10.Компактні множини в метричних просторах

Нехай Х –м.п., К – мн-на Х

Озн. Мн-на К називається компактною, якщо з будь-якої її послідовності можна вилучити підпослідовність збіжну в К.

Якщо мн. К – компактна, то вона і відносно компактна. Якщо мн. К відносно компактна, то це не означаю, що вона компактна.

Приклади

1.X=R, K = N – не відносно компактна =>не компактна

2.X = C[0,1], K = B[0,1] - не відносно компактна =>не компактна

3.X = R, K=(a, b) - відносно компактна, не компактна

4.X=Q, K=(p, q) - відносно компактна, не компактна

5.X = R, K=[a, b] - відносно компактна, компактна

6.X=Q, K=[p, q] - відносно компактна, не компактна

Тв1 Компактна множина замкнена.

Дов: К – компактна, х₀ – гранична точка К =>

Тв2. Замкнена підмножина компактної множини компактна

Дов:

Візьмемо дов. . К –компа=>але мн D – замкнена, тому x₀ є D.

II Теорема Хаусдорфа. Для того, щоб замкнена мн-на К була компактно, необхідно, а у випалку, коли метричний простір Х – повний, то і достатньо, щоб для К існувала скінчена ε-сітка.

Дов. Необхідність. Нехай мн-на К – компактна. Тоді ця мн-на відносно компактна. Тода за I теоремою Хаусдорфа для К існує скінчена ε-сітка.

Достатність: К –замкнена, м.п. Х – повний. для К існує скінчена ε-сітка, тоді за першою теоремою К – відносно комплексна.

• К – Компактна

Озн. Метричний простір Х називається компактом, якщо з будь-якої послідовності {x_n} цього простору можна вилучити збіжну підпослідовність.

Приклад. X=[a, b], ρ(x, y) = |x - y| (x, ρ) – компактна.

Тв3. Нехай Х – комп. f:X->R непер. Тоді:

1.f – обмежена

2.

3.f - рівномірна неперервна на Х, тобто:

Ці твердження є узагальненнями відомих фактів з курсу мат. Аналізу.

Компакт – це повний метричний простір.

Дов. {X – компакт. }=>

ρ(x_n,x₀) ≤ ρ(x_n,x_nk)=0, k->∞ + ρ(x_nk, x₀)=0, k->∞,{x_n} – фунд=> x_n ->x₀. X – повний метричний простір.

Тв5. Компакт – це сепарабельний метричний простір.

Дов.

X – комп.,

для Х існує скінчена ε_k –сітка M_k

1)D –зчислена

х

ε

yєD

εдов => x є

x дов, Х=>=X

2) =X

1),2) =>сепарабельний м.п.

Якщо метричний простір є повний та сепарабельний, це не означає, що він ком пакт. Так, наприклад, простір X=R, R- повний, але цей простір не є ком пактом, том зо множина R не є обмежена.

11.Критерій компактності

Теорема. Мн-на K метр.простору X – компактна  коли із будь-якого покриття цієї множини відкритими множинами можна вилучити скінченне покриття.

Дов. Необхідність. Нехай мн. K компактна. Проводимо доведення від супротивного: -відкриті множини:система така, що з неї неможливо вилучити скінчене покритя.

Візьмемо ,K-компактна => для K існує скінч. -сітка:

=>

Серед усіх перерізів існує такий, для якого неможливо з системи множин вилучити скінченне покриття. Нехай це буде переріз

Візьмемо ,K₁-компактна => для K₁ існує скінч. -сітка:

=>

Серед перерізів куль з мн-ою K₁ існує переріз, для якого системи мн-ннеможливо вилучити скінченне покриття. Позначимо цей переріз

K₂ – копм. і т.д.

Побудували послідовність компактних вкладених множин.

=> =>

=>

З іншого боку =>=>

Покажемо, що

=> =>=>

Показали, що K_m міститься в кулі .

Отримали суперечність.

Достатність. Нехай мн-на K така, що з будь якого відкритого покриття цієї мн-ни можна вилучити скінченне покриття. Покажемо що множина K компактна.

Якщо мн-на Т скінченна, то з можна вилучити стаціонарну підпослідовність. Така послідовність збіжна в мн-ні К.

Розглянемо випадок: Т-нескінченна. Припустимо що у мн-ні Т немає граничних точок. Візьмемо. За припущенням х-не гранична т. для Т => ø

- відкрити мн-ни К. З цього відкритого покриття можна вилучити скінченне ,Множина Т-нескінченна, аможе бути лише одна точка множини Т. Отримали суперечність.

Таким чином, у множині Т існує гранична точка . А якщо так, то зможна вилучити підпослідовність. Залишається довести, що. Від супротивного.

Припустимо . Візьмемо=>ø

- відкрите покриття мн-ни К. З цього відкритого покр. можна вилучити скінченне покриття. .-це відкрита множина. В цій множині немає точок множини К. Це окіл точки х₀ . Отримали суперечність з тим, що х₀ – гранична точка мн-ни Т. K – компактна.