- •050708 (031200) Педагогика и методика начального образования дпп. Ф. 06. Математика
- •Глава I. Элементы логики
- •§ 1. Множества и операции над ними
- •1. Понятие множества и элемента множества
- •2. Способы задания множеств
- •3. Отношения между множествами. Подмножество. Равные множества. Универсальное множество. Круги Эйлера. Числовые множества.
- •4. Пересечение множеств
- •5. Объединение множеств
- •6. Свойства пересечения и объединения множеств
- •7. Вычитание множеств. Дополнение множества до универсального
- •8. Понятие разбиения множества на классы с помощью одного, двух, трех свойств
- •9. Декартово произведение множеств
- •10. Число элементов в объединении и разности конечных множеств
- •11. Число элементов в декартовом произведении конечных множеств
- •12. Основные понятия:
- •§ 2. Математические понятия
- •3. Способы определения понятий
- •4. Основные выводы
- •§ 3. Математические предложения
- •§ 4. Математическое доказательство
- •26. Схемы дедуктивных умозаключений.
- •§5. Текстовая задача и процесс ее решения
- •29. Структура текстовой задачи
- •30. Методы и способы решения текстовых задач
- •31. Этапы решения задачи и приемы их выполнения
- •2. Поиск и составление плана решения задачи
- •3. Осуществление плана решения задачи
- •4. Проверка решения задачи
- •5. Моделирование в процессе решения текстовых задач
- •Упражнения
- •32. Решение задач «на части»
- •Упражнения
- •33. Решение задач на движение
- •Упражнения
- •34. Основные выводы.
- •§6. Комбинаторные задачи и их решение
- •§ 7. Алгоритмы и их свойства
- •Упражнения
- •Упражнения
- •Глава II. Элементы алгебры
- •§ 8. Соответствия между двумя множествами
- •41. Понятие соответствия. Способы задания соответствий
- •2. Граф и график соответствия. Соответствие, обратное данному. Виды соответствий.
- •3. Взаимно-однозначные соответствия
- •Упражнения
- •42. Взаимно однозначные соответствия. Понятие взаимно однозначного отображения множества х на множество y
- •2. Равномощные множества. Способы установления равномощности множеств. Счетные и несчетные множества.
- •Упражнения
- •43. Основные выводы § 8
- •§ 9. Числовые функции
- •44. Понятие функции. Способы задания функций
- •2. График функции. Свойство монотонности функции
- •Упражнения
- •45. Прямая и обратная пропорциональности
- •Упражнения
- •46. Основные выводы § 9
- •§10. Отношения на множестве
- •47. Понятие отношения на множестве
- •Упражнения
- •48. Свойства отношений
- •R рефлексивно на х ↔ х r х для любого х € X.
- •R симметрично на х ↔ (х r y →yRx).
- •49. Отношения эквивалентности и порядка
- •Упражнения
- •50. Основные выводы § 10
- •§ 11. Алгебраические операции на множестве
- •51. Понятие алгебраической операции
- •Упражнения
- •52. Свойства алгебраических операций
- •Упражнения
- •53. Основные выводы § 11
- •§ 12. Выражения. Уравнения. Неравенства
- •54. Выражения и их тождественные преобразования
- •Упражнения
- •55. Числовые равенства и неравенства
- •Упражнения
- •56. Уравнения с одной переменной
- •2. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений
- •3. Решение уравнений с одной переменной
- •Упражнения
- •57. Неравенства с одной переменной
- •2. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств
- •3. Решение неравенств с одной переменной
- •Упражнения
- •58. Основные выводы § 12
- •Упражнения
- •Глава III. Натуральные числа и нуль
- •§ 13. Из истории возникновения понятия натурального числа
- •§ 14. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
- •59. Об аксиоматическом способе построения теории
- •Упражнения
- •60. Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа
- •Упражнения
- •61. Сложение
- •62. Умножение
- •63. Упорядоченность множества натуральных чисел
- •Упражнения
- •64. Вычитание
- •Упражнения
- •65. Деление
- •66. Множество целых неотрицательных чисел
- •Упражнения
- •67. Метод математической индукции
- •Упражнения
- •68. Количественные натуральные числа. Счет
- •Упражнения
- •69. Основные выводы § 14
- •70. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»
- •Упражнения
- •Лекция 36. Теоретико-множественный подход в построении множества целых неотрицательных чисел.
- •71. Теоретико-множественный смысл суммы
- •Упражнения
- •72. Теоретико-множественный смысл разности
- •Упражнения
- •73. Теоретико-множественный смысл произведения
- •Упражнения
- •74. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел
- •Упражнения
- •75. Основные выводы § 15
- •§16. Натуральное число как мера величины
- •76. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения
- •Упражнения
- •77. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины. Смысл суммы и разности
- •Упражнения
- •78. Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин
- •79. Основные выводы § 16
- •80. Позиционные и непозиционные системы счисления
- •81. Запись числа в десятичной системе счисления
- •Упражнения
- •82. Алгоритм сложения
- •Упражнения
- •83. Алгоритм вычитания
- •Упражнения
- •84. Алгоритм умножения
- •Упражнения
- •85. Алгоритм деления
- •86. Позиционные системы счисления, отличные от десятичной
- •87. Основные выводы § 17
- •§ 18. Делимость натуральных чисел
- •88. Отношение делимости и его свойства
- •89. Признаки делимости
- •90. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
- •2. Основные свойства наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя чисел
- •3. Признак делимости на составное число
- •Упражнения
- •91. Простые числа
- •92. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел
- •93. Основные выводы § 18
- •3. Дистрибутивности:
- •§ 19. О расширении множества натуральных чисел
- •94. Понятие дроби
- •Упражнения
- •95. Положительные рациональные числа
- •96. Множество положительных рациональных чисел как расширение
- •97. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей
- •98. Действительные числа
- •99. Основные выводы § 19
- •Глава IV. Геометрические фигуры и величины
- •§ 20. Из истории возникновения и развития геометрии
- •1. Сущность аксиоматического метода в построении теории
- •2. Возникновение геометрии. Геометрия Евклида и геометрия Лобачевского
- •3. Система геометрических понятий, изучаемых в школе. Основные свойства принадлежности точек и прямых, взаимного расположения точек на плоскости и прямой.
- •§ 21. Свойства геометрических фигур на плоскости
- •§ 22. Построение геометрических фигур
- •1. Элементарные задачи на построение
- •2. Этапы решения задачи на построение
- •Упражнения
- •3. Методы решения задач на построение: преобразования геометрических фигур на плоскости: центральная, осевая симметрии, гомотетия, движение.
- •Основные выводы
- •§24. Изображение пространственных фигур на плоскости
- •1. Свойства параллельного проектирования
- •2. Многогранники и их изображение
- •Тетраэдр Куб Октаэдр
- •Упражнения
- •3. Шар, цилиндр, конус и их изображение
- •Основные выводы
- •§ 25. Геометрические величины
- •1. Длина отрезка и ее измерение
- •1) Равные отрезки имеют равные длины;
- •2) Если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.
- •Упражнения
- •2. Величина угла и ее измерение Каждый угол имеет величину. Специального названия для нее в
- •1) Равные углы имеют равные величины;
- •2) Если угол состоит из двух углов, то его величина равна сумме величин его частей.
- •Упражнения
- •1) Равные фигуры имеют равные площади;
- •2) Если фигура состоит из двух частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей.
- •4. Площадь многоугольника
- •5. Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение
- •Упражнения
- •Основные выводы
- •1. Понятие положительной скалярной величины и ее измерение
- •1) Масса одинакова у тел, уравновешивающих друг друга на весах;
- •2) Масса складывается, когда тела соединяются вместе: масса нескольких тел, взятых вместе, равна сумме их масс.
- •Заключение
- •Список литературы
Упражнения
1. Используя прием пошаговой детализации, составьте алгоритм выполнения задания: «Определите логическую структуру и значение истинности высказывания, запишите его, используя символы». Проверьте правильность составленного алгоритма для следующих высказываний:
а) 28 кратно 4 и меньше 31;
б) 28 кратно 4 или 9;
в) неверно, что 28 кратно 9.
Используя определение квадрата, составьте и зашипите алгоритм, позволяющий среди различных геометрических фигур распознавать квадраты. Применяя его, выполните задание: «среди следующих фигур выделите квадраты» (рис. 31).
Используя задание: «лежат ли три точки на одной прямой, если известны расстояния между ними: а) 3, 5, 8; б) 1, 4, 2; в) 6, 4, 5; г) 7, 11, 4; д) 3, 8, 12; е) 3, 6, 3?», разделите все случаи на группы в зависимости от результата; обобщите полученные выводы и постройте алгоритм принадлежности трех точек одной прямой. Каким приемом построения алгоритма вы воспользуетесь?
Примечание: расстояния между точками измерены с помощью одной и той же единицы длины.
Основные выводы
Уточнены следующие понятия:
- алгоритм;
- алгоритмическое предписание;
- линейный, разветвляющийся и циклический алгоритм.
Рассмотрены свойства алгоритмов (определенности, дискретности, понятности, результативности, массовости), способы из записи (словесный, формульный, табличный, на языке блок-схем) и приемы построения (пошаговая детализация; прием, основанный на решении частных задач и др.)
Лекция 15. Понятие вероятности
План:
1. События и вероятность. Понятие вероятности. Невозможные и достоверные события.
2. Понятия суммы и произведения. Теоремы сложения и умножения.
3. Условные вероятности. Полная вероятность. Формула Бейеса. Схема испытаний Бернулли.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ - раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений. Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий. Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Так, хотя нельзя наперед определить результат одного бросания монеты, но можно предсказать, причем с небольшой погрешностью, число появлений герба, если монета будет брошена достаточно большое число раз. При этом предполагается, что монета бросается при одних и тех же условиях.
Методы теории вероятностей широко применяются практически во всех областях науки, техники и сельского хозяйства (в физике, биологии, психологии, педагогике, экономике, военном деле, агротехнике и др.).
ИСПЫТАНИЕ (ОПЫТ, СТОХАСТИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ) -
наблюдение какого-либо явления при соблюдении определенного комплекса условий, который должен каждый раз строго выполняться при повторении данного И. Если то же самое явление наблюдается при другом комплексе условий, то это уже другое И.
СОБЫТИЕ - какое-либо явление, которое может произойти или не произойти в результате данного испытания. События принято обозначать начальными заглавными буквами латинского алфавита А, В, С....
Пример 6.1. а) В урне имеются цветные шары. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны есть испытание. Появление шара определенного цвета - событие; б) Студент отвечает на вопрос. Сам процесс - это испытание. Конкретный ответ - событие.
Элементарные исходы (элементарные события) - события, которые в данном испытании могут произойти, причем:
все они взаимно исключают друг друга, и в результате испытания происходит одно из этих событий;
каково бы ни было случайное событие А, по наступившему элементарному событию можно сказать, произошло или не произошло событие А.
Принятое обозначение – ω ₁, ω ₂, ω ₃,…, ωп .
Те элементарные исходы испытания, в которых интересующее событие наступает, называют благоприятствующими этому событию.
Пространство (поле) элементарных событий - совокупность всех элементарных событий данного испытания. Принятое обозначение - Ω, т.е. Ω = { ω ₁, ω ₂, ω ₃,…, ωп }.
Пример 6.2. Испытание состоит в бросании двух игральных кубиков. Элементарное событие состоит в выпадении упорядоченной пары чисел (т, п) на первом и втором кубике соответственно, где т, п Î N,
т £ 6, п £ 6. Пространство Ω = {(1,1), (1,2), (1,3), ., (6,6)} состоит из 36 элементарных событий.
Наблюдаемые события подразделяют на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.
Достоверное С. - С, которое обязательно происходит в результате данного испытания. Принятое обозначение - Ω . Так, достоверным С. является выпадение не более шести очков при бросании обычной игральной кости, появление белого шара при извлечении из урны, содержащей только белые шары, и т.п.
Невозможное С. - С, которое заведомо не произойдет в результате данного испытания. Принятое обозначение - Æ. Примерами невозможных событий являются извлечение более четырех тузов из обычной карточной колоды, появление черного шара при извлечении шара из урны, содержащей только белые шары, и т.п.
Случайное С. – С., которое может либо произойти, либо не произойти в результате данного испытания. Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо орел, либо решка. Поэтому событие А: "При бросании монеты выпал орел" - случайное.
Противоположное С. – С., состоящее в том, что данное событие А не наступило. Его обозначают Ᾱ . Если, скажем, событие А состоит в появлении красной масти при вытаскивании карты из колоды, то Ᾱ означает появление черной.
Несовместные С. - события А и В такие, что наступление одного из них исключает возможность наступления другого. Так, положительный ответ на вопрос несовместим с отрицательным ответом, выпадение четного числа очков при бросании игральной кости несовместно с выпадением нечетного числа. Наоборот, выпадение четного числа очков (событие А) и числа очков, кратного трем (событие В), не будут несовместными, т.к. выпадение шести очков означает наступление и события А, и события В. Ясно, что события А и Ᾱ всегда будут несовместными.
События А ₁, А ₂, .... , А п называются равновозможными, если нет основания считать, что появление одного из них в результате испытания является более возможным, чем остальных.
События А ₁, А ₂, .... , А п называются единственно возможными, если какое-либо одно из них непременно должно наступить в результате испытания.
События А,, А2, .... Ап образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. ш
Пример 6.3. Пусть в урне находится три белых шара, занумерованных цифрами 1, 2, 3 и два черных шара, занумерованных цифрами 4, 5. Из урны наудачу извлекается один шар. Пусть событие А заключается в том, что извлеченный шар - красный. Поскольку в урне находится 5 шаров, то в результате испытания может быть извлечен любой из пяти шаров, т.е. в результате испытания наступит одно из пяти следующих событий: Л, - "Появление шара №1", А2 - "Появление шара №2", ..., А5 - "Появление шара №5". Данные события Аг А2, ., Л5 образуют полную группу равновозможных попарно несовместных событий.
Пример 6.4. События "Выигрыш в шахматной партии" (А) и "Проигрыш в шахматной партии" (В) не образуют полную группу, т.к. результатом шахматной партии может быть "ничья".
ОПЕРАЦИИ НАД СОБЫТИЯМИ.
Сумма (объединение) событий А и В - событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В. Сумму событий обозначают А + В (или А∪В).
Произведение (пересечение) событий А и В - событие, состоящее в их совместном появлении. Произведение событий обозначают А ∙ В (или А∩В).
Разность событий А и В - событие А\В, происходящее тогда и только тогда, когда происходит А, но не происходит В.
а) А + В б) А ∙ В в) А\В г) Ᾱ
Рис. 6.1
На рис. 6.1 события А + В, А ∙ В, А\В, Ᾱ заштрихованы
Теорема 6.1. Для любых событий Л, В и С справедливы следующие законы и свойства:
Коммутативности А + В = В + А; А ∙ В = В ∙ А.
Ассоциативности: (А • В) • С = А • (В • С); (А + В) + С = А + (В + С).
Дистрибутивности: А • (В + С) = (А • В) + (А • С).
Идемпотентности: А• А = А; А + А = А.
Поглощения. А + Ω = Ω ; А • Ω = А; А +Æ = А; А • Æ = Æ.
А+ А = Ω ; А = Ω \А.
А + (А • В) = А; А • (А + В) = А.
Де Моргана: ⌐ (А•В) = Ᾱ + ; ⌐ (А + В) = Ᾱ • .
А\(В•С) = (А\В) • (А\С); А\(В + С) = (А\В) + (А\С) = (А\В)\С/
Двойного отрицания: ⌐ Ᾱ = А.
А + Ᾱ = Ω;
А\В = А • В .
Доказательство этой теоремы опускается.
ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ А ( Р(А) )- отношение числа т благоприятствующих событию А исходов к общему числу п всех равновозможных попарно несовместных элементарных исходов, образующих полную группу, т.е.
Р(А) = m\n(6.1)
Данная формула представляет собой т.н. классическое определение вероятности по Лапласу.
Теорема 6.2.Вероятность достоверного события равна единице: Р(Ω ) = 1.
Доказательство. Пусть Ω- достоверное событие. Тогда в результате испытания оно обязательно произойдет. Следовательно, каждый элементарный исход испытания будет благоприятствующим событиюΩ, т.е.m=n. Значит,Р(Ω ) = m\n=1. Теорема доказана.
Теорема 6.3.Вероятность невозможного события равна нулю: Р(Æ) = 0.
Доказательство. Пусть Æ- невозможное событие. Тогда в результате испытания оно никогда не произойдет. Следовательно, число благоприятствующих событию 0 исходов равно нулю, т.е.m= 0. Значит Р(Æ) = 0\ n.= 0. Теорема доказана.
Теорема 6.4. Если А - случайное событие, то 0 < Р(А) < 1.
Доказательство. Так как А - случайное событие, то в результате испытания оно может как наступить, так и не наступить. Поэтому число mблагоприятствующих событию А исходов испытания, с одной стороны, больше нуля, а с другой стороны меньше числаnвсех элементарных исходов испытания, т.е. 0 <m<n. Тогда 0/n<m/n<n/n, и значит,
0 < m / n< 1. Теорема доказана.
Теорема 6.5. Если А - событие, то 0 < Р(А) < 1.
Доказательство следует из теорем 6.2 - 6.4.
Пример 6.5.Испытание состоит в подбрасывании игральной кости, на каждой из граней которой проставлено число очков (от 1 до 6). Какова вероятность того, что: а) выпадет 2 очка? б) выпадет нечетное число очков?
Решение. В данном испытании имеется 6 равновозможных случаев (выпадение 1,2,3,4,5,6 очков, т.е. n= 6), т.к. нет оснований предполагать, что появление какого-то определенного числа очков более вероятно (при условии, что кость симметрична). Поэтому вероятность выпадения любого числа очков, в том числе и 2, при одном (m= 1) подбрасывании равна 1/6.
Событию А, заключающемуся в появлении нечетного числа очков, благоприятствуют три случая (выпадение 1, 3 и 5, т.е.m= 3), поэтому по формуле (6.1) получаемР(А)= m / n= 0,5.
Ответ, а) 1/6; б) 0,5.
Пример 6.6.В коробке из 12 кубиков находятся 5 красных кубиков. Найдите вероятность того, что среди восьми взятых наудачу кубиков, ровно 2 красных.
Решение. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 8 кубиков из 12, т.е. числу сочетаний из 12 элементов по 6 (С ). Подсчитаем число исходов, благоприятствующих событиюА- "Среди восьми взятых кубиков ровно 2 красных": 2 красных кубика можно взять из 5 красных кубиковС способами; при этом остальные 8∙ 2 = 6 кубика не должны быть красными; взять же 6 не красных кубика из 12 - 5 = 7 не красных кубиков можноС способами.
Следовательно, число благоприятствующих исходов равно С • С .
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию,
к числу всех элементарных исходов: Р(А)= (С • С ) : (С ) = 14 \ 99.
Ответ: 14/99.
В основе математических моделей, используемых в теории вероятностей, лежат три понятия: пространство элементарных событий Ω, класс событийА(подмножествΩ) и определенная на этом классе функция множествР - вероятностная мера. ЗначениеР(А)функцииРдля событияАи называется вероятностью событияА.
ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ЧАСТОТА СОБЫТИЯ -отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Относительная частота события А определяется формулойW(А) = m\n, гдеm -число появлений события,n- общее число испытаний.
Определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту - после опыта. Так, если по окончании экзаменационной сессии выясняется, что из 24 случайно отобранных студентов неуспевающими являются 3 студента, то относительная частота появления неуспевающих студентов W(А) = 3/24 = 0,125.
Длительные наблюдения показывают, что если в одинаковых условиях производятся опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости, суть которое состоит в том, что в различных опытах относительна частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Это постоянное число есть вероятность появления события. Таким образом, если опытным путем установлена относительная частота, то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности.
Пример 6.7.По данным статистического управления города N относительная частота рождения девочек за 2000 г. по месяцам характеризуется следующими числами (числа расположены в порядке следования месяцев, начиная с января): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473. Относительная частота колеблется около числа 0,482, которое можно принять за приближенное значение вероятности рождения девочек.
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ. Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания - конечно, а элементарные события равновозможные. О равновозможности элементарных исходов испытания судят из соображений симметрии. Так, например, обстоит дело при бросании игрального кубика, когда предполагают, что он имеет идеальную форму правильного многогранника (куба), при извлечении шаров из урны, когда считают, что шары абсолютно одинаковые по форме и неразличимы на ощупь, и т.п.
Однако задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются весьма редко. Чаще встречаются испытания, элементарные события которых не являются равновозможными. В таких случаях классическое определение неприменимо. По этой причине наряду с классическим определением пользуются также статистическим определением вероятности, принимая за вероятность события относительную частоту или число, близкое к ней. Другими словами, если в результате достаточно большого числа испытаний оказалось, что относительная частота события Авесьма близка к числу 0,78, то это число принимают за статистическую вероятность событияА, и говорят, что событиеАстохастически устойчиво. Например, если при 100 попытках стрелок попал в цель 81 раз, то можно считать, что для него вероятность попадания в цель при данных условиях приблизительно равна 0,81, т.е. относительной частоте попадания.
АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
Пусть Ω- пространство элементарных событий некоторого стохастического эксперимента и вΩвыделена система 5 событий, являющаяся алгеброй событий. Это означает, что:
1) ΩÎS;
2) Если АÎSÞᾹ ÎS;
3) Если А и ВÎSÞ А+ ВÎSиА∙ ВÎS.
Каждому событию А поставим в соответствие число Р(А) (его вероятность) так, что выполняются следующие свойства:
1 .("АÎS)[Р(А) ≥ 0].
2. Р( Ω )= 1
3. Если А и В несовместны (АВ = Æ), то Р(А + В) = Р(А) + Р(В). Тройка (Ω , S , Р) называется вероятностным пространством.
Этот подход позволяет, не обсуждая трудного вопроса о том, откуда известны первоначальные вероятности, если известны вероятности одних событий, вычислить по ним вероятности других, достаточно сложных событий, пользуясь только перечисленными аксиомами. В таком виде аксиоматика теории вероятностей была предложена
А.Н. Колмогоровым.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Рассмотрим опыт, состоящий в бросании случайным образом точки на отрезок [а; b], предполагая, что попадания в любую точку равновозможны. Пространство элементарных событий Ω в этом опыте - все точки отрезка [а; b]. Поскольку множество элементарных событий несчетно (бесконечно) и все они равновозможны, то для "w Î Ω Р(w ) = 0. Так что классическая схема неприменима. В этом случае положим, что вероятность события А - "Попадание брошенной точки на отрезок [с; d] Ì [а; b] -пропорциональна длине отрезка [с; d] , т.е. Р(А) = к ∙ (d - с), где d - с - длина отрезка. Коэффициент к находится из условия нормировки: Р(Ω ) = к ∙ (а - b) = 1 => к = 1 / (а - b) и Р(А) = (d - с ) / (а - b).
Пример 6.8. Абонент ждет телефонного вызова в течение одного часа. Какова вероятность, что вызов произойдет в последние 20 минут этого часа?
Решение. Пусть событие А состоит в том, что вызов произошел в последние 20 минут. Изобразим пространство элементарных событий в виде отрезка длины 60. Тогда элементарные события, благоприятные А, заключены в последнюю треть отрезка, следовательно, Р{А) =1/3.
Ответ: 1/3.
Естественно, что вместо отрезка можно говорить о плоской фигуре, определив вероятность как отношение Р(А) = S(А) / S (Ω), где S(А) и S (Ω) - площади cоответствующих фигур.
Нетрудно убедиться, что все аксиомы и в том, и в другом случае выполняются.
Пример 6.9. Два лица Х и У условились встретиться в определенном месте между 12 часами и часом, при этом пришедший первым ждет другого в течение 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи лиц X и У, если приход каждого из них в течение указанного часа может произойти случайно, и моменты прихода независимы?
Решение. Обозначим момент прихода лица X через х, а лица У - через у. Для того, чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно выполнение неравенства |х - у| < 20. На координатной плоскости множество точек, удовлетворяющие этому неравенству, изобразятся в виде полосы (рис. 6.2, а), все возможные исходы - точками квадрата со стороной 60 (минут) а благоприятствующие встрече - расположатся в заштрихованной области (рис. 6.2, 6). Следовательно, искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры к площади всего квадрата, т.е. равна (602 - 402 )/602 = 5/9. у* >
Рис. 6.2
Ответ: 5/9.
ВЕРОЯТНОСТИ СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ СОБЫТИЙ. Часто бывает так, что вероятность некоторого события можно найти, зная вероятности других событий, связанных с этим событием.
Теорема 6.6. (Теорема сложения вероятностей). Вероятность суммы (объединения; появления одного из них, безразлично какого) двух произвольных событий равна сумме вероятностей этих событий за вычетом вероятности их совместного появления, т.е.
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).
Доказательство. Пусть А и В - произвольные события. Обозначим через п число всех элементарных исходов испытания, в результате которого может наступить событие А + В. В силу определения число т всех исходов, которые благоприятствуют событию А + В, можно посчитать следующим образом: к числу m₁, благоприятствующих событию А исходов испытания прибавим число т2 благоприятствующих исходов событию В. Поскольку наступление события А + В происходит и при совместном наступлении событий А и В (т.е. при наступлении события АВ), а каждый благоприятствующий событию АВ исход благоприятствует как событию А, так и событию В, то в сумме m₁ + т2 дважды учтено число т₃ всех благоприятствующих событию АВ исходов. Поэтому m = m₁ + т2 - т₃ и значит, Р(А + В) = т\п = (m₁ + т2 - т₃ )\п = m₁\п + т2\п - т₃ \п . Учитывая, что m₁\п, т2\п, т₃ \п - вероятности событий А, В, АВ соответственно, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В)- Р(АВ). Теорема доказана.
Следствие 1. Вероятность суммы (объединения) попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей, т.е. Р(А₁ + А2 +... + Ап) = Р(А₁) + Р(А2) +…+ Р(Ап).
Следствие 2. Пусть А₁, А2, ... , Ап - полная группа попарно несовместных событий. Тогда Р(А₁) + Р(А2) +…+ Р(Ап) = 1.
Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е. Р(А) + Р(Ᾱ ) = 1.
Пример 6.10. В урне 5 белых, 6 черных и 9 красных шаров. Какова вероятность того, что первый наугад вынутый шар окажется черным или красным?
Решение. Здесь имеется всего 20 элементарных исходов, из которых появлению черного шара благоприятствует 6, а появлению красного - 9. Поэтому вероятность события А - появление черного шара: Р(А) = 6/20, а вероятность события В - появление красного шара: Р(В) = 9/20. Поскольку события А и В несовместны (вынимается всего один шар), то Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 6/20 + 9/20 = 0,75.
Ответ: 0,75.
Условная вероятность события В (РА(В)) - вероятность события В, вычисленная при условии, что событие А уже произошло. Если А и В - независимые события, то РА(В) = Р(В), РВ(А) = Р(А).
Теорема 6.7. (Теорема умножения вероятностей). Вероятность произведения (пересечения; совместного появления) двух произвольных событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило, т.е. Р(АВ) = Р(А)РА(В) = Р(В)РВ(А).
Доказательство. Пусть п - число всех элементарных исходов испытания, т из этих исходов благоприятствуют событию А и d исходов благоприятствуют событиям А и В. Тогда, по определению вероятности события, имеем Р(А) = т/п, Р(АВ) = d/п. Найдем условную вероятность РА(В) события В при условии, что событие А наступило. Событие А наступает в т исходах, а в d исходах из них наступает событие В. Следовательно, РА(В) = d/т. Так как d/п = (т/п)( d/т), то Р(А В) = Р(А) РА(В). Аналогично можно показать, что Р(АВ) = Р(В) РВ(А). Теорема доказана.
Пример 6.11. На полке стоят 11 научно-популярных книг и 5 художественных. Какова вероятность того, что две подряд наугад взятые книги окажутся художественными?
Решение. Рассмотрим два события В₁ и В2: В₁ - при первом испытании взята художественная книга, Вг - при втором испытании взята художественная книга. По теореме 6.7 вероятность такого события равна Р(В1В2) = Р(В₁) РВ₁ (В2). Вероятность события В1РВ₁= 5/16. После первого испытания на полке останется 15 книг, из которых 4 художественные, поэтому условная вероятность РВ₁ (В2) = 4/15.
Отсюда искомая вероятность равна: Р(В₁Вг) =5/16∙4/15 =1/12. .
Ответ: 1/12.
Следствие 1. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляют при условии, что все предыдущие события уже наступили, т.е.
Р(А₁∙А2∙...∙Ап) = Р( А₁)• Р А₁ (А2) • Р А₁ А2 (А₃)•… • РА₁ РА2… РАn-1 (Ап,) .
Пример 6.12. Из десяти карточек составлено слово "МАТЕМАТИКА". Из них школьник наудачу выбирает поочередно четыре карточки и приставляет одну к другой. Какова вероятность того, что получится слово "ТЕМА"?
Решение. Введем события А₁, А2, А₃, А₄, состоящие в том, что первая выбранная буква - Т, вторая - Е, третья – М и четвертая - А. Нам нужно найти вероятность произведения этих событий. По следствию 1 из теоремы 6.7 имеем:
Р(А₁∙А2 ∙А₃∙А₄ = 2/10∙1/9∙2/8∙3/7 = 1/420.
Ответ: 1/420.
Следствие 2. Если А₁, А2, . . ., Ап - независимые события, то вероятность их произведения (совместного появления) равна произведению вероятностей этих событий, т.е. Р(А₁∙А2∙...∙Ап) = Р( А₁)• Р (А2) • …• Р(Ап).
Пример 6.13. Два стрелка независимо один от другого делают по одному выстрелу по одной и той же мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком - 0,7; вторым - 0,8. Какова вероятность того, что мишень будет поражена?
Решение. Пусть событие А состоит в том, что мишень поразил первый стрелок, а событие В - в том, что мишень поразил второй стрелок. По условию Р(А) = 0,7 и Р(В) = 0,8.
1-й способ. Рассмотрим противоположные события: Ᾱ - промах первого стрелка, - промах второго. По следствию 3 из теоремы 6.6 получаем Р(Ᾱ ) = 1 - 0,7 = 0,3 и Р() = 1 - 0,8 = 0,2. Произведение событий Ᾱ • означает промах обоих стрелков. По смыслу задачи события А и В являются независимыми, поэтому и противоположные события Ᾱ и также будут независимыми. По следствию 2 из теоремы 6.7 получаем вероятность того, что оба стрелка промахнутся:
Р(Ᾱ • ) = 0,3•0,2 = 0,06. Нас же интересует вероятность противоположного события, состоящего в том, что мишень поражена. Поэтому искомую вероятность мы находим по следствию 3 из теоремы 6.6: 1 - 0,06 = 0,94.
2-й способ. Искомое событие (мишень будет поражена хотя бы одним стрелком) есть сумма событий А и В. По теореме 6.6 Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = 0,7 + 0,8 - 0,7•0,8= 1,5-0,56 = 0,94.
Ответ: 0,94.
Пример 6.14. В студенческой группе 25 человек. Какова вероятность того, что дни рождения хотя бы у двоих совпадают?
Решение. Вероятность того, что дни рождения у двух произвольно взятых людей совпадают, равна 1/365 (считаем, что попадания дня рождения на любой день в году -равновозможные случаи). Тогда вероятность того, что дни рождения двух людей не совпадают, т.е. вероятность противоположного события равна 1 - 1/365 = 364/365. Вероятность того, что день рождения третьего отличается от дней рождения двух предыдущих, составит 363/365 (363 случая из 365 благоприятствуют этому событию). Рассуждая аналогично, находим, что для 25-го члена группы эта вероятность равна 341/365. Далее найдем вероятность того, что дни рождения всех 25 членов группы не совпадают. Поскольку все эти события (несовпадение дня рождения каждого очередного члена группы с днями рождения предыдущих) независимы, то по следствию 2 из теоремы 6.7 получаем:
Р(А₁∙А2∙...∙А₂₅) = 364/365∙ 363/365∙ …∙341/365 = 0,43
Это вероятность того, что дни рождения у всех 25 человек не совпадают. Вероятность противоположного события будет вероятностью того, что хотя бы у двоих дни рождения совпадают, т.е. искомой вероятностью Р = 1 - 0,43 = 0,57.
Ответ: 0,57.
СХЕМА БЕРНУЛЛИ. ПустьА- случайное событие по отношению к некоторому испытанию. Будем считать, что испытание имеет два исхода: наступление событияАи ненаступление событияА(т.е. наступление событияᾹ). Если производится несколько таких испытаний, причем вероятность событияАв каждом из них не зависит от исходов остальных, то такие испытания называют независимыми (относительно события А).
Говорят, что проводимый эксперимент удовлетворяет схеме Бернулли, если:
1) эксперимент состоит из nнезависимых испытаний;
2) каждое испытание имеет два исхода - наступление некоторого события А и наступление события А;
3) вероятность события А в каждом испытании постоянна.
Теорема 6.10. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, а не появления - q. Тогда вероятность Рп(k) того, что в n испытаниях событие А появится ровно k раз, вычисляется по формуле Бернулли: Рп(k) = С • р q .
Наивероятнейшее число наступления события Авnиспытаниях - числоk=k₀при котором вероятностьРп(k) является наибольшей.
Теорема 6.11. Если р ≠ 0 и р ≠1,то наивероятнейшее число k₀ можно определить из двойного неравенства: n р - q £ k₀ £ n р + р. Если n р + р не является целым числом, то данное неравенство определяет лишь одно наивероятнейшее число. Если n р + р - целое число, то имеются два наивероятнейших значения: k₀' = n р - q и k₀'' = n р + р. Доказательство этой теоремы опускается.
Пример 6.17.Вероятность попадания в мишень при выстреле равна 0,8. Найдите:
а) вероятность того, что при семи выстрелах произойдет пять попаданий в мишень;
б) наивероятнейшее число k₀попаданий в мишень при семи выстрелах.
Решение. Рассматриваемый в задаче эксперимент удовлетворяет схеме Бернулли. Пусть А - событие "Попадание в мишень при выстреле". Тогда событие Ᾱозначает "промах". По условиюР(А) = р= 0,8, значит,Р(Ᾱ )=q= 1 -р= 0,2.
а) Для нахождения пяти попаданий при семи выстрелах воспользуемся теоремой 6.10: Р₇(5) = С• р•q = 7! / (5!(7-5)!• 0,8⁵• 0,2²= 0,275.
б) Наивероятнейшее число попаданий в мишень при семи выстрелах находим (согласно теоремы 6.11) из двойного неравенства 7•0,8 - 0,2 £ k₀ £ 7 •0,8 + 0,8, т.е 5,4£ k₀ £ 6,4. Значит,k₀= 6.
Ответ: а) 0,275; б) 6.