Решение задачи

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМЕ 7. 1. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.04.2015

Размер:

606.13 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

+∞	n	f (z).
∫ f (x)dx = 2πi ∑ res		f (z).
−∞	k=1z=zk
б) Пусть функция	f (z) имеет вид	f (z)= eiα z F(z), где

α > 0 , а F(z) аналитическая в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением конечного числа особых точек z1,K, zn , лежащих в верхней полуплоскости и

lim F(z)= 0 . Тогда z→∞

Im z≥0

+∞	+∞	n
∫ f (x)dx = ∫eiα x F(x)dx = 2πi ∑ res f (z).
−∞	−∞	k=1z=zk
При нахождении интегралов вида
	+∞	+∞
	∫F(x)sinαxdx,	∫F(x)cosαxdx
	−∞	−∞

+∞

следует сначала получить значение интеграла ∫eαi x F(x)dx , а

−∞

затем выделить его мнимую и вещественную части.

6. Найти все значения функций: а)

		1
а).	Введем	функцию f (z)=		. В	верхней
			(z 2 + 4)(z 2 +1)2
полуплоскости		f (z) имеет один полюс первого порядка в точке
z1 = 2i	и один полюс второго порядка в точке z2 = i .				Найдем
вычеты в этих точках:

		res	f (z)= lim
		z1 =2i	z→2i
=	lim	z − 2i
=	lim
	z→2i (z + 2i)(z − 2i)(z2 +1)2

z − 2i		=
(z2 + 4)(z2 +1)2		=
= lim	1		= −	i	.
= lim			= −		.
z→2i (z + 2i)(z2 +1)2				36

res f (z)

= lim

(z −i)

+ 4)(z

+1)

z2 =i

z→i

= lim

(z −i)

= lim

(z2 +

4)−1(z + i)−2

(z2 + 4)(z + i)2 (z −i)2

z→i

= lim − 2(z +i)−3 (z 2 +

4)−1 −(z +i)−2 (z 2 + 4)−2 2z

z→i

= −

−

= −

3(2i)3

(2i)2

12i

+∞

Окончательно, ∫

= 2πi

−

(x2 + 4)(x2 +1)2

−∞

б) Так как подынтегральная функция

cos 2x

четная,

(x2 −2x + 2)2

то

+∞

cos 2xdx

+∞

cos 2xdx

∫

(x2 −2x + 2)2

−∞

Подынтегральную

функцию

можно

представить

в виде

f (x)=

cos 2x

= Re

e2ix

поэтому

искомый

(x2 −2x +2)2

интеграл

+∞ cos 2xdx

+∞

e2ix

∫

Re ∫

(x2 − 2x + 2)2

−∞

	1
Функция	F(z)= (z2 −2z + 2)2	имеет	в	верхней

полуплоскости полюс второго порядка в точке z0 =1+i . Найдем вычет в z0 :

2iz

res

lim

− (1 + i))

(z2 − 2z + 2)2

z0 =1+i (z2 − 2z + 2)2

→1+i

e2 i z

lim

z→1+i (z − (1 −i))2

lim

2ie2iz (z − (1 −i))2 − 2e2iz (z − (1 −i)) =

z→1+i

(z − (1 −i))4

= lim

2e2iz (i(z −

1 + i)−1)

= −

−2

(z −1 + i)3

z→1+i

= −

e−2

(cos 2 +i sin 2)=

e−2 (sin 2 −i cos 2).

Так как

Re 2πi

e−2

(sin 2 −i cos 2) =

= Re

πie−2 cos 2 +

πie−2 sin 2

πe−2 cos 2 ,

то окончательно получаем

+∞

cos 2xdx

πe

−2

cos 2 .

∫

(x2 − 2x + 2)2

Вариант 1

1. Изобразить число 2 − 2 3 i на комплексной плоскости, найти

его модуль и аргумент, записать в тригонометрической и

экспоненциальной формах.

2.Найти: а) 72 +−ii , б) Re e 3 .

3.Вычислить 3i171 − 2i123 +i10 −i .i

(i − 3)15

4. Вычислить ( 3 +i)7 .

5.Вычислить и изобразить на комплексной плоскости 4 1 −i .

6.Найти все значения функций: а) Ln (−i) ; б) cos π6 i .

7. Нарисовать заданные

линии или

области: а) Im

z −1

= 0 ,

z +1

б)

arg(z +i)

, в) 3

≤

z +1 −i

≤ 4,

−

≤ arg z ≤

π .

8.Восстановить аналитическую функцию по ее вещественной части

u(x, y) = x2 − y2 + 2x + 4 , w(i) = 3 + 2i .

9.Куда отобразится линия z = 4 при отображении w = 2z ?

10.	Исследовать конечные особые точки				f (z) =	ez	и найти в них
						+ z2
	вычеты.				1

		z−1−∫i		dz
11.	Вычислить интеграл		=2	(z −1)2	(z 2 +1).

12.	Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты

+∞	cos x

−∫∞ x2 −6x +10 dx .

Вариант 2

1.Изобразить число 2 + 2 3 i на комплексной плоскости, найти его модуль и аргумент, записать в тригонометрической и экспоненциальной формах.

2.Найти: а) 62 ++ii , б) Im 2e− π4 i .

3.Вычислить 3i151 − 2i103 +i12 −i2 .

(i + 3)14

4. Вычислить ( 3 +i)8 .

5.Вычислить и изобразить на комплексной плоскости 3 + 4i

6.Найти все значения функций: а) Ln(1 −i) , б) sh π3 i .

7.Нарисовать заданные линии или области: а) z =1 −it, 0 ≤ t ≤ 2 ,

б) Im

, в) 3 ≤

z +1 −i

≤

−

≤ arg z ≤

π .

8.Восстановить аналитическую функцию по ее вещественной части

u(x, y) = x2 − y2 + xy −2x +1, w(1−i) = −2 +i .

9.Куда отобразится линия z =1 при отображении w = 2( z −1) ?


10.	Исследовать конечные особые точки f (z) =						1	и найти в них
10.	Исследовать конечные особые точки f (z) =						z − z3	и найти в них
	вычеты.						z − z3
	вычеты.			dz
11.	Вычислить интеграл ∫			dz	.
11.	Вычислить интеграл ∫				.
		z−1	=1 z4 +1
		z−1	=1 z4 +1
12.	Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты
			+∞	cos 2x		dx .
			∫
			∫	(x2 +1)2
			−∞	(x2 +1)2

Вариант 3

1.Изобразить число 3 −i на комплексной плоскости, найти его модуль и аргумент, записать в тригонометрической и экспоненциальной формах.

2.Найти: а) 121 −+102i i , б) Im e 3 i .

3.Вычислить 3i147 − 2i131 +i3 −i11 .

4.Вычислить ( 3 −i)8 (1+ 3 i)6 .

5.Вычислить и изобразить на комплексной плоскости 3 − 2 + 2i .

	−	π
6. Найти все значения функций: а) Ln (3 − 2i) ; б) sh	−	2	i .
		2

7.Нарисовать заданные линии или области: а) Re 1z = 2 ,

б) z −i + z +i > 4 , в)1 ≤ z + 2i ≤ 5i , − π2 ≤ arg z ≤ 0 .

8.Восстановить аналитическую функцию по ее вещественной части

u(x, y) = x2 − y2 +5x + y −

, w(i) = −1+ 2i .

x2 + y2

Куда отобразится линия

=1 при отображении w = (1 +i)z ?

10.

Исследовать конечные особые точки

f (z) =

sin z

и найти в них

вычеты.

11.

Вычислить интеграл ∫

dz .

=2 z 4 −1

12.

Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты

∞

xsin x

0∫

(x2 + 4)(x2 +9)dx .

Вариант 4

1.Изобразить число 3 + i на комплексной плоскости, найти его модуль и аргумент, записать в тригонометрической и экспоненциальной формах.

2.Найти: а) 102 +−7i i , б) Re 2e− π4 i .

3. Вычислить 3i137 − 2i121 −i2 +i .

(	3 −i)7
4. Вычислить		15 .
(i −		3 )

5.Вычислить и изобразить на комплексной плоскости 5 − 4 −3i .

Найти все значения функций: а) ch

3π

i , б) Ln (−1 −i) .

z −1

Нарисовать

заданные

линии

или

области:

а) Re

= 0 ,

z +1

б)

1 + z

1 − z

, в)1 ≤

z − 2i

≤

, −

≤ arg z ≤ 0 .

Восстановить

аналитическую

функцию

по

ее

мнимой части

v(x, y) = x3 y +8xy − xy3 + 4x , w(0) = 0 .

Куда отобразится линия x = y при отображении w = (1 −i)z +i ?

10.

Исследовать конечные особые точки f (z) =

и найти в них

tg z

вычеты.

sin z

11.

Вычислить интеграл

∫

dz .

(1 + z)3

3 =2

12.

Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты

+∞

cos x

dx .

∫

2 + 4)2

−∞ (x

Вариант 5

1.Изобразить число 1 +i 3 на комплексной плоскости, найти его модуль и аргумент, записать в тригонометрической и экспоненциальной формах.

2.Найти: а) 32 −+43ii , б) Re 2e 4 i .

3. Вычислить 6i144 +i117 −3i13 + 2i2 .

4. Вычислить (2 + 2i)12 .

( i +1)7

5.Вычислить и изобразить на комплексной плоскости 4 −1 .

6.Найти все значения функций: а) cosπ i ; б) Ln(2 −i) .

7.Нарисовать заданные линии или области:

а) z = t +it 2 ,−∞ ≤ t ≤ +∞, б) z >1 − Re z ,

в) 3i ≤ z − 2i ≤ −9i , π6 ≤ arg z ≤ π2 .

8.Восстановить аналитическую функцию по ее мнимой части

v(x, y) =1 −3x2 y + y3 , w(1 −3i) = 2 +19i .

9.Куда отобразится линия x = y при отображении w = 2z +i ?

10.

Исследовать конечные особые точки f (z) =

1−cos z

и найти в

них вычеты.

eiz dz

11.

Вычислить интеграл ∫

−π )3

12.

Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты

+∞ cos xdx

0∫

x2 +9

Вариант 6

1.Изобразить число 1 −i 3 на комплексной плоскости, найти его модуль и аргумент, записать в тригонометрической и экспоненциальной формах.

2. Найти: а) 42 +−35ii , б) Im 2e 4 i .

3. Вычислить 6i124 +i97 −3i9 + 2i5 .

4. Вычислить (2 + 2i)10 .

( i +1)9

5.Вычислить и изобразить на комплексной плоскости 4 −i .

6.Найти все значения функций: а) sinπ i , б) ii .

7.Нарисовать заданные линии или области:

3π

z +1

а) z

= cos t +i sin t , t

;

, б)

>1,

z −1

в)

≤

z + 2i

≤

−9i

≤ arg z ≤ π .

8.Восстановить аналитическую функцию по ее мнимой части

v(x, y) =1 + 2xy , w(2 +i) = 5 +5i .

9.Куда отобразится линия z = 2 при отображении w = −z +i ?

						1
10.	Исследовать конечные особые точки				f ( z ) =			и найти в
10.	Исследовать конечные особые точки				f ( z ) =		(1 + z 2 )2	и найти в
	них вычеты.			ez dz
11.	Вычислить интеграл ∫			ez dz		.
11.	Вычислить интеграл ∫		=1 z 4 + 2z 2		+1	.
		z−i
		z−i
12.	Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты
		+∞		sin x dx		.
		∫		sin x dx		.
		−∞	(x2 + 2x +10)2

Вариант 7

1.Изобразить число −3 −3i на комплексной плоскости, найти его модуль и аргумент, записать в тригонометрической и экспоненциальной формах.

2.Найти: а) 3 −2 +23ii , б) Re 3e 6 i .

3.Вычислить 5i913 + 2i416 −3i17 +5i3 .

4.Вычислить ( 3 +i )9 ( 12 − 2i )3 .

5.Вычислить и изобразить на комплексной плоскости 4 −1 +i .

7.Нарисовать заданные линии или области: а) z 2 + z 2 =1 ,

б)

π −arg z

; в)

z +1−i

≥ Im(7 +5i),−

≤ arg z ≤

π .

8.Восстановить аналитическую функцию по ее мнимой части

v(x, y) = −x2 + y2 − y , w(3i) = 6i −2 .

9.Куда отобразится линия x = y при отображении w = (2 −i)z +i ?

10.

Исследовать конечные особые точки

f (z) =

и найти в них

вычеты.

11.

Вычислить интеграл ∫

ez2 −1

dz .

z−i

=3 z3 −iz 2

12.

Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты

+∞ xcos x

dx .

−∫∞

x2 − 4x +5

Вариант 8

1.Изобразить число −3 +3i на комплексной плоскости, найти его

модуль и аргумент, записать в тригонометрической и экспоненциальной формах.


		4 −3i			π
2.	Найти: а)			, б) Ime 6 i .

		3 + 2i
3.	Вычислить i1201 −5i403 −3i17 +i8 .
		( 5	−5i )5
4.	Вычислить				.
			10
		(1	+i )

5.Вычислить и изобразить на комплексной плоскости 4 −1 −i .

6.Найти все значения функций: а) (1 −i)3−3i , б) cos − π i .

7.Нарисовать заданные линии или области: а) z = t + ti , −∞ < t < 0 ,

б) z −i + z +i ≥ 4 , в) z +1 −3i = 2, π2 ≤ arg z ≤ 23π .

8.Восстановить аналитическую функцию по ее вещественной части

u( x, y ) = x + 2xy , w( 2 +i ) = 6 −3i .

9.Куда отобразится линия z = 4 при отображении w = z + 2i ?

10.	Исследовать конечные особые точки f(z) =						z	и найти в них
10.	Исследовать конечные особые точки f(z) =					1	−cos z	и найти в них
	вычеты.					1	−cos z
	вычеты.			z
			cos	z
11.	Вычислить интеграл	∫	cos	2	dz .
11.	Вычислить интеграл	∫		2	dz .

9+4y 2 =1 z 2 − 4

12.Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты

+∞	x sin x dx
	x sin x dx
−∫∞	(x2 +1)(x2 + 4).

					Вариант 9
1.	Изобразить число			3 −3i на комплексной плоскости, найти его
	модуль и аргумент, записать в тригонометрической и
	экспоненциальной формах.
					π
2.	Найти: а)	11 −10i		, б) Re e− 3 i .
2.	Найти: а)	2 +9i		, б) Re e− 3 i .
		2 +9i
3.	Вычислить 2i153 −5i47 + 2i43 −i15 .
	( 7		− 7i )4
4.	Вычислить				.
4.	Вычислить			12	.
	(1		+ i )

5.Вычислить и изобразить на комплексной плоскости 3 − 2 − 2i .

6.Найти все значения функций: а) 32−i , б) sh 136π i .

7.Нарисовать заданные линии или области:

а) z = t +i 1 −t 2 , -1 ≤ t ≤1, б) 3 z − Re z =12 ,

в) z +1+3i = 4, − π6 ≤ arg z ≤ 0 .

8.Восстановить аналитическую функцию по ее мнимой части:

v(x, y) = 3x2 y − x − y3 +3 − y , w(2 +i) = 3 +11i .

9.Куда отобразится линия y = 0,0 < x < 12 при отображении w = 1z ?

10.	Исследовать конечные особые точки			f (z) =		z	и найти в
						(ez −1)2
	них вычеты.		e2z dz
11.	Вычислить интеграл	∫
				.
		x2 +y2 −2x=0 z3		−1
12.	Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты
		+∞ xsin x dx
		−∫∞			.
			x2 + 4x + 20

Вариант 10

1.Изобразить число − 3 −i на комплексной плоскости, найти его модуль и аргумент, записать в тригонометрической и экспоненциальной формах.

2.Найти: а) 34 −+23ii , б) Im2e− π3 i .

3. Вычислить 2i163 −5i57 + 2i 23 −i11 .

( 7 −7i )5

4. Вычислить (1+i )15 .

5.Вычислить и изобразить на комплексной плоскости 3 3 +4i .

6.Найти все значения функций: а) Arccos 2 , б) sin π4 i .

7.Нарисовать заданные линии или области:

а) z = −t +i 1−t2 ,-1 ≤ t ≤ 0 , б) Re(1+ z) ≤ z ,

в)	z +1+3i	= 4, −	π	≤ arg z ≤ 0 .
в)	z +1+3i	= 4, −	π	≤ arg z ≤ 0 .
			6
			6

8.Восстановить аналитическую функцию по ее вещественной части

u( x, y ) = x3 −3xy2 − y + 2x −1, w(1 +i ) = −2 +3i .

9.Куда отобразится линия x2 + y2 = 2x при отображении w = 1z ?

10.Исследовать конечные особые точки f (x) = ctg(π z) и найти в них вычеты.

z sin z

11. Вычислить интеграл: x2 +∫y2 =1 (z −1)5 dz .

3 9

12. Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты:

+∞ x cos x dx

−∫∞ x2 + 2x + 2 .

Вариант 11

1.Изобразить число 2 + 2i на комплексной плоскости, найти его модуль и аргумент, записать в тригонометрической и экспоненциальной формах.

	8 −i		π i
2. Найти: а)			, б) Im 2e 2 .
	2	+5i

3.Вычислить 5i713 + 2i316 −3i15 +5i2 .

4.Вычислить ( 3 +i )10 ( 12 − 2i )4 .

5. Вычислить и изобразить на комплексной плоскости 3 2 + 2 3 i .

6.Найти все значения функций: а) Arctg (1+2i), б) sin π6 i .

7.Нарисовать заданные линии или области: а) z − 2 = 1 − 2z ,

б)

arg(z −i)

≤

, в)

z +1−i

≥ Im(2 +5i),

−

≤ arg z ≤

π .

8.Восстановить аналитическую функцию по ее мнимой части

v(x, y) = sh y cos x, w(0) = 5 .

9.Куда отобразится линия x = y при отображении w = iz + 2 ?

	Исследовать конечные особые точки f ( z ) =						z
10.							(ez +1)и найти в них
	вычеты.			z +1
11.	Вычислить интеграл	∫			dz .

		x2 +y2 =16 z 2		+ 2z −3
12.	Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты
		+∞	xsin x dx
		−∫∞				.
			(x2 + 4)(x2 +1)

Вариант 12

1.Изобразить число 2 −2i на комплексной плоскости, найти его модуль и аргумент, записать в тригонометрической и экспоненциальной формах.

2.Найти: а) 15+−72ii , б) Im 2e 2 .

3.Вычислить 3i313 −2i202 +5i15 −i5 .i

( 3 +3i )11

4. Вычислить ( 3 - 3i )6 .

5.Вычислить и изобразить на комплексной плоскости 4 −2 + 2 3 i .

6.Найти все значения функций: а) Arcsin i , б) sh π3 i .

7.Нарисовать заданные линии или области: а) z −3Im z = 6 ,

б) Im 1z < − 12 , в) z + 2 −i > 4, π6 ≤ arg z ≤ π2 .

8.Восстановить аналитическую функцию по ее вещественной части

u(x, y) = sin xch y, w(0) = 5i .

9.Куда отобразится линия z = 2 при отображении w = iz +(1+i ) ?

10.

Исследовать конечные особые точки

f (z) =

−1

и найти в них

z − z3

вычеты.

sinπ z

11.

Вычислить интеграл

∫

dz .

+y2 =1 (z 2 −1)3

12.

Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты

+∞ cos x dx

−∫∞

1 + x4

Вариант 13

1.Изобразить число 3i на комплексной плоскости, найти его модуль и аргумент, записать в тригонометрической и экспоненциальной формах.

			, б) Im 2e−	π
2.	Найти: а)	3 +i	, б) Im 2e−	2 i .
		3 −2i
3.	Вычислить 5i114 −2i75 +i36 −i5 .

( i +1)32

4. Вычислить ( 2 − 2 i )16 .

5. Вычислить и изобразить на комплексной плоскости −2 −2 3 i .

	1			π
6. Найти все значения функций: а) Arcsin		, б) sin	−		i .
	2			2

7.Нарисовать заданные линии или области: а) z −i + z +i = 4 ,

б) Im(		−iz 2 )≤	3	, в)	z − 2 +i	≤ 4, −π ≤ arg z ≤	3π
	z							.

			4				4

8.Восстановить аналитическую функцию по ее вещественной части

u(x, y) = ex cos y, w(0) =1 −5i .

9.Куда отобразится линия z = 4 при отображении w = 1z ?

10.	Исследовать конечные особые точки f (z) = cos					1	и найти в
10.	Исследовать конечные особые точки f (z) = cos					z +i	и найти в
	них вычеты.					z +i
	них вычеты.		sinπ z
11.	Вычислить интеграл ∫		sinπ z	dz .
11.	Вычислить интеграл ∫			dz .
	z = 3		z 2 − z
12.	Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты
	+∞		x cos x dx
	−∫∞		x cos x dx
					.
		(x2 −6x +13)2			.

Вариант 14

1. Изобразить число 1 −i на комплексной плоскости, найти его модуль и аргумент, записать в тригонометрической и экспоненциальной формах.

2.Найти: а) 113 +−9ii , б) Im e− π6 i .

3.Вычислить 5i134 − 2i79 −i34 − 2i3 .

4. Вычислить	(i +1)33
	( 2 − 2 i)7 .

5.Вычислить и изобразить на комплексной плоскости 4 −3 − 4 i .

6. Найти все значения функций: а) Ln (−1 +i), б) ch(i ln 3).

7.Нарисовать заданные линии или области: а) 1 + z < 1 − z ,

б) Re(z (z −i))=	5	, в)	z − 2 +i	≤ 4,	π	≤ arg z ≤	3π	.

	4				2		4

8.Восстановить аналитическую функцию по ее вещественной части

v(x, y) = −	y	, w(π) =	1	.

x2 + y2			π

9.Куда отобразится линия y = x + 2 при отображении w = 1z ?

10.Исследовать конечные особые точки f (z) = tg(π z) и найти в них

12. Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты

+∞ cos x dx

0∫ (x2 +1)2 .

Вариант 15

1.	Изобразить	число −1+ i на	комплексной плоскости, найти его
	модуль и аргумент, записать в тригонометрической и
	экспоненциальной формах.		π
		2 + 2i , б) Re e−	π
2.	Найти: а)	2 + 2i , б) Re e−	6 i .
		2 − i

3.Вычислить 3i197 −2i101 +3i51 +i12 .

( 3i −3 )5

4. Вычислить ( 6 +6i )12 .

5. Вычислить и изобразить на комплексной плоскости 4 1−3i .

Найти все значения функций: а) sh 1 +

i , б) Arccos i .

z +i

=1 ,

Нарисовать заданные линии или области: а)

z −i

б)

>1 + Re z , в)

z −1 +i

3 + 4i

≤ arg z ≤π .

8.Восстановить аналитическую функцию по ее вещественной части

u( x, y ) = x2 − y2 , w( 2 ) = 4 +3i .

9.Куда отобразится линия x = 2, y ≤ 0 при отображении w = 1z ?

10.

Исследовать конечные особые точки f (z) = sin

и найти в них

вычеты.

sin 2 z

11.

Вычислить интеграл ∫

dz .

(2z +1)z3

12.

Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты

+∞ xsin x dx

−∫∞

x2 − 2x +10

Вариант 16

1.Найти модуль и аргумент числа − 2i , записать его в тригонометрической и экспоненциальной форме, изобразить на комплексной плоскости.

				π
2.	Найти: а)	9 −i	, б) Im 6e 6 i .
2.	Найти: а)	7 + 2i	, б) Im 6e 6 i .
		7 + 2i
3.	Вычислить 3i187 −2i91 +3i53 −i10 .
4.	Вычислить ( 2 +			12 i )5 .
	(			3 +i )3
5.	Вычислить и изобразить на комплексной плоскости 3 −3 + 4i .

6.Найти все значения функций: а) cos(π +i ln 2) , б) Arctg 3i .

7.Нарисовать заданные линии или области:

, б)

Re(z (1 −i ))< 2 ,

а) z = cos t +i sin t, t 0;

в)

z +i

≤

3 + 4i

≤ arg z ≤π .

8.Восстановить аналитическую функцию по ее вещественной части

u(x, y)= 2 cos xch y − x2 + y2 , w(0)= 2 + 2i .

9.Куда отобразится линия y = 3x при отображении w = 1z ?

10.	Исследовать конечные особые точки				f (z) =		1 −cos z	и найти в
10.	Исследовать конечные особые точки				f (z) =		z3 (z +1)2	и найти в
							z3 (z +1)2
	них вычеты.			dz
11.	Вычислить интеграл ∫			dz		.
11.	Вычислить интеграл ∫			(z2 + z +1)2		.
		z	=2
		z	=2

12. Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты

+∞ xsin x dx

−∫∞ x2 − 4x +5 .

				Вариант 17
1.	Найти модуль		и	аргумент числа 3 −3 3 i , записать его в
	тригонометрической и экспоненциальной форме, изобразить на
	комплексной плоскости.
				π
2.	Найти: а)	3 −i		, б) Re 6e 6 i .
	2	+	3i

3.Вычислить i571 −2i342 +3i49 −2i14 .

( 2	+	12 i )6	.
4. Вычислить		3 +i )4	.
(		3 +i )4

5.Вычислить и изобразить на комплексной плоскости 8 1 .

6.Найти все значения функций: а) cos π +i ln 2 , б) (1 −i)3−3i .

7.Нарисовать заданные линии или области: а) zz +−11 = 3 ,

б)1 < Re z < 2 , в) z +3 −i < Im(1 + 7i), π2 ≤ arg z ≤π .

8.Восстановить аналитическую функцию по ее мнимой части

v(x, y) = 2(2sh x sin y + xy) , w(0) = 3 .

9.Куда отобразится линия z −3 =1 при отображении w = 2z −i ?

f ( z ) =

ez −1

10.

Исследовать конечные особые точки

и найти в

( z +1)

них вычеты.

11.

Вычислить интеграл ∫

=2 (z −3)(z −

1)5

12.

Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты

+∞

∫

−∞ ( x

+1)

Вариант 18

1. Найти модуль и аргумент числа 3 +3 3 i , записать его в

тригонометрической и экспоненциальной форме, изобразить на комплексной плоскости.

5π

2.Найти: а) 13+−62ii , б) Im 2e 6 i .

3.Вычислить i197 −2i142 +3i79 −2i5 .

( 3i −3 )6

4. Вычислить ( 6 +6i )13 .

5. Вычислить и изобразить на комплексной плоскости 5 −2 −2i .

6. Найти все значения функций: а) (−3 + 4i)1+i , б) sin π2 i .

7. Нарисовать заданные линии или области: а) z −2i + z + 2i = 2 ,

б) zz +−11 ≤1, в) z +3 −i ≤ Im(1+6i), π2 ≤ arg z ≤π .

8.Восстановить аналитическую функцию по ее вещественной части

u(x,y) = 2sin xch y − x ,

w( 0 ) = 0 .

Куда

отобразится

линия arg z =

при отображении

1 −i z −i ?

w =

10.

Исследовать особые точки

f ( z ) =

и найти в них вычеты.

+ z4

ez dz

11.

Вычислить интеграл

∫=1

z 2 (z 2 −9).

12. Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты

∞ x2 cos3x

0∫ (x2 + 4)2 dx .

Вариант 19

1.Найти модуль и аргумент числа 2 +i 12 , записать его в тригонометрической и экспоненциальной форме, изобразить на комплексной плоскости.

5π

2.Найти а) 3 −2 +23ii , б) Re 2e 6 i .

3.Вычислить 5i917 +2i412 −3i17 +5i3 .

4.Вычислить ( 3 +i)9 ( 12 − 2i)3 .

5.Вычислить и изобразить на комплексной плоскости 3 1−3i .

6.Найти все значения функций: а) (−2) 2 , б) ch 3π i .

7.Нарисовать заданные линии или области а) z −2 < z −2i ,

б) z = t + ti ,0 < t < +∞,

в) z +1 −i ≥ Re(5 − 2i), − π4 ≤ arg z ≤ π4 .

8.Восстановить аналитическую функцию по ее мнимой части

v(x, y) = 2(ch xsin y − xy) , w(0) = 0 .

9.Куда отобразится линия y = 2 при отображении w = iz − 2 ?

	Исследовать конечные особые точки f (z) =						z2	+1
10.									и найти в них
10.							ez		и найти в них
	вычеты.						ez	−1
	вычеты.				zdz
11.	Вычислить интеграл	∫			zdz	.
11.	Вычислить интеграл	∫		1	(z −1)(z − 2)2	.
		z−2	=

				2
				2

12. Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты

∞∫ cos 3x dx .

0 x4 +1

Вариант 20

1.Найти модуль и аргумент числа 2 −i 12 , записать его в тригонометрической и экспоненциальной форме, изобразить на комплексной плоскости.

7π

Вычислить и изобразить на комплексной плоскости 3 −1−3i .

Найти все значения функций: а) (−1) 2 , б) cos −

i .

Нарисовать заданные линии или области: а)1 ≤

z + 2 +i

≤ 2 ,

б) Re (z (1+2i))= 4 , в)

z + 2 −i

≥ Re(3 − 2i), −

≤ arg z ≤

π .

Восстановить аналитическую функцию по ее вещественной части

u(x, y) =

ln(x2 + y2 ), w(i) = 2i .

9.Куда отобразится линия y = −x при отображении w = 1z ?

10.	Исследовать конечные особые точки					f (z) =		cos z	и найти в них
10.	Исследовать конечные особые точки					f (z) =		z	и найти в них
	вычеты.							z
	вычеты.				z 2 sin z
11.	Вычислить интеграл ∫				z 2 sin z		dz .
11.	Вычислить интеграл ∫						dz .
		z	=4		(z −1)(z −	2)
		z	=4		(z −1)(z −	2)
12.	Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты
		+∞			cos x dx
					cos x dx
		−∫∞		(x2 + 4)(x2 +9).

Вариант 21

Найти модуль и

аргумент числа −2 + 2 3 i , записать его в

тригонометрической и экспоненциальной форме, изобразить на

комплексной плоскости.

7π

7 −i

, б) Re e

i .

Найти: а)

2 +i

Вычислить 3i171 −2i123 +i15 −i .

Вычислить (1−i ) 3 .

( i +

3 )

Вычислить и изобразить на комплексной плоскости 3 1+3i .

3π

Найти все значения функций: а) Ln( − 2 +3i) , б) sh

i .

Нарисовать заданные линии или области: а)

z −1

z −i

б) Im z= z − 2 , в) z +3 −i ≤ Re(1 +5i), π2 ≤ arg z ≤π .

8.Восстановить аналитическую функцию по ее мнимой части

v(x, y)= arctg

, (x

> 0);

w(1)= 0 .

Куда отобразится линия arg z = π при отображении w = iz +3 ?

cos z

10.

Исследовать конечные особые точки

f (z) =

и найти в них

вычеты.

z 2 ez

11.

Вычислить интеграл

∫

dz .

+1)

z+1+i

12.

Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты

+∞

∫

−∞ (x2 +1)2

Вариант 22

1.Найти модуль и аргумент числа −2 −2 3 i , записать его в тригонометрической и экспоненциальной форме, изобразить на комплексной плоскости.

2.Найти: а) 62 +−ii , б) Im3e− 76π i .

3.Вычислить 3i151 −2i103 +i15 −i2 .

(1−i )9

4. Вычислить 5 .

( i + 3 )

5.Вычислить и изобразить на комплексной плоскости 3 2 −2i .

6.Найти все значения функций: а) Ln( 2 −3i), б) ctg(π i).

7.Нарисовать заданные линии или области: а) z > 2 + Im z ,

б)	z −i	= 2 , в)	z + 2 −i	≤ Im(1 + 6i),	π	≤ arg z ≤π .


	z +i				2

8.Восстановить аналитическую функцию по ее вещественной части

u( x, y ) =	x	, w(π ) =	1	.
	x2 + y2
			π

9.Куда отобразится линия z −i =1 при отображении w = 1z ?

10.Исследовать конечные особые точки f (z) = sin1 z и найти в них вычеты.

zdz

11. Вычислить интеграл x2 +∫y2 =1 (z −1)2 (z −3) .

4 9

12. Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты

+∞	cos x dx
	cos x dx
0∫	(x2 +1)(x2 + 4).

Вариант 23

1.Найти модуль и аргумент числа − 3 +i , записать его в тригонометрической и экспоненциальной форме, изобразить на комплексной плоскости.

2.Найти: а) 12 +10i , б) Re 3e− 76π i .

1−2i

3.Вычислить 3i147 + 2i131 −i11 +i3 .

4.Вычислить ( 3 −i )8(1+ 3 i )6 .

5.	Вычислить и изобразить на комплексной плоскости 4 3 + 4i .
6.	Найти все значения функций: а) Ln(	1 −i	) , б) cos	π i .
		2		6

7.Нарисовать заданные линии или области: а) z − Re z ≤ 0 ,

б) Im(z +iz 2 )=	3	, в)	z +5 −i	≤ Im(6 +6i),	π	≤ arg z ≤π .

	4				2

8.Восстановить аналитическую функцию по ее вещественной части

u( x, y ) = y3 −3x2 y , w(1−i ) = 2 −3i .

9.Куда отобразится линия y2 + x2 = 2x при отображении

w = −iz + 2 ?

10.

Исследовать конечные особые точки

f (z) =

sh z

и найти в

z 2 (z −1)

них вычеты.

zdz

11.

Вычислить интеграл

∫

(z −1)(z − 2)2

z−2

12.

Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты

+∞ x sin 2x

dx .

0∫

1 + x2

Вариант 24

1.Найти модуль и аргумент числа −1+ 3 i , записать его в тригонометрической и экспоненциальной форме, изобразить на комплексной плоскости.

2.Найти: а) 12 +10i , б) Re 3e− 54π i .

1−2i

3.Вычислить 3i137 + 2i121 −i2 +i .

( 3 −i )15

4. Вычислить ( 3 −3 3 i )5 .

5.Вычислить и изобразить на комплексной плоскости 6 1 .

6.Найти все значения функций а) Ln 1 +i , б) ch 3π i .

2 4

7.Нарисовать заданные линии или области: а) z −2 − z + 2 < 2 ,

z +1

= 3 , в)

z −1 +i

2 + 2i

π ≤ arg z ≤π .

б)

z −1

Восстановить аналитическую

функцию по

ее

мнимой части

v(x, y) = y cos y ch x + x sin y sh x , w(0) = 0 .

Куда отобразится линия y2 + x2 = 2 y при отображении

w =

sin z

10.

Исследовать конечные особые точки

f (z) =

и найти в

2 (1− z)

них вычеты.

11.

Вычислить интеграл

∫

(z 2 +1)2 (z −3)

z−1−i = 2

12.

Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты

+∞ x sin 2x

dx .

∫

(x2 +9)2

Вариант 25

1.Найти модуль и аргумент числа −1− 3 i , записать его в тригонометрической и экспоненциальной форме, изобразить на комплексной плоскости.

2.Найти: а) 32 −+43ii , б) Im3e− 54π i .

3.Вычислить 6i144 +i117 −3i13 + 2i2 .

4.Вычислить ( 5 −5i )4 ( i +1)9 .

5.Вычислить и изобразить на комплексной плоскости 6 −8 .

6.Найти все значения функций: а) Ln i , б) sh π i .

7.Нарисовать заданные линии или области а) Re(z(1 + 2i))= 4 ,

б) Im(z 2 ) < 1, в) z − 2 +i ≤ 5, −π ≤ arg z ≤ 34π .

8.Восстановить аналитическую функцию по ее вещественной части

u(x, y) = x cos xch y + y sin xsh y , w(0) = 0 .

Куда отобразится линия y = 4 − x2

при отображении

w = iz −1 ?

sin z

10.

Исследовать конечные особые точки

f (z) =

и найти в

z(1 − z)2

них вычеты.

z3 sin zdz

11.

Вычислить интеграл ∫

=4 z 2 + 4z +5

12.

Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты

+∞

cos 2x

dx .

∫

(x2 − 4x +13)2

−∞

Вариант 26

1.Найти модуль и аргумент числа 12 −2i , записать его в тригонометрической и экспоненциальной форме, изобразить на комплексной плоскости.

5π

2. Найти а) 42 +−35ii , б) Im 2e 4 i .

3. Вычислить 6i124 +i97 −3i13 + 2i2 .

( 3 −i )13

4. Вычислить (10 +10 3 i )7 .

5.Вычислить и изобразить на комплексной плоскости 8 −1 .

6.Найти все значения функций: а) sin π3 i , б) i i .

7.Нарисовать заданные линии или области: а) z + 2 +i ≤ 2 ,

б) z −1 + z +1 =8 , в) z + 2 +i ≤ 4, −π ≤ arg z ≤ 34π .

8.Восстановить аналитическую функцию по ее вещественной части

u(x, y) = ex (x cos y − y sin y) , w(0) = 0 .

Куда отобразится линия x = 4 − y

2 при отображении

w =

1−cos z

10.

Исследовать конечные особые точки

f (z) =

и найти в

z3 (z +1)2

них вычеты.

11.

Вычислить интеграл

z−1∫

(z 2 +1)(z 2 − 4).

12.

Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты

+∞ xsin 3x

dx .

0∫

x2 + 4

Вариант 27

1.Найти модуль и аргумент числа 12 + 2i , записать его в тригонометрической и экспоненциальной форме, изобразить на комплексной плоскости.

5π

2.Найти: а) 32 −+43ii , б) Re 2e 4 .

3.Вычислить i1001 −5i507 −3i12 −i8 .i

4. Вычислить ( 7	3 + 7i )11 .
(	3 + i )5

5. Вычислить и изобразить на комплексной плоскости 3 i .

6. Найти все значения функций а) ch	π		1+i	2i
6. Найти все значения функций а) ch	6	i , б)	.
	6		2

7.Нарисовать заданные линии или области: а) z −1 + z +1 ≥ 4 ,

б) 0 < arg(z −i) <	π	, в)	z − 2 +i	≤ 6, −π ≤ arg z ≤	3π	.

	4				4

8.Восстановить аналитическую функцию по ее вещественной части

u( x, y ) = x3 +6x2 y −3xy2 −2 y3 , w( 0 ) = 0 .

Куда отобразится линия

= 3 при отображении w = −z +i ?

10.

Исследовать конечные особые точки

f ( z ) =

(e−zz−1)и найти в

них вычеты.

sin zdz

11.

Вычислить интеграл

∫=2

z3 (z2 +1).

12.

Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты

+∞

xsin 2x

dx .

∫

(x2 − 2x +5)2

−∞

Вариант 28

1.Найти модуль и аргумент числа −3 +3 3 i , записать его в

тригонометрической и экспоненциальной форме, изобразить на комплексной плоскости.

5π

2.Найти: а) 34+−23ii , б) Im 4e 4 i .

3.Вычислить i1205 −5i407 −3i17 +i10 .

4.Вычислить ( 2 − 2 i )4 ( i +1)5 .

5.Вычислить и изобразить на комплексной плоскости 4 1 .

6.Найти все значения функций: а) Ln 4 , б) Arctg(1+ i) .

7.Нарисовать заданные линии или области: а) Im(z 2 )=1,

б) 0 < arg(z +i) <

, в)

z −1 +i

4 +3i

≤ arg z ≤π .

8.Восстановить аналитическую функцию по ее мнимой части

v( x, y ) = 3 + x2 − y2 −	y	, w( i ) = 2 +	3	i .
	2( x2 + y2 )		2

9.Куда отобразится линия y = 2x +3 при отображении w = 3z +i ?


10.	Исследовать конечные особые точки f ( z ) =							z5
									и найти в
								(1− z)2	и найти в
	них вычеты.			(z3 + 2)ez dz
				(z3 + 2)ez dz
11.	Вычислить интеграл	z−1∫	=2		z (z 2 +1)		.
		z−1∫	=2		z (z 2 +1)
12.	Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты
			+∞ cos x dx
			−∫∞			.
			−∫∞		x2 +9	.

Вариант 29

1.Найти модуль и аргумент числа − 4 + 4 3 i , записать его в тригонометрической и экспоненциальной форме, изобразить на комплексной плоскости.

7π

2.Найти: а) −72−+i5i , б) Im3e 6 .

3.Вычислить i325 −5i56 −3i22 +i11 .i

(	2 − 2 i )5	.
4. Вычислить	( i +1)6	.
	( i +1)6

5.Вычислить и изобразить на комплексной плоскости 5 −1 .

2π
6. Найти все значения функций: а) Ln(− 4 + 2 2 i), б) sh		i .
	3

7.Нарисовать заданные линии или области: а) Re 1z = 4 ,

б) z −2 = 1−2z , в) z +i < 4 +3i , π4 ≤ arg(z −i)≤π .

8.Восстановить аналитическую функцию по ее мнимой части

v(x, y) = 2(ch xsin y − xy) , w(0) = 0 .

9.Куда отобразится линия y = 2x −5 при отображении w = 1z ?

10.	Исследовать конечные особые точки					f ( z ) =		z3
									и
								(1 − z)(1 + z)2	и
	найти в них вычеты.			(z +1)dz
				(z +1)dz
11.	Вычислить интеграл	z−1∫	=2	z (z 2 +1)		.
		z−1∫	=2	z (z 2 +1)
12.	Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты
			+∞ cos 4x dx
			∫				.
			∫		x2 +9		.
			0		x2 +9

Вариант 30

1.Найти модуль и аргумент числа 5 −5 3 i , записать его в тригонометрической и экспоненциальной форме, изобразить на комплексной плоскости.

					2π
		−3 −i	, б) Re 3e			i .
2.	Найти: а)	−3 −i			3
2.	Найти: а)	7 + 2i			3
		7 + 2i
3.	Вычислить i1528 −8i103 −3i5 +i3 .
4.		(1 −	3 i )4	.
4.	Вычислить		+1)6	.
		( i	+1)6
5.	Вычислить и изобразить на комплексной плоскости 5 −1 −i .
6.	Найти все значения функций: а) Arcsin(− 2 +							π
6.	Найти все значения функций: а) Arcsin(− 2 +						2 i), б) ch		i .
							z +1	3
7.	Нарисовать заданные линии или области: а) Im						z +1	= 0 ,
7.	Нарисовать заданные линии или области: а) Im						z −1	= 0 ,
							z −1

б) z −2 − z + 2 < 2 , в) z +1 < 3 + 4i , - π2 ≤ arg(z −1)≤ π2 .

8.Восстановить аналитическую функцию по ее вещественной части:

u( x, y ) = x3 +6x2 y −3xy2 −2 y3 , w( 0 ) = 0 .

9.Куда отобразится линия x2 + y2 = y при отображении w = 1z ?

					f (z) =		sin z
10.	Исследовать конечные особые точки				f (z) =		(1 − z)(z 2 +1)и
	найти в них вычеты.			ez dz
11.	Вычислить интеграл ∫			ez dz		.
11.	Вычислить интеграл ∫					.
		z+i	=1 z 4 + 2z 2		+1
		z+i	=1 z 4 + 2z 2		+1

12. Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты

+∞∫ xsin 2x dx .

0 x2 + 4

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
18.04.2015542.52 Кб3013_Раб тетр ДИ исч ФОП ЭКОНОМ.pdf
#
18.04.2015586.37 Кб302_Rabochaya_tetrad_po_teorii_predelov (1).pdf
#
18.04.2015814.45 Кб66РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМАМ 6.1, 6.2 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ТЕОРИЯ ПОЛЯ.pdf
#
18.04.2015668.53 Кб119РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по теме 4.1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.pdf
#
18.04.2015606.13 Кб58РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМЕ 7. 1. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.pdf
#
18.04.2015600.22 Кб16РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМЕ 7.2. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.pdf
#
18.04.2015535.48 Кб15РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМЕ ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.pdf
#
18.04.2015567.24 Кб42Рабочая тетрадь Тема 4.2. Интегральное исчисление функций одной переменной.pdf
#
18.04.2015634.96 Кб93Тема 4.3. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ.pdf
#
18.04.2015700.25 Кб92Тема 5. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ.pdf