итоговый отчет
.pdf
Предсказания современных диффузионных теорий дендритного роста были тестированы в детальной экспериментальной работе Бизанга и Билгрэма [140] на дендритах ксенона. Их данные подтвердили расчеты формы контура вершины дендрита, а также положения первой боковой ветви. Они показали, что положение первой боковой ветви zSB , измеренное в единицах радиуса вершины, не зависит от переохлаждения в пределах точности измерения и равна zSB =17.5 ± 3. Этот результат хорошо согласуется с аналитической работой Бренера и Темкина [139], которая дает очень слабую (логарифмическую) температурную зависимость zSB . Исследования Бизанга и Билгрэма количественно подтверждают предсказания теории,
основанной на «шумовом» механизме образования боковых ветвей. Ниже представлены результаты исследования процесса образования боковых ветвей дендритов льда.
13.1. Тестирование механизма селективного усиления теплового шума
Для того, чтобы выяснить, является ли селективное усиление теплового шума причиной образования боковых ветвей дендритов льда, мы измеряли расстояние ZSB между вершиной дендрита льда и позицией, где боковые ветви имеют среднеквадратичную
амплитуду, равную радиусу кривизны вершины дендрита в базисной плоскости R2
(Рисунок 13.1). Следуя [178], R2 вычисляли по формуле R2 = x2 
8Z , где 2x – ширина кристалла на расстоянии Z от вершины дендрита на участке без боковых ветвей, т.е.
Z<ZSB. (Мы используем общепринятые обозначения [280-282]). На рисунке 13.2
представлена зависимость среднего значения безразмерной позиции первой боковой ветви
zSB = Z SB R2 от абсолютного переохлаждения T и безразмерного переохлаждения .
Как видно из рисунка, с ростом переохлаждения T от 0.5 до 3.8 К величина zSB
возрастает от 2.7 до 500. Такое поведение растущих дендритов льда существенно отличается от результатов теоретических исследований процесса ветвления дендрита [139, 141].
Согласно теории Лангера позиция первой боковой ветви дается выражением
|
σ 2 |
|
3 |
6 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
zSB ≈ |
ln |
(SC ) |
(13.1) |
|||||||||
2 |
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
для дендритов, |
|
обладающих цилиндрической симметрией. Здесь |
|
- безразмерная |
||||||||
|
S |
|||||||||||
интенсивностьшума: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
141
Рисунок 13.1. Контур Z(x) дендрита льда в базисной плоскости. Ось Z направлена вдоль
направления роста вершины дендрита (направление |
1120 ), ZSB – расстояние между |
||||||||||
|
вершиной и позицией, в которой среднеквадратичная амплитуда боковых ветвей |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ12 (x) |
1 2 = R2 . |
|
|
|
|
|
|
T |
|
3 |
2 p , |
|
(13.2) |
|
|
S |
= |
|
σ |
|
|
|||||
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2d 3 |
12 |
|
|
|||
где |
T |
= |
|
0 |
. |
|
(13.3) |
||||
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
kBcp |
|
|
|
||||
Постоянная σ определяется также, как и в ЛМ-К теории[132]:
σ = |
d0υt |
. |
(13.4) |
|
2Dp2 |
||||
|
|
|
Бренер и Темкин развили анализ процесса образования боковых ветвей, учитывая, что
форма реальных дендритов не обладает цилиндрической симметрией вследствие
142
анизотропии поверхностного натяжения. В соответствие с теорией Бренера и Темкина позиция zSB первойбоковой ветви дается выражением [139]
zSB ≈ |
(27σ )54 |
|
|
ln( |
|
|
|
) |
|
52 . |
(13.5) |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
S |
C |
||||||||||||
9 |
|
|||||||||||||
2 |
5 |
|
5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для расчета температурной зависимости позиции первой боковой ветви для дендритов льда из уравнений (13.1) – (13.5) необходимо выражение, связывающее скорость вершины
υt с переохлаждением T. Наилучшая аппроксимация наших измерений скорости вершины в области переохлаждений 0.4< Т<4К, соответствующей дендритному росту,
дается формулой
υt =1.72×10−2 ( T )2 см/с. (13.6)
Подставляя (13.6) в уравнение (13.4), получим выражение для температурной зависимости числа Пекле:
p = 0.21× . (13.7)
Величина zSB может быть расчитана из уравнений (13.2) – (13.4). Теоретическое значение
C =1, σ =0.025 [84]. Подставляя в (13.1) значение соответствующих параметров, получим
zSB ≈ 3.55×10−3 |
|
ln(0.001 |
) |
|
4 |
(13.8) |
||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
для симметричного дендрита вмодели Лангера и |
|
|||||||||
zSB ≈ 3.41×10−2 |
|
ln(0.001 |
) |
|
52 |
(13.9) |
||||
|
|
|||||||||
для дендрита, не обладающего цилиндрической симметрией в модели Бренера и Темкина.
На рисунке 13.2 представлены зависимости от переохлаждения значения zSB в
соответствие с теорией Лангера (кривая 1) и теорией Бренера и Темкина (кривая 2).
Видно, что температурная зависимость позиции первой боковой ветви zSB дендритов льда не согласуется с диффузионными теориями образования боковых ветвей, основанными на селективном усилении шума: с ростом переохлаждения величина zSB не уменьшается логарифмически в соответствии с теорией [139, 141], а значительно, более чем на два
порядка возрастает, что свидетельствует о постепенной стабилизации фазовой границы. 143
Наблюдаемое расхождение между экспериментом и теорией в принципе может быть обусловлено тем, что с ростом исходного переохлаждения воды: а) уменьшается интенсивность шума, приложенного к вершине дендрита – триггера процесса образования боковых ветвей; б) происходит кинетическое выглаживание фазовой границы лед-вода, т.е. постепенное уменьшение степени ее шероховатости; в) вследствие возрастания скорости перемещения фазовой границы уменьшается роль теплопроводности в
механизме дендритообразования. Из формул (13.2) и (13.7) следует, что при |
T <<T0 |
|||
интенсивность теплового шума |
|
линейно растет |
с ростом переохлаждения |
T и |
S |
||||
поэтому подавление неустойчивости бокового роста, |
выражаемого в росте zSB |
может |
||
быть обусловлено только факторами (б) и (в), т.е. увеличением влияния поверхностной кинетики и уменьшением влияния теплопроводности на скорость роста боковых ветвей дендритов льда.
T, К
Рисунок 13.2 − Зависимость безразмерной позиции первой боковой ветви zSB от безразмерного переохлаждения (нижняя ось абсцисс) и абсолютного переохлаждения
Т(верхняя ось абсцисс): 1 – теория Лангера [141], 2 – теория Бренера и Темкина [139], 3
–экспериментальные значения zSB для дендритов льда.
144
13.2. Тестирование осцилляторного механизма ветвления дендритов льда
Более пяти десятилетий, прошедшие со времени работы Иванцова [126], исследователи дендритного роста используют скорость вершины дендрита для количественной параметризации дендритного роста. Из аналитических работ Иванцова [126], Мисбаха и Мюллера-Крюмбхара [127], Бен Джакоба и Гарика [129-131], Бизанга и Билграма [140]
следует, что в условиях свободного роста, когда задано исходное переохлаждение расплава T , скорость вершины дендрита сохраняет постоянное значение в ходе роста, в
то время как эволюция боковых ветвей демонстрирует время-зависимое поведение.
Однако, в ряде теоретических и экспериментальных работ, опубликованных, в основном,
в последнее десятилетие, было показано, что вершина дендрита перемешается нестационарно. Рассматривается, как правило, два аспекта нестационарного роста: 1)
постепенное ускорение вершины на начальной стадии роста дендрита и последующий выход на постоянную среднюю скорость на установившейся стадии; 2) тонкие осцилляции вершины дендрита, связанные с эволюцией боковых ветвей.
Компьютерные расчеты в модели фазового поля подтверждают наличие ранней переходной стадии роста двумерных изотермических дендритов до выхода на стационарную стадию роста. Лакомбе, Косс и Гликсман [201] экспериментально исследовали кинетику изотермических дендритов пивалиновой кислоты, выращенных в условиях микрогравитации на спейс-шатле Колумбия и установили наличие начальной стадии роста, когда вершина дендрита, постепенно ускоряясь, выходит на стационарный режим. Экспериментально колебательная мода роста в случае кристаллизации однокомпонентного расплава обнаружена в единственной работе (Лакомбе и др. [198])
при анализе видеофильмов роста трехмерных дендритов пивалиновой кислоты в условиях микрогравитации. Таким образом, проблема нестационарного роста дендрита в изотермических условиях является одним из острых современных фундаментальных вопросов дендритного роста кристалла из однокомпонентного расплава.
Исследовали кинетику роста дендрита из первичного выступа, который образуется на изначально гладком дисковом кристалле. Сначала пленку воды охлаждали до заданной температуры T <Tm . Затем поверхность переохлажденной воды подвергалась «уколу» затравочной ледяной иглой (микрососулькой), который провоцирует рост плоского кристалла льда в виде диска. С течением времени контур диска искажается и на нем развиваются первичные выступы, которые затем вырастают в дендритные кристаллы,
145
если исходное переохлаждение находится в интервале 0.4 – 4 К. На рисунке 13.3.
представлена временная зависимость длины ствола кристалла xt , т.е. длины кристалла в
направлении 1120 , с момента образования первичного выступа при исходном переохлаждении воды T = 0.8 К. Видно, что кинетическая кривая роста дендрита xt (t)
состоит из двух стадий. На стадии I вершина кристалла, постепенно ускоряясь, выходит на постоянную среднюю скорость роста, а последующая стадия II характеризуется наличием тонких пульсаций скорости вершины, но средняя скорость сохраняется в ходе эволюции дендрита при заданном переохлаждении воды. Наилучшая аппроксимация усредненной кинетической кривой роста вершины дендрита дается функцией
xt (t) =υt |
{t −t0 [1− exp(−t /τ)]}, |
(13.10) |
где υt =130 мкм/с – постоянная средняя скорость роста кристалла на установившейся стадии II, t0 =0.7 с – точка пересечения регрессионной прямой с осью времени, τ ≈0.86 с – характерное время затухания переходного процесса, связанного с ускоренным ростом.
Подобный двухстадийный рост изотермического дендрита наблюдали Лакомбе и др. [201, 202] при анализе видеофильмов роста дендритов пивалиновой кислоты в условиях микрогравитации.
Видеосъемка показывает, что формы кристалла льда на стадиях I и II существенно различны. Вначале стадии I форма контура кристалла близка к параболе с незначительными, почти синусоидальными искажениями (Рисунок 13.4б), а на стадии II
форма кристалла есть дендрит с развитыми боковыми ветвями (Рисунок 13.4в).
Фрактальный анализ контуров проекций дендритов по формуле Мандельброта P ~ Ad f 
2
показал, что с течением времени размерность контура дендрита d f возрастает от 1.0 до d f ≈1.56 и сохраняется таковой на установившейся стадии II (Рисунок 13.5). Таким образом, при заданном исходном переохлаждении воды вершина дендрита с развитыми боковыми ветвями растет быстрее, чем вершина иглообразного (без ветвей и/или со слаборазвитыми ветвями) кристалла. Это означает, что при данном переохлаждении (в
интервале 0.4-4 К) ветвление реализует большую скорость фазового перехода, чем рост морфологически устойчивого иглообразного кристалла льда. Этот экспериментальный факт чрезвычайно важен в контексте проблемы отбора различных морфологий
(евклидовых и фрактальных) неравновесного роста.
146
Возможные причины наблюдаемого эффекта состоят в следующем. Из-за разности плотностей льда и воды динамическое (с ускорением) образование выступа на боковой поверхности иглообразного дендрита должно привести к инициированию встречного потока расплава, который способен сместить тепловое поле дендрита в направлении,
противоположном росту ствола. В результате длина тепловой диффузии вблизи вершины дендрита уменьшится, а температурный градиент в жидкой фазе возрастает, что должно привести к росту скорости роста вершины дендрита. Для такого процесса необходимо наличие, по крайней мере, двух условий, которые всегда реализуются в экспериментах по росту в воде дендритов льда: дилатационный эффект и наличие непрерывной несжимаемой вязкой жидкой фазы (воды).
Рисунок 13.3 − Временная зависимость координаты вершины xt (t) растущего
изотермического дендрита. Исходное переохлаждение T=0.8 К. Римскими цифрами I и II обозначены неустановившаяся и квазистационарная стадии роста вершины соответственно.
147
Рисунок 13.4 − Типичные формы дендрита льда на стадии I (а,б) и стадии II (в). Исходное переохлаждение воды T =0.8 К: а – параболическая форма через ta =0.24 с с момента
образования первичного выступа; б – tб =0.48 с; в – tв =4 с.
148
Рисунок 13.5 − Временная зависимость фрактальной размерности растущего изотермического дендрита.
В соответствии с теоретическими представлениями о механизмах ветвления дендрита эмиссия боковых ветвей может инициироваться тепловым шумом, действующим на его вершину [139, 141], или динамическими осцилляциями вершины дендрита [123, 192].
Измерялись кинетические кривые роста двенадцати дендритов с развитыми
боковыми ветвями, растущих при различных переохлаждениях T : 0.40, 0.60, 0.75, 0.85,
0.95, 1.05, 1.20, 1.30, 1.45, 1.70, 1.75, 2.15 К. Обнаружено, что для всех исследованных дендритов кинетические кривые роста, т.е. временная зависимость положения вершины
дендрита xt (t) , имеет ступенчатый вид. На рисунке 13.6а представлена типичная
кинетическая кривая роста дендрита, свободно растущего воде, переохлажденной на 1.2
К. Видно, что она имеет скачкообразный характер с почти периодическими пульсациями ускорения at = xt вершины, растущей со средней скоростью υt =270 мкм/с. Средний период пульсаций составляет около T ≈ 160 мс, что соответствует частоте около 6 Гц.
Действительно, спектр мощности функции at (t) имеет явно выраженный пик на частоте
6.3 Гц. Важно отметить, что расстояние, которое проходит за время T вершина дендрита xt =υtT ≈ 43 мкм, соизмеримо со средним расстоянием между первыми боковыми
149
ветвями λ ≈ 52 мкм. Это обстоятельство свидетельствует о возможной связи между
пульсациями вершины и динамикой первых боковых ветвей.
Для исследования этой связи сравнивали кинетическую кривую роста вершины xt (t) с временными зависимостями длин ls (t) первых боковых ветвей дендрита (рисунок
13.7). Наблюдается явная корреляция между пульсациями вершины дендрита и начальной стадией роста первых боковых ветвей: первая боковая ветвь «стартует» в фазе торможения вершины дендрита. О количественной корреляции пульсаций с динамикой образования боковых ветвей свидетельствует приблизительное равенство количества пульсаций и количества N эмитируемых боковых ветвей, когда N < 20 . При больших
значениях N эта корреляция нарушается вследствие корсенинга – процесса увеличения
размера одних зерен за счет других (соседних). Динамика таких зерен определяется, в
основном, нелинейным взаимодействием соседних боковых ветвей в их самосогласованном тепловом поле и не чувствительна к динамическим пульсациям вершины дендрита.
Отметим, что особенностью геометрии дендритов льда, как обнаружено, является значительно большее расстояние между боковыми ветвями по сравнению с расчетами теории Лангера и Мюллера-Крюмбхара (ЛМ-К теории). В ЛМ-К модели боковые ветви образуются в виде колец на осесимметричном параболоидном стволе дендрита и среднее
расстояние между боковыми ветвями λ = 2.1λs [162]. Наблюдаемое различие
эксперимента и ЛМ-К теории дендритного роста обусловлено тем, что боковые ветви образуются не на всей боковой поверхности, а лишь на двух «гребешках» – первичных плоских искажениях ствола в форме сильно сплюснутого эллиптического параболоида.
Обнаружено также, что температурная зависимость λ для первого положения боковых ветвей хорошо аппроксимируется гиперболой λ ~ T −1 . Эта зависимость согласуется с приблизительным постоянством отношения λ λs ≈ 4 , где λs – длина волны стабильности Малинза-Секерки.
150