4.Щільність множин

Нехай Х – м.п.,

Означення. Мн-ну A наз. щільною в мн-ні В, якщо

Приклад.

Означення. мн-на А наз. скрізь щільною в мн. Х, якщо

Приклад.

зрозуміло, що існує інший інтервал (α, β), який міститься в (a,b), такий, що в (α, β) немає точок мн. N

Мн-на натуральних чисел ніде не щільна в мн. цілих дійсних

Означення. м.п. Х наз. сепарабельним, якщо в ньому існує зчисленна скрізь щільна мн-на.

1)D-замк., 2)

Приклад. 1. , 1)Q - зчисл., 2)Q скрізь щільна

R - сепарабельний метричний простір

2. – сепарабельний метричний простір

3. - мн. алг. поліномів з дійсними коеф.

Візьмемо . за теор. Вейєрштрасса існує алгебр. поліном, який знах. в ε-околі ф. f

f – гран. точка мн.

, але мн. незчисленна

- мн. алгебр. поліномів з раціональними коеф., ця мн. зчисленна

- сепарабельний метричний простір

4. X=m. Доведемо, що цей простір не є сепарабельним

E – мн. послідовностей, які побуд. за допомогою двох чисел 0 та 1

E={0,1,1,0,…} – кожна з таких посл. обмежена

Побудуємо відкриті кулі з центрами у точках мн. Е і радіусу 1/3. Отримали {B(x,1/3)}

мн-на Е незчисленна, між точками мн. Е та відрізками [0,1] можна встановити відповідності . Отже мн. Е незчисленна

Тому будь-які дві кулі не перетинаються. Якщо припустити, що простір m сепарабельний, то в ньому існує мн. D (зчисленна та скрізь щільна). З того, що D скрізь щільна => в кожній кулі існує хоча б одна т. мн. D, але мн. D зчисленна, а куль незчисленна множина. Отримали суперечність

5.Повні метричні простори

Нехай Х – метр.пр-тір, {x_n} послідовність точок пр-ру Х

Озн. Послідовність {x_n} наз. фундаментальною, якщо .

Твердження. Якщо послідовність збіжна, то вона фундаментальна. Д-ня: нехай {x_n} збіжна.х_m→x₀, n→∞ .за нерівністю трикутника{x_n} – фундаментальна.

Якщо послідовність фундаментальна, то це не означає, що вона збіжна. Але існують простори, в яких це так.

Озн. Метр.пр-тір Х наз. повним, якщо в ньому будь-яка фундаментальна послідовність збіжна.

Теорема про вкладені кулі (Критерій повноти) Метр.пр-тір Х повний тоді і тільки тоді, коли послідовності замкнених вкладених куль, радіуси яких →0 і переріз не порожня множина.

Х повний .

Д-ня: (необх.) нехай метр.пр-тір Х повний. Візьмемо довільну посл-сть замкнених вкладених куль радіуси →0. покажемо, що .. {x_n} – фундаментальна, а простір Х – повний, тому {x_n} збіжна. x_n→x₀, n→∞. .

(дост.) нехай метр.пр-тір Х такий, що послідовності замкнених вкладених куль, радіуси яких →0 маємо: . Доведемо, що Х – повний. Візьмемо довільну фунд-ну посл-сть {x_n} у пр-рі Х. Нехай , {x_n} фунд. .Побудуємо B[x_n1,1]=B₁. Нехай , {x_n} фунд. . Побудуємокулю B[x_n2,1/2]=B₂ . І так далі. , . B[x_nk,1/2^k-1]=B_k. ми побудували послідовність замкнених вкладених ф-цій r_k=1/2^k-1, тоді за умовою . . Ми взяли довільну фундаментальну посл-сть і показали, що вона збіжна. Це означає, що простір Х – повний.

Приклади повних та неповних метричних просторів

1. X=Q, . фундаментальна, але не є збіжною у цьому просторі неповний.

2. X=P_[a,b] – алгебраїчний поліном з дійсними коеф. за т.Вейєрштрассафундаментальна, але не є збіжною у цьому просторі, отже P_[a,b] не повний метричний простір.

3. X=R, . За кр.Коші {x_n} збіжна (){x_n} фундаментальна, отже R - повний простір.

4. {x_m} фунд. фунд.збіжназбіжна.- повний завдяки кр.Коші і тому, що збіжність у цих просторах по коортдинатна.

5. X=C_[a,b]. За кр.Коші х_m рівномірно збіг. до х₀ на [a,b] {x_n} фунд., отже C_[a,b] – повний.

Теорема Бера

Повний метричний простір не можливо зобразити у вигляді об’єднання зчисленної множини ніде не щільних множин.

Зауважимо. Якщо метричний простір Х – не повний, то його можна зобразити у вигляді , М_n – ніде не щільні множини.

Наприклад. - не повний метр. пр-тір.ніде не щільні

Д-ня теореми Візьмемо довільну замкнену кулю B[x₁,r₁]. Будемо розгл. також відкриту кулю B(x₁,r₁). М₁ – ніде не щільна мн-на в Х. . За означ. ніде не щільної мн-ни. Побудуємо замкнену кулю

. Будемо розгл. відкриту кулю . М₂ – ніде не щільна на Х . Побудуємо замкнену кулю… Ми побудували послідовність замкнених вкладених куль. Х – повний, тоді за т.про вкладені кулі:, алеотримали суперечність.