- •050708 (031200) Педагогика и методика начального образования дпп. Ф. 06. Математика
- •Глава I. Элементы логики
- •§ 1. Множества и операции над ними
- •1. Понятие множества и элемента множества
- •2. Способы задания множеств
- •3. Отношения между множествами. Подмножество. Равные множества. Универсальное множество. Круги Эйлера. Числовые множества.
- •4. Пересечение множеств
- •5. Объединение множеств
- •6. Свойства пересечения и объединения множеств
- •7. Вычитание множеств. Дополнение множества до универсального
- •8. Понятие разбиения множества на классы с помощью одного, двух, трех свойств
- •9. Декартово произведение множеств
- •10. Число элементов в объединении и разности конечных множеств
- •11. Число элементов в декартовом произведении конечных множеств
- •12. Основные понятия:
- •§ 2. Математические понятия
- •3. Способы определения понятий
- •4. Основные выводы
- •§ 3. Математические предложения
- •§ 4. Математическое доказательство
- •26. Схемы дедуктивных умозаключений.
- •§5. Текстовая задача и процесс ее решения
- •29. Структура текстовой задачи
- •30. Методы и способы решения текстовых задач
- •31. Этапы решения задачи и приемы их выполнения
- •2. Поиск и составление плана решения задачи
- •3. Осуществление плана решения задачи
- •4. Проверка решения задачи
- •5. Моделирование в процессе решения текстовых задач
- •Упражнения
- •32. Решение задач «на части»
- •Упражнения
- •33. Решение задач на движение
- •Упражнения
- •34. Основные выводы.
- •§6. Комбинаторные задачи и их решение
- •§ 7. Алгоритмы и их свойства
- •Упражнения
- •Упражнения
- •Глава II. Элементы алгебры
- •§ 8. Соответствия между двумя множествами
- •41. Понятие соответствия. Способы задания соответствий
- •2. Граф и график соответствия. Соответствие, обратное данному. Виды соответствий.
- •3. Взаимно-однозначные соответствия
- •Упражнения
- •42. Взаимно однозначные соответствия. Понятие взаимно однозначного отображения множества х на множество y
- •2. Равномощные множества. Способы установления равномощности множеств. Счетные и несчетные множества.
- •Упражнения
- •43. Основные выводы § 8
- •§ 9. Числовые функции
- •44. Понятие функции. Способы задания функций
- •2. График функции. Свойство монотонности функции
- •Упражнения
- •45. Прямая и обратная пропорциональности
- •Упражнения
- •46. Основные выводы § 9
- •§10. Отношения на множестве
- •47. Понятие отношения на множестве
- •Упражнения
- •48. Свойства отношений
- •R рефлексивно на х ↔ х r х для любого х € X.
- •R симметрично на х ↔ (х r y →yRx).
- •49. Отношения эквивалентности и порядка
- •Упражнения
- •50. Основные выводы § 10
- •§ 11. Алгебраические операции на множестве
- •51. Понятие алгебраической операции
- •Упражнения
- •52. Свойства алгебраических операций
- •Упражнения
- •53. Основные выводы § 11
- •§ 12. Выражения. Уравнения. Неравенства
- •54. Выражения и их тождественные преобразования
- •Упражнения
- •55. Числовые равенства и неравенства
- •Упражнения
- •56. Уравнения с одной переменной
- •2. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений
- •3. Решение уравнений с одной переменной
- •Упражнения
- •57. Неравенства с одной переменной
- •2. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств
- •3. Решение неравенств с одной переменной
- •Упражнения
- •58. Основные выводы § 12
- •Упражнения
- •Глава III. Натуральные числа и нуль
- •§ 13. Из истории возникновения понятия натурального числа
- •§ 14. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
- •59. Об аксиоматическом способе построения теории
- •Упражнения
- •60. Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа
- •Упражнения
- •61. Сложение
- •62. Умножение
- •63. Упорядоченность множества натуральных чисел
- •Упражнения
- •64. Вычитание
- •Упражнения
- •65. Деление
- •66. Множество целых неотрицательных чисел
- •Упражнения
- •67. Метод математической индукции
- •Упражнения
- •68. Количественные натуральные числа. Счет
- •Упражнения
- •69. Основные выводы § 14
- •70. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»
- •Упражнения
- •Лекция 36. Теоретико-множественный подход в построении множества целых неотрицательных чисел.
- •71. Теоретико-множественный смысл суммы
- •Упражнения
- •72. Теоретико-множественный смысл разности
- •Упражнения
- •73. Теоретико-множественный смысл произведения
- •Упражнения
- •74. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел
- •Упражнения
- •75. Основные выводы § 15
- •§16. Натуральное число как мера величины
- •76. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения
- •Упражнения
- •77. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины. Смысл суммы и разности
- •Упражнения
- •78. Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин
- •79. Основные выводы § 16
- •80. Позиционные и непозиционные системы счисления
- •81. Запись числа в десятичной системе счисления
- •Упражнения
- •82. Алгоритм сложения
- •Упражнения
- •83. Алгоритм вычитания
- •Упражнения
- •84. Алгоритм умножения
- •Упражнения
- •85. Алгоритм деления
- •86. Позиционные системы счисления, отличные от десятичной
- •87. Основные выводы § 17
- •§ 18. Делимость натуральных чисел
- •88. Отношение делимости и его свойства
- •89. Признаки делимости
- •90. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
- •2. Основные свойства наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя чисел
- •3. Признак делимости на составное число
- •Упражнения
- •91. Простые числа
- •92. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел
- •93. Основные выводы § 18
- •3. Дистрибутивности:
- •§ 19. О расширении множества натуральных чисел
- •94. Понятие дроби
- •Упражнения
- •95. Положительные рациональные числа
- •96. Множество положительных рациональных чисел как расширение
- •97. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей
- •98. Действительные числа
- •99. Основные выводы § 19
- •Глава IV. Геометрические фигуры и величины
- •§ 20. Из истории возникновения и развития геометрии
- •1. Сущность аксиоматического метода в построении теории
- •2. Возникновение геометрии. Геометрия Евклида и геометрия Лобачевского
- •3. Система геометрических понятий, изучаемых в школе. Основные свойства принадлежности точек и прямых, взаимного расположения точек на плоскости и прямой.
- •§ 21. Свойства геометрических фигур на плоскости
- •§ 22. Построение геометрических фигур
- •1. Элементарные задачи на построение
- •2. Этапы решения задачи на построение
- •Упражнения
- •3. Методы решения задач на построение: преобразования геометрических фигур на плоскости: центральная, осевая симметрии, гомотетия, движение.
- •Основные выводы
- •§24. Изображение пространственных фигур на плоскости
- •1. Свойства параллельного проектирования
- •2. Многогранники и их изображение
- •Тетраэдр Куб Октаэдр
- •Упражнения
- •3. Шар, цилиндр, конус и их изображение
- •Основные выводы
- •§ 25. Геометрические величины
- •1. Длина отрезка и ее измерение
- •1) Равные отрезки имеют равные длины;
- •2) Если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.
- •Упражнения
- •2. Величина угла и ее измерение Каждый угол имеет величину. Специального названия для нее в
- •1) Равные углы имеют равные величины;
- •2) Если угол состоит из двух углов, то его величина равна сумме величин его частей.
- •Упражнения
- •1) Равные фигуры имеют равные площади;
- •2) Если фигура состоит из двух частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей.
- •4. Площадь многоугольника
- •5. Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение
- •Упражнения
- •Основные выводы
- •1. Понятие положительной скалярной величины и ее измерение
- •1) Масса одинакова у тел, уравновешивающих друг друга на весах;
- •2) Масса складывается, когда тела соединяются вместе: масса нескольких тел, взятых вместе, равна сумме их масс.
- •Заключение
- •Список литературы
5. Объединение множеств
Пусть даны множества А = {2, 4, 6, 8}, В = {5, 6, 7, 8, 9}. Образуем множество D,
в которое включим элементы, принадлежащие хотя бы одному из данных множеств, т.е. множеству А или множеству В: D= {2, 4, 6, 8, 5, 7, 9}. Полученное множество называютобъединением множеств А и В.
Определение: Объединением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.
Объединение обозначают А ∪В. По определению А∪В = {х׀х ∈А или х∈В}.
Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то объединение данных множеств изобразится заштрихованной областью.
Выясним, как находить объединение множеств в конкретных случаях.
Если элементы множеств А и В перечислены, то, чтобы найти А ∪В, достаточно перечислить элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.
Если множества заданы характеристическими свойствами, то характеристическое свойство множества А ∪В составляется с помощью союза «или» из характеристических свойств множеств А и В. Например: множество А – четных натуральных чисел, множество В – двузначных чисел. Тогда множество А∪В – множество чисел, характеристическое свойство которых – «быть четным натуральным или двузначным числом».
Рассмотрим случай, когда находят объединение множества А и его подмножества В. Легко видеть, что тогда А ∪В = А и, следовательно, характеристическое свойство элементов множества А∪В будет таким, как и свойство элементов множества А.
Умение вычленять множества в текстовых задачах и операции, которые над ними выполняются, - важный этап в их решении. Например, чтобы правильно выбрать действие, с помощью которого решается задача: «В букете 3 ромашки и 4 колокольчика. Сколько всего цветков в букете?», надо понять, что в задаче рассматриваются два множества – множество ромашек (3 элемента) и множество колокольчиков (4 элемента); эти множества объединены в одно и требуется найти число элементов в этом объединении.
6. Свойства пересечения и объединения множеств
Из школьного курса математики известно, что операция, при помощи которой находят сумму чисел, называется сложением. Над числами выполняются и другие операции, например, умножение, вычитание, деление; при этом результаты называют произведением, разностью, частным соответственно. Для операций и результатов выполнения этих операций существуют разные термины. Для рассмотренных операций над множествами и сама операция, и ее результат носят одно название.
Из школьного курса математики нам известно, что операции над числами обладают рядом свойств. Например, сложение действительных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами: для любых действительных чисел а и bсправедливо равенство а +b=b+ а, а для любых чисел а,bи с справедливо равенство (а +b) + с = а + (b+ с).
Перечислим другие свойства:
а •b=b•а; (а•b)•с = а•(b•с); (а +b)•с = а • с + b•с.
Выясним, обладают ли «похожими» свойствами пересечение и объединение множеств.
Доказано, что операции над множествами обладают следующими свойствами:
А ∩ В = В∩ А и А∪ В = В∪ А – коммутативное свойство для операций пересечения и объединения.
(А ∩ В)∩ С = А∩ (В∩ С) и (А∪ В)∪ С = А∪ (В∪ С) ассоциативное свойство для операций пересечения и объединения.
(А ∪ В)∩ С = (А∩ С) ∪ (В∩ С)– пересечение дистрибутивно относительно объединения множеств и
(А ∩ В)∪ С = (А∪ С) ∩(В∪ С) – объединение дистрибутивно относительно пересечения множеств.
Заметим, что если в выражении есть знаки пересечения и объединения множеств, и нет скобок, то сначала выполняют пересечение, так как считают, что пересечение более «сильная» операция, чем объединение.
Убедиться в справедливости сформулированных свойств можно путем доказательства, а также проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера.
Заметим, что 1-3 свойства имеют аналоги во множестве действительных чисел, над которыми производят действия сложения и умножения. А вот аналога четвертому свойству нет. Действительно, равенство а • b+ с = (а +b)•(b+ с) – неверное.
Понятие пересечения и объединения множеств можно обобщить на любое конечное число множеств:
А₁∩А₂∩…∩Аn= {х/х∈А₁ и х∈А₂ и … и х∈Аn},
А₁∪А₂∪…∪Аn= {х/х∈А₁ или х∈А₂ или… или х∈Аn}.
Аналогично можно поступить и по отношению к рассмотренным свойствам данных операций.
Лекция 3. Операции с множествами
План:
1. Вычитание множеств. Дополнение множества до универсального
2. Понятие разбиения множества на классы с помощью одного, двух, трех свойств.
3. Декартово произведение множеств