3.3. Перемещение центра величины при малом равнообъемном наклонении
При
равнообъемных наклонениях, как было
отмечено ранее, величина погруженного
объема остается неизменной, но меняется
его форма, вследствие чего изменяется
положение центра величина (рис. 2) . Он
перейдет из точки
в
точку
по дуге
. Прямая, соединяющая
и
при малом равно-объемном наклонениях
на угол
,
будет параллельна и пропорциональна
перемещению ЦТ
объемов
, т.е.
;
.
(4)
Определим
объем элементарной призмы и отстояние
ее ЦТ
от ДП
и
.
Они будут соответственно равны
(объем
элементарной призмы); у
(отстояние
ее ЦТ
от ДП
);
(отстояние
ее ЦТ
от
).
Изменение статического момента от изменения формы подводного объема в результате добавления с правого борта объема будет равно
Суммарное изменение статических моментов будет определяться по формулам
;
,
а с учетом (4):
;
Если ввести обозначение момента инерции площади ватерлинии относительно продольной оси, являющейся для нее и центральной
,
(5)
то получим
;
,
откуда
;
.
(6)
Величина
-
малая второго порядка, поэтому длина
дуги кривой центров величины
будет равна
.
(7)
Отсюда следует, что касательная к траектории центров величины, проведенная через некоторую точку С, будет всегда параллельна плоскости ватерлинии, соответствующей точке С.
Рис.2 Траектория перемещения ЦТ
Для наклонений в продольной плоскости получаются аналогичные формулы, т.е.
;
, (8)
где
- момент
инерции
площади ватерлинии относительно
поперечной оси ff
, проходящей через ее центр тяжести F
;
-
приращение угла дифферента.
3.4. Метацентры и метацентрические радиусы
Как
было отмечено в предыдущем параграфе
,
касательная к траектории
в
точке
параллельна
,
а в точке
-
параллельна
.
Нормали, проведенные в точках и , пересекутся в точке М. Эта точка является центром кривизны дуги , которая при малых углах наклонения станет дугой окружности радиуса r (рис.3.). Определяется r по формуле
,
(9)
или с учетом (7)
.
(10)
Величина
r
называется малым или поперечным
метацентрическим радиусом, а точка М
- поперечным метацентром.
Так как
и V
- сугубо положительные числа, r
всегда число
положительное.
Рис.3 Поперечный метацентр и поперечный метацентрический радиус
Рассуждая аналогично, получим радиус кривизны траектории С при продольных наклонениях:
.
(11)
Этот радиус называется большим или продольным метацентрическим радиусов, а соответствующий центр кривизны продольным метацентром (рис.4)
С
изменением осадки меняются
,
, V
, следовательно, меняются также r
и
R
.
Примерный характер зависимостей r(z)
и R(z)
представлен на рис.5. Эти кривые входят
в комплекс кривых элементов теоретического
чертежа.
Так как длина судна значительно больше ширины, момент инерции значительно больше момента инерции , а R значительно больше r. Обычно R = L – 2L ; r = 0,15 B – 0,30 B .
Рис.4. Продольный метацентр и метацентрический радиусы
Рис .5. Кривые метацентрических радиусов
Например, для прямоугольного понтона
;
.
(12)
Тогда
.
Если L / B = 6, R / r = 36. Примерно такие же соотношения сохраняются и для судов.
Для полностью погруженного судна площадь ватерлинии равна нулю, т.е. моменты инерции и метацентрические радиусы равны нулю.