16.3 Частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме

Потенциальной ямой называется часть пространства, ограниченная участками резкого возрастания потенциальной энергии отталкивания, возникающего в результате взаимодействия данной частицы с какими-то внешними полями.

Рассмотрим частицу в одномерной потенциальной яме (рис. 1).

Рис. 1

Потенциальная энергия имеет вид:

при иприи.

На стенках потенциальной ямы частица находиться не может, что можно записать в виде условия:

(16.13)

Стационарное уравнение Шредингера (16.8) для частицы, находящейся внутри ямы (, запишем в виде:

Для одномерной ямы , поэтому

или

(16.14)

Введя обозначение

, (16.15)

придем к уравнению, хорошо известному из теории колебаний:

. (16.16)

Решение такого уравнения имеет вид:

, (16.17)

где и– произвольные постоянные.

Из условия следует, что.

Из условия в свою очередь следует, что

, (16.18)

где (отпадает, так как при этом– частица нигде не находится).

Подставив из (16.18) в (16.15), найдем собственные значения энергии частицы:

, (16.19) Энергия оказалась квантованной и ее спектр – дискретный (рис. 2).

Подставив значение из (16.18) в (16.17), где, найдем собственные функции:

Для определения коэффициента А воспользуемся условием нормировки(16.3). В нашем случае оно примет вид

откуда

Рис. 2

Таким образом, собственные функции имеют вид:

(16.20)

Графики собственных функций, изображены на рис. 3а. На рис. 3б дана плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы, равная .

а) б)

Рис. 3

Из графиков, например, следует, что в состоянии с частица не может быть обнаружена в середине ямы и вместе с тем одинаково часто бывает как в левой, так и в правой половине ямы. Такое поведение частицы резко отличается от поведения классической частицы, для которой все положения в яме равновероятны.

16.4 Квантовый гармонический осциллятор

Гармоническим осциллятором называют частицу, совершающую одномерное движение под действием квазиупругой силы .

Потенциальная энергия такой частицы имеет вид:

, (16.21)

Собственная частота классического гармонического осциллятора равна , где– масса частицы. Выразив, получим

. (16.22)

В квантовой теории понятие силы теряет смысл, поэтому квантовый гармонический осциллятор следует определить как поведение частицы массы с потенциальной энергиейтакой же, как у классического осциллятора (см. формулу (16.22)).

Графиком функции является параболическая яма (рис. 4).

В одномерном случае . Поэтому уравнение Шредингера (16.8) для осциллятора будет иметь вид:

(16.23)

Нахождение решения этого уравнения, т.е. -функции, является громоздкой математической задачей. Для нас главное не в этом. Оказывается, уравнение (16.23) имеет конечные, однозначные, непрерывные и гладкие решения (собственные функции) при собственных значениях , равных

(16.24)

На рис. 4 дана схема энергетических уровней гармонического осциллятора. Для наглядности уровни вписаны в кривую потенциальной энергии.

Рис. 4

Видно, что эти уровни – эквидистантны, т.е. отстоят друг от друга на одинаковом расстоянии . Минимальная энергия, ее называют нулевой энергией. Так как основной уровень, то квантовый осциллятор остановить нельзя. Например, из-за этого даже при температуре абсолютного нуля не прекращаются колебания атомов в кристаллической решетке.

Квантовая механика позволяет вычислить вероятности различных переходов квантовой системы из одного состояния в другое.

Подобные вычисления показывают, что для квантового осциллятора возможны переходы между соседними уровнями. При таких переходах квантовое число изменяется на единицу:

. (16.25)

Условия, накладываемые на изменения квантовых чисел при переходах системы из одного состояния в другое, называются правилами отбора. Таким образом, для гармонического осциллятора существует правило отбора, выражаемое формулой (16.25). Из этого условия вытекает, что энергия гармонического осциллятора может изменяться только порциями .

Понятие о квантовом осцилляторе играет важную роль в теории колебаний атомов в молекулах, а также в теории колебаний атомов в узлах кристаллической решетки твердого тела.