16.6 Операторы в квантовой механике
В квантовой механике большую роль играет понятие оператора. Под оператором подразумевают правило, посредством которого одной функции сопоставляется другая функциятех же самых переменных. Символически это записывается следующим образом:
(16.30)
Здесь – символическое обозначение оператора (буквасо «шляпкой»). Под символом оператора скрывается совокупность действий, с помощью которых исходная функцияпревращается в другую функцию. Примером оператора может служить умножение на некоторую функцию. Тогдаи, следовательно,. Оператором является также дифференцирование по, т.е.и т.д., оператор Лапласа.
Если рассматривать функцию в уравнении Шредингера (16.8) как оператор, то это уравнение можно записать в виде:
, (16.31)
где
-оператор полной энергии частицы – гамильтониан.
В квантовой механике каждой физической величине сопоставляется оператор(для каждой величины оператор обозначается по-своему: для энергии -, для импульса -, для момента импульса -и т.д.). Решая уравнение
, (16.32)
находим собственные значения оператора. Функции, являющиеся решением этого уравнения и удовлетворяющие стандартным условиям, называют собственными функциями оператора.
Как уже говорилось, физический смысл могут иметь лишь такие решения, которые всюду конечные, однозначные, непрерывные и гладкие. Эти условия называют естественными или стандартными.
Общее утверждение квантовой механики заключается в том, что среднее значение любой физической величины находится по формуле
, (16.33)
где – оператор физической величины.
Мы уже знаем, что среднее значение координаты частицы, если известна ее-функция, определяется как
, (16.34) где интегрирование проводится по интересующей нас области, а функция является нормированной, т.е. удовлетворяет условию:
.
Значительно сложнее задача о нахождении среднего значения проекции импульса частицы, состояние которой задается определенной пси-функцией.
Весьма громоздкий расчет приводит к следующему результату:
. (16.35)
Сопоставив (16.33) с (16.34) и (16.35), приходим к выводу, что операторами величин иявляются
. (16.36)
Аналогично для операторов .
Операторы иявляются основными в квантовой физике.
Общее правило, позволяющее находить операторы других физических величин, таково: формулы классической физики для связи между величинами в квантовой теории следует рассматривать как формулы, связывающие операторы этих величин.
Так, например, квадрат импульса в классической механике равен
.
Поэтому оператор квадрата импульса
В результате получим
, (16.37)
где оператор –оператор Лапласа.
Аналогично находим оператор кинетической энергии:
. (16.38)
Отсюда получается оператор полной энергии – гамильтониан:
. (16.39)
Зная выражения операторов , можно найти средние значения,,по формуле (16.33), если известна ψ-функция частицы.
Найдем, наконец, оператор момента импульса. Согласно классической механике
.
В соответствии с общим правилом оператор проекции момента импульса, например, на ось имеет вид:
. (16.40)
В дальнейшем нам придется использовать этот оператор, но не в декартовой, а в сферической системе координат . В этой системе оператор, имеет вид
. (16.41)
Это показано в задаче 4.
Задачи
Задача 1
Получить решение уравнения Шредингера для случая свободной частицы массы , движущейся вдоль осив положительном направлении.
Решение
Для свободной частицы (), движущейся вдоль оси, уравнение Шредингера для стационарных состояний (16.8) будет иметь вид:
,
или
(1)
Так как потенциальная энергия частицы , то полная энергияравна.
Введем обозначение: . Тогда
,
где – импульс частицы. Учитывая выражение для, можно записать:
Общее решение этого уравнения имеет вид:
,
где первый член соответствует движению в положительном, а второй – в отрицательном направлении оси . Так как по условию задачи частица движется в положительном направлении оси, то в решении нужно оставить только первый член, т.е. положить
.
Отметим, что решение возможно при любых значениях , а значит, и, т.е. энергетический спектр свободной частицы – сплошной.
В соответствии с (16.10) для полной волновой функции будем иметь
.
Это и есть уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси . Действительно, нам известно, такая волна определяется уравнением вида:
.
В нашем случае , а волновое числоопределяется соотношением, откуда, что совпадает с соотношением для длины волны де-Бройля рассматриваемой частицы.
Таким образом, искомое решение уравнения Шредингера для сводобной частицы представляет собой плоскую волну де-Бройля.
Задача 2
Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной с абсолютно непроницаемыми стенками (). Найти вероятность нахождения частицы в интервале ().
Решение
Согласно (16.20) -функция в основном состоянии () имеет вид
Искомая вероятность
,
где введена новая переменная .
Задача 3
Частица массы находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Координатыинаходятся в интервале соответственно (0,) и (0,), гдеи– стороны ямы. Найти возможные значения энергиии нормированныеψ -функции частицы.
Решение
В этом случае уравнение Шредингера (16.8) имеет вид:
, (1)
(в пределах ямы ).
Учитывая, что ина двух сторонах ямы (и),-функцию внутри ямы удобно искать в виде произведения синусов
(2)
Возможные значения инайдем из условия обращения ψ-функции в нуль на противоположных сторонах ямы:
;
; (3)
После подстановки (2) в уравнение (1) получим , и, учитывая выражение дляв (1), получим
. (4)
Постоянную в (2) находим из условия нормировки
,
откуда следует, что .
Следовательно, нормированная ψ-функция будет иметь вид
.
Задача 4
Показать, что в сферической системе координат оператор .
Решение
Рис. 1
Запишем связь между декартовыми и сферическими координатами с помощьюрис. 1.
,
, (1)
.
C помощью этих формул выразим частную производную по через производные
по .
(2)
Вычислив частные производные ,,формул (1), подставим результаты в (2) и получим
. (3)
Из сопоставления с (1) видим, что (3) можно переписать так:
Учитывая выражение для (16.40) получим, что
.
Тесты
1. С помощью волновой функции Ψ можно определить
(1) траекторию движения частицы, (2) вероятность обнаружения частицы в разных точках пространства, (3) длину волны де Бройля в разных точках пространства, (4) импульс частицы в разных точках пространства.
2. При одномерном движении вдоль оси X вероятность обнаружения частицы в интервале [x, x+dx] равна
(1) , (2) , (3), (4) .
3. Траектория движения микрообъекта
(1) определяется его волновой функцией, (2) не существует, (3) находится из соотно-шения неопределенностей Гейзенберга, (4) находится решением уравнения Шредингера.
4. Волновая функция Ψ является
(1) вероятностью обнаружения частицы в разных точках пространства, (2) плотностью вероятности обнаружения частицы в разных точках пространства, (3) амплитудой волны де Бройля, (4) амплитудой вероятности обнаружения частицы в разных точках пространства.
5. Cтационарное уравнение Шредингера для частицы массы m записывается следующим образом
(1) , (2),
(3) , (4) .
6. Решая стационарное уравнению Шредингера можно определить,
(1) волновую функцию частицы и ее положение в пространстве, (2) волновую функцию, кинетическую и потенциальную энергии частицы, (3) только энергетические уровни, (4) волновую функцию частицы и ее энергетические уровни.
7. Нестационарное уравнение Шредингера для частицы массы m записывается следующим образом
(1) , (2) ,
(3) ,(4) .
8. Туннельный эффект-это явление, при котором квантовая частица проходит через потенциальный барьер при
(1) E=U0, (2) E>U0, (3) E<U0, (4) E>0,
где E - кинетическая энергия частицы, U0 - высота потенциального барьера.
9. Коэффициентом прозрачности D потенциального барьера называется
(1) отношение импульса прошедших частиц к импульсу падающих,
(2) отношение импульса падающих частиц к импульсу прошедших.
(3) отношение плотности вероятности потока прошедших частиц
к плотности вероятности потока падающих,
4) отношение плотности вероятности потока падающих частиц
к плотности вероятности потока прошедших.
10. Электрон наталкивается на потенциальный барьер конечной высоты U0. При каком значении кинетической энергии Е электрона он не пройдет через потенциальный барьер:
(1) среди указанных ответов нет правильного, (2) E=U0, (3) E>U0, (4) E<U0.
11. Коэффициент прозрачности D потенциального барьера зависит от ширины l барьера по закону
(1) D не зависит от l. (2) D ~ e-kl, (3) D ~ l, (4) D ~ l2.
12. С увеличением ширины l потенциального барьера коэффициент прозрачности D барьера
(1) уменьшается, (2) увеличивается, (3) при больших l - увеличивается, при малых l – уменьшается, (4) при малых l - увеличивается, при больших l – уменьшается.
13. К специфическим квантовым явлениям относится
туннельный эффект, (2) эффект Холла, (3) релятивистское увеличение массы, (4) интерференция волн.
14. С увеличением высоты U0 потенциального барьера коэффициент прозрачности D барьера
(1) D не зависит от U0, (2) при больших U0 - увеличивается, при малых U0 – уменьшается, (3) уменьшается, (4) увеличивается.
15. С увеличением массы m квантовой частицы коэффициент прозрачности D барьера
(1) увеличивается, (2) уменьшается, (3) D ~1/m, (4) D не зависит от m.
16. Вероятность обнаружить частицу на участке [a,b] одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле , гдеw(x) – плотность вероятности, определяемая волновой функцией Ψ(x). Если Ψ(x) имеет вид, указанный на рисунке, то вероятность обнаружить электрон на участке равна
(1) 50%, (2) ≈33%, (3) ≈67%, (4) 75%, (5) ≈83%.
17. Стационарным уравнением Шредингера для линейного гармонического осциллятора является уравнение
(1) , (2),
(3) , (4) .
18. Вероятность обнаружить частицу на участке [a,b] одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле , гдеw(x) – плотность вероятности, определяемая волновой функцией Ψ(x). Если Ψ(x) имеет вид, указанный на рисунке, то вероятность обнаружить электрон на участке равна
(1) ≈33%, (2) 59%, (3) ≈17%, (4) ≈67%, (5) ≈83%.
19. Стационарным уравнением Шредингера для электрона в атоме водорода является уравнение
(1) , (2),
(3) , (4).
20. Стационарным уравнением Шредингера для электрона в водородоподобном ионе является уравнение
(1) , (2),
(3) , (4).
21. Стационарным уравнением Шредингера для свободной частицы является уравнение
(1) , (2) ,
(3) , (4).
22. Стационарным уравнением Шредингера для свободной частицы, движущейся вдоль оси X, является уравнение
(1) , (2),
(3) , (4).
23. Стационарным уравнением Шредингера для частицы, движущейся в одномерном потенциальном ящике с бесконечно-высокими стенками, является уравнение
(1) , (2), (3), (4).
24. Стационарным уравнением Шредингера для частицы, движущейся в трехмерном потенциальном ящике с бесконечно-высокими стенками, является уравнение
(1) , (2), (3), (4).