Задание 4
-
а) Доказать, что
б) Доказать, что множество
конечно тогда и только тогда, когда оно
не равномощно никакому своему собственному
подмножеству.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между полуокружностью без крайних точек и прямой
б) Доказать, что всякое подмножество счётного множества является не более чем счётным множеством.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между полупрямой
и
прямой
б) Доказать, что каждое бесконечное счётное множество можно представить как объединение двух непересекающихся бесконечных (тоже счётных) множеств.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между интервалом
и прямой
б) Показать, что, если
и
- счётные множества, то и
- также счётное множество.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между натуральными и рациональными числами.
б) Доказать, что множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между отрезками
и
б) Доказать, что множество чисел
интервала
несчётно.
-
а) Доказать, что множество всех точек на расширенной комплексной плоскости эквивалентно множеству всех точек на сфере некоторого радиуса
б) Определить мощность множества всех иррациональных чисел.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между множествами рациональных и целых чисел.
б) Доказать, что мощность множества
всех счётных последовательностей равна
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между интервалом
и действительной прямой
б) Доказать, что множество всех непересекающихся трапеций на плоскости не более чем счётно.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между действительной прямой
и множеством
.
б) Доказать, что декартово произведение двух счётных множеств счётно.
-
а) Установить взаимно однозначное соответствие между множеством точек некоторого квадрата на плоскости и некоторого интервала на действительной прямой.
б) Показать, что мощность любого непустого множества меньше мощности множества всех его подмножеств.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между точками комплексной плоскости и точками этой же плоскости с положительными координатами.
б) Доказать, что мощность множества
всех точек квадрата равна
-
а) Установить взаимно однозначное соответствие между точками окружности и расширенной действительной прямой
б) Найти мощность всех конечных последовательностей действительной прямой.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между точками плоскости и точками круга единичного радиуса с центром в начале координат.
б) Найти мощность множества точек трёхмерного пространства, координаты которых рациональны.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между множеством точек квадрата и множеством точек вписанного в него круга.
б) Найти мощность всех интервалов на числовой прямой, один конец которых рационален.
-
а) Доказать, что
б) Доказать, что множество
бесконечно тогда и только тогда, когда
оно равномощно некоторому своему
собственному подмножеству.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между отрезками
и
.
б) Доказать, что объединение трех счётных множеств есть множество счётное.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между полупрямой
и
интервалом
.
б) Доказать, что каждое бесконечное счётное множество содержит собственное счётное подмножество.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между интервалами
,
и
,
б) Показать, что, если
,
и
- счётные множества, то и
- также счётное множество.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между натуральными и рациональными положительными числами.
б) Доказать, что множество всех
подмножеств мощности
счётного множества счётно.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между отрезками
и
б) Доказать, что множество чисел
интервала
несчётно.
-
а) Доказать, что множество всех точек квадрата
эквивалентно множеству всех точек
квадрата
.
б) Определить мощность множества всех комплексных чисел.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между множествами натуральных и целых чисел.
б) Доказать, что мощность множества всех конечных последовательностей счетно.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между интервалом
и действительной прямой
б) Доказать, что множество всех непересекающихся квадратов на плоскости не более чем счётно.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между действительной прямой
и интервалом
.
б) Доказать, что декартово произведение конечного числа счётных множеств счётно.
-
а) Установить взаимно однозначное соответствие между множеством точек квадрата
на плоскости и интервала
на действительной прямой.
б) Показать, что мощность любого непустого множества меньше мощности множества всех его двуэлементных подмножеств.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между точками комплексной плоскости и точками этой же плоскости с отрицательными координатами.
б) Доказать, что мощность множества
всех точек круга равна
-
а) Установить взаимно однозначное соответствие между точками дуги окружности и некоторого отрезка действительной прямой
б) Найти мощность всех конечных
последовательностей точек интервала
действительной прямой.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между точками плоскости и точками квадрата с центром в начале координат.
б) Найти мощность множества точек двумерного пространства, координаты которых натуральные числа.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между множеством точек треугольника и множеством точек вписанного в него круга.
б) Найти мощность всех интервалов на числовой прямой.
