2.2. Сила гидростатического давления, действующая на плоскую стенку.

Одним из важнейших практических приложений основного уравнения гидростатики является расчет сил, вызванных гидростатическим давлением, на различные поверхности.

Р ис. 8

Выведем общие выражения для сил, действующих на плоскую стенку. Рассмотрим на плоской поверхности, расположенной под углом  к свободной поверхности жидкости (рис.8), участок произвольной формы, показанный жирной линией и имеющий площадь S. Оси координат выберем так, чтобы начало координат лежало в месте пересечения свободной поверхности жидкости с рассматриваемой наклонной поверхностью. Оси u и w связаны с наклонной поверхностью, как показано на рис.7. Для наглядности на рисунке рассматриваемый участок поверхности изображен также развернутым в плоскости чертежа.

Рассмотрим на участке S элементарную площадку dS и найдем действующую на нее силу суммарного давления

.

Чтобы найти силу, действующую на весь участок, надо предыдущее выражение проинтегрировать по всей площади S:

.

Согласно рис.8, глубина , тогда

Величины p₀, , g, sin постоянны для всей поверхности S, поэтому можно записать

,

при этом интеграл во втором слагаемом представляет собой статический момент площади рассматриваемого участка относительно оси w, то есть

,

где u_c – координата центра тяжести площади S.

Осуществим обратный переход от координаты u к глубине h: и получим выражение для силы в виде

(2.6)

или .

Для практики наибольший интерес представляет определение результирующей силы избыточного гидростатического давления . Определим точку ее приложения D, называемую центром давления и имеющую координату u_D. Момент силы избыточного давления, действующего на элементарный участок dS относительно оси w, равен

.

Тогда момент сил избыточного давления на всю поверхность S

.

Последний интеграл является моментом инерции площади относительно оси w, т. е. , то

. (2.7)

С другой стороны, если точка приложения силы избыточного давления D отстоит от оси w на величину u_D, то можно записать

. (2.8)

Приравнивая правые части уравнений (2.7) и (2.8) и учитывая, что , получим выражение для u_D:

. (2.9)

Переходя от момента инерции J_w относительно оси w к моменту инерции J_c относительно оси, проходящей через центр тяжести площади S параллельно оси w, по известной формуле вместо (2.9) окончательно получим

(2.10)

Из (2.10) видно, что точка приложения результирующей силы гидростатического давления D всегда лежит ниже центра тяжести C на величину (эта величина всегда положительна). Это является следствием того, что давление увеличивается с глубиной, следовательно, на нижнюю часть площади S всегда действует большее суммарное давление, чем на верхнюю.

2.3. Сила, действующая на цилиндрическую стенку. Закон Архимеда.

При расчете силы, действующей на криволинейную стенку, ограничимся рассмотрением цилиндрической поверхности.

Р ис. 9

Рассмотрим участок цилиндрической поверхности abcd (рис.9), расположенной под свободной поверхностью жидкости. Действующую на него силу избыточного гидростатического давления можно определить из условия равновесия объема жидкости abcdaefghe, ограниченного снизу рассматриваемой поверхностью, с боков – вертикальными плоскостями, проектирующими рассматриваемый участок на свободную поверхность, сверху – участком свободной поверхности жидкости. На выделенный объем жидкости действуют силы гидростатического давления со стороны остальной жидкости, реакция рассматриваемого участка цилиндрической поверхности и вес самой жидкости в этом объеме. Давление, действующее на свободную поверхность жидкости, здесь не учитывается, так как в нашу задачу входит определение силы только избыточного давления.

Силы давления, действующие на боковые площадки aehda и bfgcb, а также aefba и ihgji, попарно взаимно уравновешиваются как направленные внутрь выделенного объема и действующие на одинаковые плоские поверхности, расположенные на одинаковой глубине. Учитывая это, в уравнение равновесия рассматриваемого объема ( ) войдут реакция цилиндрической стенки R’, сила избыточного давления, действующая на площадку ijcdi, и вес жидкости G в рассматриваемом объеме.

Уравнение равновесия в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси координат можно записать в виде

. (2.11)

Здесь R’_x и R’_y – горизонтальная и вертикальная составляющие силы давления, с которой участок abcda действует на жидкий объем (реакция стенки). Согласно формуле (2.6), сила, действующая на участок ijcdi равна , где S_z – площадь проекции рассматриваемой цилиндрической поверхности на вертикальную плоскость (S_z=S_ijcdi), а h_Cz – заглубление центра тяжести этой проекции. Вес жидкости в выделенном объеме G=gV, где V – объем тела abcdaefghe, называемый объемом тела давления.

С учетом всего вышеизложенного, система (2.11) примет вид

.

Интересующая нас сила избыточного давления жидкости на цилиндрическую поверхность равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой стенка давит на жидкость (реакции стенки), т. е.

, .

С учетом этого можно записать выражения для горизонтальной R_x и вертикальной R_y составляющих силы избыточного гидростатического давления

, . (2.12)

В озможен вариант расположения поверхности, отличающийся от изобра-женного на рис.9. Если смоченная водой поверх-ность обращена вниз, как показано на рис.10, то зависимости (2.12) также справедливы, но объем тела давления в этом случае будет ограничен сверху уже не свободной поверхностью, а ее продолжением. При этом вертикальная составляющая R_z будет направлена вверх (объем тела давления считается отрицательным). Возможны и более сложные варианты поверхностей, у которых на разных участках могут быть разные по знаку тела давления.

Полученные в этом разделе выводы и зависимости (2.12) для цилиндрических поверхностей справедливы для поверхностей любой произвольной формы, в том числе для судовых поверхностей.

С помощью понятия о теле давления можно получить закон Архимеда. Пусть в жидкости с плотностью  (рис.11) находится тело произвольной формы abcdafcea, у которого максимальное сечение afcea проектируется на свободную поверхность в виде контура gh.

На верхнюю часть этого тела действует верти-кальная сила избыточного давления, направленная вниз и равная весу жидкости в объеме тела давления afceabchga, то есть R_нижн=gV_afceabchga.

На нижнюю часть погруженного тела дейст-вует вертикальная сила избыточного гидростати-ческого давления, которая характеризуется телом давления afceadchga и направлена вверх:

R_верхн=-gV_afceadchga.

Результирующая вертикальная сила, действующая на тело

Отсюда следует формулировка закона Архимеда: результирующая сила гидростатического давления, действующая на погруженное в жидкость тело (сила Архимеда), направлена вертикально вверх и равна весу жидкости в объеме тела: .

Очевидно, что горизонтальная составляющая силы давления, действующей на плавающее тело, в соответствии с формулой для R_x (2.12) равна нулю.