Типовой расчёт № 4 Интегрирование.
Образец решения
Задание 2. Вычислить определённые интегралы:
2.1. .
Решение. .
2.2. .
Решение.
.
2.3.
Решение..
Задание 3. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.
а) |
б) |
Решение:
а)
- интеграл расходится.
б) является точкой разрыва подынтегральной функции, поэтому:
- интеграл сходится.
Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: и ;
.
Решение. Найдем координаты точек пересечения линий:
; ; .
;
Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: , вокруг оси .
Решение. Используем формулу для нахождения объёма тел вращения: .
В условиях нашей задачи , , .
.
Задание 6. Вычислить: длину дуги кривой:
,
В зависимости от способа задания уравнения кривой существуют следующие формулы нахождения длины дуги кривой.
-
Для кривой, заданной в декартовых координатах уравнением длина дуги находится по формуле (1);
-
Для кривой, заданной параметрически уравнениями длина дуги находится по формуле (2);
-
Для кривой, заданной в полярных координатах уравнением длина дуги находится по формуле (3).
В нашем случае кривая задана параметрически, поэтому для вычисления её длины мы применим формулу (2).
;
Вариант № 1.
Задание 2. Вычислить определённые интегралы:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .
Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .
Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: .
Задание 6. Вычислить длину дуги кривой: от точки с абсциссой до точки .
Вариант № 2.
Задание 2. Вычислить определённые интегралы:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .
Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: .
Задание 6. Вычислить длину дуги кривой в пределах от до .
Вариант № 3.
Задание 2. Вычислить определённые интегралы:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .
Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .
Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: .
Задание 6. Вычислить длину дуги кривой между точками пересечения её с .
Вариант № 4.
Задание 2. Вычислить определённые интегралы:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .
Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .
Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: .
Задание 6. Вычислить длину дуги кривой от до .