- •050708 (031200) Педагогика и методика начального образования дпп. Ф. 06. Математика
- •Глава I. Элементы логики
- •§ 1. Множества и операции над ними
- •1. Понятие множества и элемента множества
- •2. Способы задания множеств
- •3. Отношения между множествами. Подмножество. Равные множества. Универсальное множество. Круги Эйлера. Числовые множества.
- •4. Пересечение множеств
- •5. Объединение множеств
- •6. Свойства пересечения и объединения множеств
- •7. Вычитание множеств. Дополнение множества до универсального
- •8. Понятие разбиения множества на классы с помощью одного, двух, трех свойств
- •9. Декартово произведение множеств
- •10. Число элементов в объединении и разности конечных множеств
- •11. Число элементов в декартовом произведении конечных множеств
- •12. Основные понятия:
- •§ 2. Математические понятия
- •3. Способы определения понятий
- •4. Основные выводы
- •§ 3. Математические предложения
- •§ 4. Математическое доказательство
- •26. Схемы дедуктивных умозаключений.
- •§5. Текстовая задача и процесс ее решения
- •29. Структура текстовой задачи
- •30. Методы и способы решения текстовых задач
- •31. Этапы решения задачи и приемы их выполнения
- •2. Поиск и составление плана решения задачи
- •3. Осуществление плана решения задачи
- •4. Проверка решения задачи
- •5. Моделирование в процессе решения текстовых задач
- •Упражнения
- •32. Решение задач «на части»
- •Упражнения
- •33. Решение задач на движение
- •Упражнения
- •34. Основные выводы.
- •§6. Комбинаторные задачи и их решение
- •§ 7. Алгоритмы и их свойства
- •Упражнения
- •Упражнения
- •Глава II. Элементы алгебры
- •§ 8. Соответствия между двумя множествами
- •41. Понятие соответствия. Способы задания соответствий
- •2. Граф и график соответствия. Соответствие, обратное данному. Виды соответствий.
- •3. Взаимно-однозначные соответствия
- •Упражнения
- •42. Взаимно однозначные соответствия. Понятие взаимно однозначного отображения множества х на множество y
- •2. Равномощные множества. Способы установления равномощности множеств. Счетные и несчетные множества.
- •Упражнения
- •43. Основные выводы § 8
- •§ 9. Числовые функции
- •44. Понятие функции. Способы задания функций
- •2. График функции. Свойство монотонности функции
- •Упражнения
- •45. Прямая и обратная пропорциональности
- •Упражнения
- •46. Основные выводы § 9
- •§10. Отношения на множестве
- •47. Понятие отношения на множестве
- •Упражнения
- •48. Свойства отношений
- •R рефлексивно на х ↔ х r х для любого х € X.
- •R симметрично на х ↔ (х r y →yRx).
- •49. Отношения эквивалентности и порядка
- •Упражнения
- •50. Основные выводы § 10
- •§ 11. Алгебраические операции на множестве
- •51. Понятие алгебраической операции
- •Упражнения
- •52. Свойства алгебраических операций
- •Упражнения
- •53. Основные выводы § 11
- •§ 12. Выражения. Уравнения. Неравенства
- •54. Выражения и их тождественные преобразования
- •Упражнения
- •55. Числовые равенства и неравенства
- •Упражнения
- •56. Уравнения с одной переменной
- •2. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений
- •3. Решение уравнений с одной переменной
- •Упражнения
- •57. Неравенства с одной переменной
- •2. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств
- •3. Решение неравенств с одной переменной
- •Упражнения
- •58. Основные выводы § 12
- •Упражнения
- •Глава III. Натуральные числа и нуль
- •§ 13. Из истории возникновения понятия натурального числа
- •§ 14. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
- •59. Об аксиоматическом способе построения теории
- •Упражнения
- •60. Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа
- •Упражнения
- •61. Сложение
- •62. Умножение
- •63. Упорядоченность множества натуральных чисел
- •Упражнения
- •64. Вычитание
- •Упражнения
- •65. Деление
- •66. Множество целых неотрицательных чисел
- •Упражнения
- •67. Метод математической индукции
- •Упражнения
- •68. Количественные натуральные числа. Счет
- •Упражнения
- •69. Основные выводы § 14
- •70. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»
- •Упражнения
- •Лекция 36. Теоретико-множественный подход в построении множества целых неотрицательных чисел.
- •71. Теоретико-множественный смысл суммы
- •Упражнения
- •72. Теоретико-множественный смысл разности
- •Упражнения
- •73. Теоретико-множественный смысл произведения
- •Упражнения
- •74. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел
- •Упражнения
- •75. Основные выводы § 15
- •§16. Натуральное число как мера величины
- •76. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения
- •Упражнения
- •77. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины. Смысл суммы и разности
- •Упражнения
- •78. Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин
- •79. Основные выводы § 16
- •80. Позиционные и непозиционные системы счисления
- •81. Запись числа в десятичной системе счисления
- •Упражнения
- •82. Алгоритм сложения
- •Упражнения
- •83. Алгоритм вычитания
- •Упражнения
- •84. Алгоритм умножения
- •Упражнения
- •85. Алгоритм деления
- •86. Позиционные системы счисления, отличные от десятичной
- •87. Основные выводы § 17
- •§ 18. Делимость натуральных чисел
- •88. Отношение делимости и его свойства
- •89. Признаки делимости
- •90. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
- •2. Основные свойства наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя чисел
- •3. Признак делимости на составное число
- •Упражнения
- •91. Простые числа
- •92. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел
- •93. Основные выводы § 18
- •3. Дистрибутивности:
- •§ 19. О расширении множества натуральных чисел
- •94. Понятие дроби
- •Упражнения
- •95. Положительные рациональные числа
- •96. Множество положительных рациональных чисел как расширение
- •97. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей
- •98. Действительные числа
- •99. Основные выводы § 19
- •Глава IV. Геометрические фигуры и величины
- •§ 20. Из истории возникновения и развития геометрии
- •1. Сущность аксиоматического метода в построении теории
- •2. Возникновение геометрии. Геометрия Евклида и геометрия Лобачевского
- •3. Система геометрических понятий, изучаемых в школе. Основные свойства принадлежности точек и прямых, взаимного расположения точек на плоскости и прямой.
- •§ 21. Свойства геометрических фигур на плоскости
- •§ 22. Построение геометрических фигур
- •1. Элементарные задачи на построение
- •2. Этапы решения задачи на построение
- •Упражнения
- •3. Методы решения задач на построение: преобразования геометрических фигур на плоскости: центральная, осевая симметрии, гомотетия, движение.
- •Основные выводы
- •§24. Изображение пространственных фигур на плоскости
- •1. Свойства параллельного проектирования
- •2. Многогранники и их изображение
- •Тетраэдр Куб Октаэдр
- •Упражнения
- •3. Шар, цилиндр, конус и их изображение
- •Основные выводы
- •§ 25. Геометрические величины
- •1. Длина отрезка и ее измерение
- •1) Равные отрезки имеют равные длины;
- •2) Если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.
- •Упражнения
- •2. Величина угла и ее измерение Каждый угол имеет величину. Специального названия для нее в
- •1) Равные углы имеют равные величины;
- •2) Если угол состоит из двух углов, то его величина равна сумме величин его частей.
- •Упражнения
- •1) Равные фигуры имеют равные площади;
- •2) Если фигура состоит из двух частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей.
- •4. Площадь многоугольника
- •5. Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение
- •Упражнения
- •Основные выводы
- •1. Понятие положительной скалярной величины и ее измерение
- •1) Масса одинакова у тел, уравновешивающих друг друга на весах;
- •2) Масса складывается, когда тела соединяются вместе: масса нескольких тел, взятых вместе, равна сумме их масс.
- •Заключение
- •Список литературы
93. Основные выводы § 18
Изучая материал данного параграфа, мы определили следующие понятия:
делитель данного числа;
простое число;
составное число;
общий делитель данных чисел;
-наибольший общий Делитель данных чисел;
- взаимно простые числа;
общее краткое данных чисел;
-наименьшее общее кратное данных чисел.
Рассмотрены, а в ряде случаев и доказаны теоремы о свойствах делимости и признаках делимости на 2, 3, 4, 5,9. Кроме того, дан способ получения признаков делимости на те составные числа, которые можно представить в виде произведения взаимно простых чисел.
Любое составное число можно представить в виде произ- ведения простых множителей или разложить на простые множители.
Наибольший общий делитель двух чисел Можно находить двумя способами. Первый основан на разложении данных чисел на простые множители, а второй является алгоритмом Евклида.
Наименьшее общее кратное двух чисел можно находить, используя разложение данных чисел на простые множители, или, если известен наибольший общий делитель чисел а и b, то по формуле
a·b
K(a,b )= ־־־־־־־
D(a,b)
Лекция 48. О расширении множества целых неотрицательных чисел. Целые числа
План:
1. Задача расширения понятия числа. Краткие исторические сведения о возникновении понятия дроби и отрицательного числа. Целые числа. Отрицательные целые числа. Целое отрицательное число. Противоположное число. Модуль числа. Сумма, произведение, разность двух целых чисел. Свойства множества целых чисел и их геометрическая интерпретация.* (вводится позже)
СВОЙСТВА МНОЖЕСТВА ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ.
Теорема 8.22. (Теорема Архимеда). Для любых целых чисел а и в существует натуральное число п, что пв> а.
Доказательство. Рассмотрим число п = а', т.е. п = а + 1. В силу теоремы 8.9 и следствия 2 имеем неравенства в > 1 и п > а. Почленно перемножая эти неравенства, получим пв > а. Теорема доказана.
Теорема 8.23. (Принцип наименьшего числа).Любое непустое подмножество множества целых чисел содержит наименьшее число.
Доказательство. Пусть множество М таково, что М и
М . Рассмотрим два случая.
I. Множество М состоит из конечного числа элементов. В этом случае доказательно теоремы проводим методом математической индукции по числу элементов. Если М состоит из одного элемента (М = {а}), то этот элемент и будет наименьшим из чисел, входящих в М. Предположим, что теорема справедлива для множества М, содержащего некоторое конечное число элементов п. Другими словами, считаем, что всякое множество М , состоящее из п элементов, содержит наименьшее число. Пользуясь предположением, докажем, что множество М , состоящее из
п + 1 элементов, также содержит наименьшее число. Выберем произвольный элемент аМ и рассмотрим множество М₁ = М\{а}. Множество М₁ состоит из п элементов, а значит по предположению в нем найдется наименьшее число, которое обозначим через в. Так как а М₁, а в М₁, то а в, но тогда по теореме 8.10 из двух чисел а и в одно меньше другого. Наименьшее из двух чисел а и в означим через с. Очевидно, что с является наименьшим числом в множестве М.
Итак, все условия метода математической индукции выполнены и справедливость теоремы для любого конечного подмножества доказана.
II. Пусть теперь множество М состоит из бесконечного числа элементов. Выберем любой элемент n из множества М. Число n разбивает множество М на два подмножества:
М₁ = {х/хМ , х п} и М₂ = {х| хМ х > п }. Множество М₁ состоит из конечного числа элементов (их не более чем п + 1), а значит по первой части теоремы, в нем содержится наименьшее число, которое обозначим через т. Итак, для любого хМ₁ , имеем т х. В частности, т п. Но тогда, учитывая определение множества М₂, приходим к выводу, что наименьшее число во всем множестве т . Теорема доказана.
Теорема 8.24. {Принцип наибольшего числа). Если М - непустое подмножество множества целых чисел и существует такое число в, что для любого числа х М выполняется неравенство х <в, то в множестве М есть наибольшее число.
Доказательствотеоремы аналогично доказательству теоремы 8.23.
Теорема 8.25. {Свойство дискретности множества Z). Для любого
а Z не существует целого числа п такого, что а < п < а'.
Доказательство проведем методом от противного. Пусть существует такое п, что выполняются оба неравенства: а < п и п < а'. По определению отношения "меньше" существуют такие целые числа с₁ и с₂, такие, что а + с₁ = п и п + с₂= а'. Тогда а + (с₁ + с₂) = а ' т.е. с₁ + с₂ = 1. С другой стороны,
с₁ ≥1 и с₂ ≥ 1, поэтому с₁ + с₂ ≥ 2. Пришли к противоречию с допущением, значит, оно неверное. Теорема доказана.
Теорема 8.26. Множество целых чисел Z: а) бесконечное; б) дискретное; в) линейно упорядоченное; г) счетное, д) в нем имеется наименьшее число и нет наибольшего числа; е) в нем выполняются принципы наименьшего и наибольшего числа и свойство Архимеда.
Доказательство, а) В множестве Z есть собственные подмножества, которые ему эквиваленты. Например, множество четных целых чисел является подмножеством Z и ему эквивалентно, поэтому множество Z бесконечное; б) Свойство доказано в теореме 8.25; в) Свойство доказано в теореме 8.10; г) Свойство следует из определения счетного множества: д) Свойство доказано в теореме 8.9 и следствиях нему; е) Свойство доказано в теоремах 8.23 и 8.24.
АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ МНОЖЕСТВА ЦЕЛЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Z₀. Множество Z₀ = N{0}. Нуль можно ввести, изменив I и IV аксиомы Пеано следующим образом:
I. В множестве Z₀ существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Называют его нулем и обозначают символом 0.
IV. Пусть множество М есть подмножество множества Z₀ и известно, что:
а) 0М; б) из того, что аМ , следует, что и а'М. Тогда множество М совпадает с множеством Z₀.
Аксиомы II и III остаются без изменения.
Свойства сложения и умножения целых неотрицательных чисел принимают вид:
Для сложения: 1) (а Z₀)[а + 0 = а]; 2) (а,в Z₀)[а + в' = (а + в)'}.
Для умножения: 1) (а Z₀)[а0 = 0]; 2) (а,в Z₀)[ав' = ав + а]. Определения операций вычитания и деления целых неотрицательных чисел аналогичны соответствующим определениям операций для натуральных чисел. При этом считают, что деление на нуль невозможно: значение 0:0 не определено, в частности а:0 при а 0 не существует.
Отношение "меньше" ("больше") на множестве Z₀, определяется так же, как и на множестве N. Причем, числом, которое меньше любого другого числа, является число нуль и оно в числовом ряду стоит на первом месте: 0, 1,2,3,....
Все теоремы, доказанные для натуральных чисел, остаются в силе для целых неотрицательных чисел.
ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННОЕ ПОСТРОЕНИЕ МНОЖЕСТВА ЦЕЛЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. Число - одно из основных понятий математики, возникшее впервые в связи с потребностями счета предметов. Построение системы целых неотрицательных чисел на основе теории множеств связано с именем Г. Кантора. В этой теории, которую называют количественной теорией, основополагающими являются понятия конечного множества и взаимно однозначного соответствия.
С теоретико-множественных позиций натуральное число рассматривается как число элементов конечного множества. Число 0 тоже имеет теоретико-множественное истолкование: оно соответствует пустому множеству (0 = п(0)). Так как одному и тому же множеству соответствует только одно число, то вся совокупность конечных множеств распадается на классы равночисленных (эквивалентных) множеств. Поэтому натуральным числом называют общее свойство (инвариант) класса непустых эквивалентных множеств. Так, число 5 - то общее свойство, которым обладают множества, содержащее пять пальцев, пять вершин пятиконечной звезды, пять сторон пятиугольника и т.п. Каждый класс определяется любым своим представителем, например, отрезком натурального ряда.
Два натуральных числа называются равными, если соответствующие им множества эквивалентны, в противном случае - числа называются неравными, т.е. если а = п(А), в = п(В), то а=в А~В и ав А~В.
Теорема 8.27.Отношение равенства целых неотрицательных чисел обладает следующими свойствами:
1. Рефлексивность. Любое целое неотрицательное число равно самому себе, т.е. а = а.
2. Симметричность. Если число а равно числу в, то и число в равно числу а, т.е. если а = в, то в = а.
3. Транзитивность. Два числа, равные третьему, равны между собой, т.е. если а = в и в = с, то а = с.
Доказательство.Каждое из этих свойств вытекает непосредственно из одноименного свойства отношения равномощности множеств и определения равенства натуральных чисел.
Следствие.Отношение равенства целых неотрицательных чисел является отношением эквивалентности.
Отношение "меньше" тоже имеет теоретико-множественное истолкование. Если множество А равномощно собственному подмножеству множества В и п{А} = а, п(В) = в, говорят, что число а меньше числа в, и пишут а < в. В этой же ситуации говорят, что в больше а, и пишут в > а.
Теорема 8.28. Отношение "меньше" на множестве Z₀ обладает следующими свойствами:
1. Для любого отличного от нуля числа а справедливо неравенство 0 < а.
2. Антирефлексивность. Любое целое неотрицательное число не вступает в отношение "меньше" с самим собой, т.е. неверно, что а < а) ].
3. Асимметричность. Если а < в, то неверно, что в < а.
4. Транзитивность. Если а < в, в < с, то а < с.
Доказательство. 1. Свойство вытекает из того, что пустое подмножество является подмножеством любого множества А, для которого а = п(А), а также теоретико-множественного определения отношения "меньше" и того факта, что 0 = п(0)).
2. Справедливость свойства вытекает из того, что конечное множество не может быть равномощно собственному подмножеству.
3. Справедливость свойства вытекает из следующих рассуждений: если конечное множество А равномощно собственному подмножеству множества в, то множество в не может быть равномощно никакому собственному подмножеству множества А, т.к. в противном случае мы получили бы, что А равномощно некоторой своей собственной части, что противоречит конечности множества А.
4. Свойство вытекает из транзитивности отношения строгого включения для множеств (АВВС => АС). Теорема доказана.
Следствие. Отношение "меньше" определяет на множестве целых неотрицательных чисел строгий порядок, который является линейным в силу свойства связности: если а в, то либо а < в, либо в < а.
ПОРЯДКОВЫЕ И КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА. В аксиоматической теории натуральное число рассматривается как элемент специального множества, представляющего собой бесконечный упорядоченный ряд, в котором обязательно существует первое число (первый элемент) и следующие за ним числа расположены в определенном порядке. Другими словами, аксиоматическая теория рассматривает натуральное число, как число порядковое.
В теоретико-множественной трактовке натуральное число понимается как, количественная характеристика конечного множества, т.е. как число количественное.
Эти два различные смысла натурального числа связаны между собой в процессе счета предметов, т.к. при пересчете элементов некоторого множества не| только находят, сколько в нем элементов (пять, двадцать один и т.п.), но и расставляют эти элементы в определенном порядке (упорядочивают их: пери второй, третий и т.д.). Так, например, упорядочиваются в театрах ряды и кресла, на вешалках - крючки для одежды, на улицах - дома, в каждом доме - этажи квартиры и т. п. Поэтому натуральные числа служат не только для ответа вопрос "сколько?", но и для ответа "какой по счету?", т.е. они являются не только количественными, но и порядковыми числами.
При счете элементов некоторого конечного множества А важно соблюдать следующие требования: 1) начинать счет можно с любого элемента множества; 2) ни один элемент множества А не должен быть пропущен; 3) ни один элемент множества не должен быть сосчитан дважды; 4) первым при счете называется слово «один»; 5) числа, используемые при счете, следуют одно за другим без пропусков.
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НА МНОЖЕСТВЕ Z₀ (ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЙ ПОДХОД). Сложение целых неотрицательных чисел связано с операцией объединения непересекающихся конечных множеств.
Сумма целых неотрицательных чисел а и в - число элементов в объединении непересекающихся множеств А и В таких, что п(А) = а, п(В) = в, т.е. а + в = п(АВ). где а = п(А), в = п(В), АВ=0.
Теорема 8.30.Для любых целых неотрицательных чисел а и в всегда существует единственное целое неотрицательное число с, являющееся их суммой, т.е. сумма любых двух целых неотрицательных чисел существует и единственна.
Доказательство. Пусть а и в - два целых неотрицательных числа. Из элементов любой природы построим конечные множества А и В такие, что п(А) = а, п(В) = в и АВ=0.
Докажем существование. Из теории множеств известно, что объединение конечного числа конечных множеств есть множество конечное. Поэтому объединение АВ является конечным множеством. Последнее означает, что существует целое неотрицательное число с = пАВ). Но по определению суммы целых неотрицательных чисел число с и есть сумма чисел а и в. Тем самым существование суммы доказано.
Докажем единственность. Покажем, что сумма а + в единственна и не зависит от выбора представителей в классах. Возьмем из классов эквивалентности, определяющих числа а и в, вместо множеств А и В соответственно, множества А₁ и В₁. Пусть с₁ - целое неотрицательное число такое, что п(А₁ В₁) = с₁. Покажем, что с₁ = с. Иначе говоря, докажем, что если А₁~А и В₁~В, причем А₁ В₁ = А В = , то А₁ В₁ ~ А В.
Пусть - взаимно однозначное соответствие между множествами А и А, а- между множествами В и В₁. Каждый элемент х, принадлежащий АВ, принадлежит либо А, либо В, потому что х не может принадлежатьАи В одновременно, т.к. их пересечение пусто.
Определим соответствие между множествами А В и А₁ В₁ следующим образом.
Если хА, то положим (х) = (х) = х₁ А.
Если хВ, то положим (х) = (х) = х₁ В.
Покажем, что взаимно однозначное соответствие. В самом деле, при таком определении для каждого х существует единственный элемент , удовлетворяю условию (х) = (х). И наоборот, всякий элемент х₁ соответствует точно одному элементу хеА В. Следовательно, взаимно однозначное соответствие между множествам А В и А₁ В₁ установлено. Поэтому А В ~ А₁ В₁, а значит с₁ = с. Теорема доказана.
Определение суммы двух целых неотрицательных чисел легко распространяется на любое конечное число слагаемых.
Вычитание целых неотрицательных чисел а и в связано с выделением из множества А (а = п(А)) подмножества В (в = п(В)).
Разность целых неотрицательных чисел а и в - число элементов в дополнении множества В до множества А при условии, что п(А) = а, п(В) = в, ВА, т.е.
а-в=п(А\В).
Теорема 8.31. Разность целых неотрицательных чисел а и всуществует и единственна тогда и только тогда, когда в ≤ а, т.е.
(а,в₀)(с₀)[с = а - в <=> в ≤ а].
I. Необходимость условия существования разности;
II. Достаточность условия существования разности;
III. Единственность разности.
В количественной теории рассматриваются различные подходы к определению произведения целых неотрицательных чисел. Так, взяв за основу понятие суммы, имеем следующее определение.
Произведением целых неотрицательных чисел а и а – целое неотрицательное число ав, которое удовлетворяет следующим условиям:
а*в = а+а+…+а (в раз) при в > 1;
а*1 = а при в = 1;
а*0 = 0.
Данное определение имеет следующее теоретико-множественное обоснование. Пусть даны в попарно непересекающихся множеств А₁, А₂, …, А, каждое из которых имеет а элементов. Тогда их объединение содержит ав элементов.
Существование и единственность произведения целых неотрицательных чисел при таком подходе вытекает из существования и единственности суммы.
Однако для вывода законов умножения, а также законов, связывающих умножение с другими операциями над целыми неотрицательными числами, более удобен другой подход к определению произведения. Он связан с декартовым произведением множеств.
Произведение целых неотрицательных чисел а и в – число элементов декартова произведения множеств А и В, где п(А) = а, п(В) = в, т.е. а*в = п(АВ), где а = п(А), в = п(В).
Далее доказывается теорема о существовании и единственности произведение целых неотрицательных чисел (в данном пособии берем без доказательства).
Деление чисел связано с разбиением конечных множеств на равночисленные попарно не пересекающиеся подмножества. При этом решаются две задачи: нахождение числа элементов в каждом подмножестве (деление на части) и нахождение числа таких подмножеств (деление по содержанию).
Пусть а = п(А) и множество А разбито на попарно не пересекающиеся равномощные подмножества. Частным чисел а и в называется:
- число подмножеств в этом разбиении, если в – число элементов каждого подмножества в разбиении множества А;
- число элементов в каждом подмножестве, если в – число подмножеств в разбиении множества А.
Частное обозначается а:в.
Если даны числа а и в такие, что а = п(А), в = п(В), а > в, и множество А можно разбить на п подмножеств, равномощных множеству В, то говорят, что число а больше в в п раз, а число в меньше числа а в п раз.
Невозможность деления на нуль также имеет свое теоретико-множественное истолкование. Если а в, а в= 0, то невозможность деления я на в вытекает из невозможности представления непустого конечного множества А (п(А) = а) в виде объединения пустых подмножеств.
ЗАКОНЫ И СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ НА МНОЖЕСТВЕ Z₀ практически полностью совпадают с аналогичными законами и свойствами арифметических операций на множестве N.
Используя теоретико-множественную трактовку gокажем основные законы, которым удовлетворяют арифметические операции на множестве целых неотрицательных чисел.
Теорема 8.33. Для любых целых неотрицательных чисел а, d и с справедливы следующие законы арифметических операций:
1. Коммутативности: а + d = d + а, а*в = в*а.
2. Ассоциативности: (а + в) + с = а + (в + с), (а*в)*с = а*(в*с).