z) аналітична або тільки диференційовна.
2.Знайти область збіжності заданого ряду Лорана.
3.Розкласти функцію f (z) у ряд Лорана у зазначеному кільці.
4.Обчислити інтеграл вздовж заданого контуру.
5.Обчислити заданий визначений або невласний інтеграл.
Варіанти завдань Варіант №1
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
sin |
π |
|
|
|
∞ |
(z − i) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|||||||||
1. |
U (x, y) = −2xy − 2 y, f (0) = i . |
2. |
∑ |
|
|
|
+ |
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
∑ |
n=1 |
+ n) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
n=1 (z − i) |
|
|
|
3 ln (2 |
|
||||||||
3. |
f (z) = |
|
|
z |
, 1 < | z | < 2 . |
4. |
|
|
∫ |
sin2 z |
dz . |
|
|
|
|
|||||
z |
2 |
+ z − 2 |
|
|
z cos z |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
=2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§2. Індивідуальне завдання 5.2 |
197 |
|
|
|
2π |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
∫ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
2 sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
V (x, y) = ex cos y, |
f (0) = 1+ i . |
2. |
∞ |
sin in |
|
|
+ ∞ |
(z + 2)n |
. |
|||||||||||
∑ |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z + 2)n |
|
∑ |
4n |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
n=0 |
||||||
3. |
f (z) = |
|
|
1 |
|
|
|
|
, 5 < | z | < 6 |
.4. |
∫ |
z3 cos |
1 |
|
dz . |
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|||||||||||
|
2π |
|
z |
|
−11z + 30 |
|
z |
|
=1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
∫ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(3 + 2 |
|
2 cos t) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант |
1. |
U (x, y) = |
|
|
x |
|
|
|
, |
|
|
f (1) = 1+ i . |
|||||
x2 + y2 |
|
|
|
|||||||||||||
3. |
f (z) = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
, 3 < | z | < 4 |
||||
z2 + 7z +12 |
|
|||||||||||||||
|
+∞ |
|
|
x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|||||
(x |
2 |
+ x +1) |
2 |
|
||||||||||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант |
1. |
V (x, y) = 3x2 y − y3 , |
f (0) = 1 . |
||||||||||||||
3. |
f (z) = |
|
z − 5 |
|
|
, 1 < | z | < 2 . |
||||||||||
z2 − z − 2 |
|
|||||||||||||||
|
+∞ |
|
|
cos 5xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
(x |
2 |
+1) |
2 |
(x |
2 |
+ |
|
4) |
|
|||||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
№3
2. |
|
∞ |
|
|
sin in |
|
|
+ ∞ |
(z +1− 2i)n |
. |
|||
∑ |
|
|
|
|
n |
|
|||||||
|
(z +1− 2i) |
∑ |
n (4 − 3i) |
n |
|||||||||
|
n=1 |
|
n=1 |
|
|
||||||||
. 4. |
|
∫ |
z |
3 |
|
2i |
dz . |
|
|
|
|||
|
|
cos |
|
|
|
|
|
||||||
|
z |
|
|
|
|||||||||
|
|
z |
|
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
№4
2. |
|
∞ |
|
(1+ i)n |
+ ∞ |
(z − 2i)n |
. |
|||||
∑ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
(z − 2i)n |
∑ |
ch n |
|||||||||
|
n=1 |
n=0 |
||||||||||
4. |
|
∫ |
|
|
z2 dz |
|
. |
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||
|
|
z |
|
=1 sin |
|
z cos z |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №5 |
||
1. |
U (x, y) = x2 − y2 − 5x + y + 2, f (0) = 2 . |
||||||
2. |
∞ |
cos in |
|
+ ∞ |
(z + 2 − i)n |
. |
|
∑ |
|
n |
|
||||
|
(z + 2 − i) |
∑ |
n(4i) |
n |
|||
|
n=1 |
|
n=1 |
|
|
198 |
Глава 5. Функції комплексної змінної. Операційне числення |
|
|
3. |
f (z) = |
|
|
|
1 |
|
|
, 0 < | z −1 | |
< 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
z2 + 2z − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4. |
∫ z Re(z2 )dz , де C : {| z | = R, |
Im z ≥ |
0} . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(x |
2 |
+ 4) |
2 |
(x |
2 |
+ 9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
V (x, y) = x + y, |
f (0) = 0 . |
2. |
∞ |
(3 − i)n |
+ ∞ |
(z + i)n tg |
n |
. |
|||||||||||
∑ |
|
n |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z + i) |
∑ |
|
5 |
n |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
n=1 |
|
|
|
3. |
f (z) = |
z2 |
− 2z + 5 |
|
|
, 1 < | z | < 2 . 4. |
||||||||||||
(z − |
2)(1+ z2 ) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
+∞ |
|
(x3 − 2) cos (x 2) dx |
|
|
|
||||||||||||
5. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
(x |
2 |
+1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №7 |
|||
1. |
U (x, y) = 2 ch x cos y, |
|
f (0) = 2 . |
|||||||||||||||
2. |
∞ |
|
sin in |
|
|
|
+ ∞ |
n (z +1− i)n |
. |
|||||||||
∑ |
|
|
|
|
|
n |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
(4i) |
n |
|||||||
|
n=1 n (z +1− i) |
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|||||||
3. |
f (z) = |
|
z3 |
|
|
|
|
, 0 < | z +1| < 3 . 4. |
||||||||||
z2 − z − 2 |
||||||||||||||||||
|
2π |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7 + 4 3 sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №8
zdz
z∫=4 sin z .
i
∫ (z − i) e−z dz .
0
1. |
V (x, y) = x + y − 3, |
f (3) = 4 . |
||
|
1 |
|
|
|
3. |
f (z) = |
|
, 0 |
< | z | < 1 . |
z2 + iz |
|
|
∞ |
sin |
1 |
|
|
∞ |
||
2. |
∑ |
|
n |
|
∑ |
|
|||
|
|
n |
|
||||||
|
n=1 (z + 3) |
|
+ |
|
|||||
|
|
|
|
n=0 |
|||||
|
|
∫ |
1 |
|
|
|
|
||
4. |
|
z2ez dz . |
|
||||||
|
|
z |
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z + 3)n . (1 − i)2n
§2. Індивідуальне завдання 5.2 |
199 |
|
|
2π |
|
dt |
|
|
5. ∫ |
|
|
. |
|
(3 |
2 + 2 3 cos t) |
2 |
||
0 |
|
|
|
|
|
Варіант №9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
U (x, y) = y2 − x2 , f (0) = 0 . |
2. |
∞ |
|
n2 |
|
+ ∞ |
(z − 2 + i)n |
. |
||
∑ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
ch n |
||
|
|
|
|
|
n=1 (z − 2 + i)n |
n=0 |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
f (z) = |
|
, 0 < | z − i | < 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
∫ (sin z + z5 ) dz , де L – ламана ABC, |
zA = 0, |
zB = 1, zC = 2i . |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||
5. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||
|
(x |
2 |
− x +1) |
2 |
|
||||||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
V (x, y) = e−x sin y, |
||||||||||||
3. |
f (z) = |
|
z |
|
|
|
|
, |
|||||
|
(1+ z2 )2 |
|
|||||||||||
|
2π |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
||
5. |
∫ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
9 + 4 5 sin t |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. U (x, y) = y − 2xy, |
|||||||||||||
3. |
f (z) = |
4 |
|
|
, 1 |
< |
|||||||
|
z2 − 4 |
|
|||||||||||
|
+∞ |
|
|
2 |
+ 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
∫ |
|
x |
dx . |
|
||||||||
|
2 |
2 |
|
||||||||||
|
−∞ |
|
(x |
|
+ 4) |
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №10
f (0) = 4 . |
2. |
∞ |
|
ln (n +1) |
+ ∞ |
(z + 3i)n |
||
∑ |
|
|
|
|||||
|
|
|
(z + 3i)n |
∑ |
n 2n |
|||
|
|
n=1 |
|
n=1 |
||||
0 < | z − i | < 2 . 4. |
|
∫ |
tg z + 2 |
dz . |
||||
|
2 |
|||||||
|
|
z+1 |
|
=0,5 |
π z+ |
4z |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №11
f (0) = 0 . |
2. |
∞ |
|
cth n |
+ ∞ |
(z + 1)n |
|||
∑n=1 n2 (z +1)n |
|
||||||||
|
|
|
∑ n=0 (−3i)n |
||||||
| z + 3 | < 5 . |
4. |
∫ |
cos (iz) −1 |
dz . |
|||||
z |
3 |
|
|||||||
|
|
z |
=1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
.
.
Варіант №12
|
|
∞ |
|
i |
n |
∑ |
∞ |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
1. V (x, y) = 5 y − 2xy, f (0) = 0 . |
2. |
n=1 |
z − 2 |
|
+ |
n=1 |
||
|
|
|
z − 2 n |
cos |
π |
. |
|
|
|
|||
n |
||||
2 |
|
|
200 |
Глава 5. Функції комплексної змінної. Операційне числення |
|
|
3. |
f (z) = |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 1 < | z − 5 | < 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
z2 − 6z + 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
4. |
∫ zzdz , де С – верхня половина кола | z | = 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6 − 4 |
|
2 sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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Варіант №13 |
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1. |
U (x, y) = x2 − y2 + x, f (0) = 9i . |
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2. |
∞ |
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3n |
−1 |
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|
+ ∞ |
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(z − 3 + i)n |
tg |
1 |
. |
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∑ |
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||||||||
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− 3 + i)n |
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∑ |
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(2 − i)2n |
n |
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n=1 (z |
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n=1 |
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3. |
f (z) |
= |
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z + 3 |
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, 0 < | z | < 2 . |
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4. |
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∫ |
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z (z + π ) dz |
. |
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z |
2 |
(z + |
2) |
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|
=1 sin 3z (z − π ) |
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|
2π |
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z−1,5 |
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dt |
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5. |
∫ |
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. |
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|||||
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( 6 + |
|
|
5 cos t) |
2 |
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0 |
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|
Варіант №14 |
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|||
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1 |
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∞ |
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tg |
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|
∞ |
n (z − i)n |
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||||
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|
n2 |
n |
|
∑ |
|
|||||||||
1. |
V (x, y) = 3x + 2xy, |
|
f (0) = 0 . |
|
|
2. |
∑ |
|
|
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|
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|
n |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n=1 |
(z − i) |
|
|
+ |
n=1 |
(1+ |
2i) |
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. |
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|
|
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|||||||||
3. |
f (z) = |
|
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|
1 |
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, 0 < | z − 2i | < 1. |
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|||||||||
z2 − 3iz − 2 |
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4. |
∫ ydz , де С – дуга параболи y = x2 , що з’єднує точки 0 та 1+ i . |
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|
C |
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+∞ |
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dx |
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|||
5. |
∫ |
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|
. |
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||||
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(x |
2 |
+ |
1) |
2 |
(x |
2 |
|
+ 4) |
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||||||||||||||||
|
−∞ |
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|||||||||||||||||
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|
Варіант №15 |
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|||
1. |
U (x, y) = |
|
|
x |
− 2 y, f (1) = 1+ 5i . |
2. |
|
∞ |
|
in |
|
|
|
+ ∞ |
|
(z + 4)n |
. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
(z + 4)n |
|
∑ |
n=1 sin in |
|
|
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|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
n=1 |
|
|
|
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|