16.5 Потенциальные барьеры

Сначала рассмотрим простейший случай – прямоугольный потенциальный барьер, когда потенциальная энергия зависит только от одной координаты, причем припретерпевает скачок (рис. 5).

Рис. 5

У такого барьера

(16.26)

Пусть слева на границу барьера высотой налетает с полной энергиейчастица.

Если , то классическая частица беспрепятственно проходит над барьером. Если, то классическая частица отражается от барьера и движется в обратном направлении.

Если квантовая частица обладает энергией , то имеется отличная от нуля вероятность того, что она отразится от барьера. Приквантовая частица может проникнуть через потенциальный барьер в классически запрещенную область.

Оценим вероятность проникновения частицы под барьер.

При уравнение Шредингера (16.8) имеет вид:

или

Обозначив , получим уравнение вида:

Решениями этого уравнения являются две экспоненты: . Экспонентафизического смысла не имеет и должна быть отброшена, так как при

, а волновая функция должна быть конечной.

Следовательно, при частица с энергиейимеет волновую функцию, и плотность вероятности обнаружения частицы под барьером равна

, (16.27)

где .

Видно, что с увеличением глубины проникновения плотность вероятностиубывает экспоненциально. Это убывание происходит тем быстрее, чем больше разность. Обычно глубину проникновения определяют как расстояние, на которомубывает враз. При этоми

. (16.28)

Можно убедиться, что для электрона кг) при

глубина проникновения Å.

Так, на расстояние такого порядка удаляются от поверхности металла электроны проводимости, энергия которых примерно на 10^-3 эВ меньше глубины потенциальной ямы, удерживающей электроны внутри металла. Яма создается взаимодействием электрона с положительными ионами, расположенными в узлах кристаллической решетки металла.

Туннельный эффект. Способность квантовых частиц «просачиваться» через потенциальный барьер, абсолютно непрозрачный с классической точки зрения, приводит к туннельному эффекту. Он заключается в следующем. Если частица с энергией налетает на некоторый потенциальный барьер, то она с определенной вероятностью может пройти сквозь барьер как бы по туннелю, то есть пройти область, где.

Рис. 6

Соответствующий расчет показывает, что в случае потенциального барьера произвольной формы (рис. 6) вероятность прохождения частицы сквозь барьер, то есть коэффициент прозрачности барьера равен

, (16.29)

Это приближенное равенство, оно тем точнее, чем меньше по сравнению с.

Туннельный эффект – квантовое явление, не имеющее аналога в классической физике (где такого в принципе быть не может).

В классической физике проникновение частиц под барьер запрещено, поскольку в этой области кинетическая энергия оказывается отрицательной, чего быть не может. В квантовой механике нет деления полной энергии на кинетическую и потенциальную, так как соотношение неопределенностей не позволяет одновременно их точно задать.

Туннельный эффект объясняет многие физические явления, например, холодную эмиссию электронов из металлов, альфа-распад радиоактивных ядер, спонтанное деление ядер, ядерные реакции, когда по классическим представлениям кинетической энергии сталкивающихся ядер недостаточно для преодоления кулоновского потенциального барьера между ними.