12.Критерій відносної компактності в пр-рі

Озн.Мн-на наз одностайно-неперервною сімьєю фцій,якщо нехай Х-м.п,наз обмеженою, якщо

Зокрема обмеж, якщо

Т.Арцела,Асколі

Мн-на

наз відносно компактною

1)К-обмеж; 2)К-одност-неперер

Дов.Необх. нехай К відносно-компактна,тоді за Т.1.Хаусдорфа

В будь-якому м.п це озн,що мн-на обмежена,тобто 1) викон.

для К існує скінченна :

неперер на х[a,b] за т.Кантора рівномірно-неперервна на [a,b].Це озн,що

Озн. нехайБудемо розглядати

отже викон 2)

Достатність.нехай для К викон 1) і 2),покажемо що К відносно-компактною Викон 2):

[a,b]поділемо точками на частини так,щоб викон

Із 1) :

Відрізок [-M,M] поділемо точками {} на частини так,щоб викон .

Побудуємо ламані з узлами в т.Оцінемо

Таким чином,мн-на з вершиною в тце для К,цяскінченна.довільне число.К-відносно-комп.

1. Метричні простори та приклади

2. Відкриті та замкнені множини

3. Збіжність у метричних просторах

4.Щільність множин

5.Повні метричні простори

6.Неперервні відображення метричних просторів

7.Поповнення метричного простору

8.Принцип стискаючих відображень

9.Відносна компактность.

10.Компактні множини в метричних просторах

11.Критерій компактності

12.Критерій відносної компактності в пр-рі