Приложение

Применение методов усреднения и баланса комплексной мощности при расчете гиротронов

Уравнения движения электронов в гироприборе, направляемых по винтовым траекториям постоянным магнитным полем и взаимодействующих с высокочастотным полем, запишем в виде [19], смотри также [16, 17].

где vr – скорость электрона, с – скорость света, η0 – отно-

шение заряда электрона к его массе покоя, циклотронная частота

а β=v/c, B0 – индукция постоянного магнитного поля, направленного по оси Z.

Обозначим также

соответствующие векторы ВЧ-поля частоты ω, близкой к резонансной частоте рабочего вида колебаний резонатора.

Предполагается наличие приближенного циклотронного резонанса на n-й гармонике циклотронной частоты:

Численное решение нелинейных уравнений (1П) существенно затрудняется тем, что в них на сравнительно медленно изменяющиеся характеристики движения электронов (в основном, ответственные за энергообмен), наложены быстрые осцилляции, связанные с высшими гармониками ВЧ-поля.

Поэтому целесообразной оказалась замена "точных" уравнений (1П) приближенными "дрейфовыми" уравнениями относительно усредненных характеристик движения электронов и действующих на них сил. Согласно [29], [П1] "дрейфовые" уравнения с удовлетворительной точностью описывают движение электронов в среднем за период гирочастоты и энергообмен в гироприборах. Рассмотрим применение методов усреднения, одномодового и слабо релятивистского приближения (пригодного при рабочих напряжениях U0 < 50 кВ) для вывода "дрейфовых" уравнений для гиротрона с резонатором на основе круглого волновода, работающего на низшей продольной моде ТЕ01-типа с длиной L-области взаимодейст-

вия1 неменеедвухдлинволны λ = 2ωπс .

В слабо релятивистском приближении, исключающем из (1П) величины порядка β2 Е и при указанной структуре ВЧ-поля удаляются второе и третье слагаемые. Оставшееся

первое слагаемое – η0 Е не имеет продольной составляющей. Поэтому vz = ν|| , где ν|| – начальная продольная скорость vz.

С учетом этого получим из (1П) уравнение поперечного движения электрона в комплексной форме:

1L определяется длиной “полки” функции распределения по Z посто-

янного магнитного поля с индукцией В0, которая соответствует (с учетом (3П) условию резонанса (4П).

114 Приложение

где W = vx+i vy

Естественная (азимутальная) составляющая электри-

где E0 – максимальная амплитуда Eθ, I1(U) Бесселева функция первого порядка, 0,584 – максимальная величина I1(U), F(T) – функция распределения поля по длине облас-

ти взаимодействия L, нормированная на Max F(T) , T= Lz ,

kc = ωcc , где ωc – критическая частота ТЕ01-моды. Учиты-

вая сказанное выше о структуре поля при L>2λ, имеем kc k = ωc .

Решение уравнений движения (1П) в слабо релятивистском приближении ищем в форме, близкой к соответствующей движению электронов по винтовой линии в направляющем магнитном поле(вотсутствии высокочастотного).

x = X + ξ y = Y + η

где vt = ř ωn , x(t), y(t) – поперечные координаты электрона

относительно оси симметрии резонатора. X и Y – координаты ведущего центра, Z – проходящая через него ось траектории, ř – текущий радиус траектории относительно оси Z. vx = x& , vy = y& – составляющие поперечной скорости vt, τ

= t–t0 – время пролета электрона, ψ – корректирующий фазовый угол.

Условием совместимости последнего из соотношений (7П) с предшествующими является уравнение

Введем медленно изменяющуюся комплексную (поперечную) скорость S:

Обозначим R расстояние оси траектории Z от оси симметрии резонатора и ориентируем ось Y по радиусу резонатора, тогда в (6П)

"дрейфовое" уравнение для медленно изменяющейся комплексной поперечной скорости S:

рабочее напряжение

Величина Ń = Nn равна (с точностью до близкого к 1

множителя Ωω ) количеству витков невозмущенной траек-

тории в области взаимодействия.

В работах [П2], [П1] обоснована возможность пренебрежения влиянием дрейфа ведущего центра (смотри 8П) при анализе эффективности гиротрона в слаборелятивистском приближении в случаях, когда E зависит только от одной из поперечных координат. Поэтому при выводе “дрейфового” уравнения (12П) положения осей траекторий электронов считались фиксированными.

При оптимальном выборе положения оси траектории, соответствующем максимуму I1(kr), средняя по орбите величина I1(kr), даже при β =0,4 (что соответствует U0 40 кВ) может быть заменена с небольшой погрешностью максимальной. Поэтому при n = 1 в слаборелятивист-

ском приближении fn = I01(,58kR) 1. При n>1 кумулятивное взаимодействие электронов с ВЧ–полем обуславливается

неоднородностью поля резонатора на орбите электрона. Поэтому в (13П) необходимо с учетом (11П) разложить I1(kR) в ряд Тейлора по величине

При этом медленно изменяющееся слагаемое в (13П) порождается n-членом данного ряда. Учитывая только это слагаемое, получим

где I1(n−1) (kR) – n–1-производная I1 (означает комплексную

сопряженность).

Из (15П) следует, что оптимальное положение R оси траектории электрона для генерирования на n-й гармонике Ω соответствует максимуму (n–1)-й производной I1(kR). Начальное условие для уравнений (12П) имеет вид

где α = ωt0 – начальная фаза электрона.

Для повышения КПД гиротрона применяется фазовый метод, реализуемый оптимизацией функции распределения М(T) направляющего магнитостатического поля [40– 41]. В этом случае B0 в (2П), (3П) следует заменить на

Вz=B0M(T) и Ω в (5П) – на ΩМ(Т), где М(Т)–1<<1. Учет малой неоднородности Вz приводит к появлению в левой

части (12П) дополнительного слагаемого

+i2π Nn (1–M(T))S.

Решение системы "дрейфовых" уравнений позволяет найти "поперечный" электронный активный КПД гиротрона

Безразмерная амплитуда А и частота автоколебаний ω, входящая в параметр φне являются заданными. Для вы-

ражения А и ω через параметры резонатора и электронного пучка используются либо теория возбуждения полых систем криволинейными периодическими электронными потоками [27], [П2], либо метод баланса комплексной мощности, который приводит к следующим известным соотношениям [П3]

взаимодействия рабочей гармоники электронного тока с

объемной плотностью J ω , E – комплексная амплитуда возбуждаемого поля (используется одномодовое приближение), интегралы в (20П) – по объему резонатора, dυ – элемент объема, Ра – активная и Рr – реактивная состав-

~ η

ляющие P , ' – поперечный активный КПД, соответст-

вующий (17П), (18П), η'' – реактивный КПД, соответствующий Рr, I0 – ток пучка, W – запасенная в резонаторе энергия поля, ω0 – собственная частота рабочей моды, Qнагр

– нагруженная добротность резонатора. Из (18П), (20П) следует уравнение для реактивного электронного КПД

Интегрирование уравнений (12П) с учетом (15П), (18П), (20П) с начальными условиями (16П) позволяет вычислить

длина резонатора.

В последней формуле E0(Z) – электрическое поле при z, соответствующем максимуму Е. Интеграл в последней формуле берется между нулями E0(z). В общем случае Lэ>L, Lэ=L при F(T) = sinπT. Исключая А из трансцендентного уравнения (22П), получаем зависимость η' от μ, φ и величины Ξ ,

включающей параметры резонатора и электронного пучка, в том числе величины тока I0 и Qнагр. Уравнение (23П) опреде-

ляет отстройку генерируемой частоты ω от собственной частоты резонатора ω0. При задании параметра φ в первом при-

ближении полагают ω=ω0 и, если это требуется, ω уточняется по (23П) в следующих приближениях.

Характер зависимости от А функции Ψ(μ, φ, А) определяется параметрами μ и φ , а также видом функции распределения амплитуд поля F(T). Так, в области параметров μ и φ, где Ψ(μ, φ, 0) близка к минимуму по μ и φ , Ψ(μ, φ ,

А) является монотонно возрастающей функцией А для А, не превышающих величину, соответствующую максимуму η' (А). В указанном интервале значений А наименьшую величину имеет Ψ(μ, φ, 0).

Величина I0, соответствующая, согласно (22П) Ψ(μ, φ, 0) является стартовым током I0ст. Рассмотренная ситуа-

ция характеризует мягкий режим самовозбуждения, в котором А и η' плавно возрастают от нуля, когда I0 превышает I0ст. В области параметров μ и φ, соответствующей

жесткому самовозбуждению, автоколебания возникают скачком при сравнительно большом стартовом токе, причем оптимальная величина I0, соответствующая максимуму КПД, может быть меньше Iст. Отметим, что жесткое самовозбуждение возможно в "прозрачной" ЛБВ-О при наличии отражений на входе и выходе и ускоряющем напряжении, превышающем соответствующие области существования линейного усиления.

Таким образом, в режиме мягкого самовозбуждения стартовый ток и частота возникающих автоколебаний, определяются (28П) и (13П) при А→02. Величина

2 Не только частота ω, но и стартовый ток I0ст., зависят от ω0, поскольку ω входит в φ.

может быть рассчитана экстраполяцией результатов нелинейных расчетов η' и A→0, либо – из линейных уравнений (которые могут быть получены, в частности, линеаризацией (12П). Выше была рассмотрена возможность выбора в качестве основных параметров гиротрона μ, φ, Ξ (по-

сле исключения А). В случае мягкого самовозбуждения бо-

Из (22П) следует, что отношение рабочего тока к стартовому

Ψ(μ,φ, A)

= Ψ(μ,φ,0) (25П)

Переход к этой системе параметров осуществляется исключением А посредством (25П). Вместо "дрейфовых" уравнений движения относительно комплексных функций Sα(T) используют также системы уравнений относительно действительных функцийθαρα(T) и θα(T), связанных с Sα(T) преобразованием

n с начальными условиями (для гиротрона) ρα(0)= 1,

ρα(0) = α. При этом используется дискретный набор равноотстоящих начальных фаз αi = (2π/M)i (i = 1,2…M), где M ≥16. Интегрирование по α заменяется суммированием по i. Для численного интегрирования нелинейных "дрейфовых" урав- ненийиспользуютсяизвестныеконечно–разностныеметоды.

В заключение данного раздела отметим, что соответствующие оптимальным параметрам μ, φ, I/ICT 4 и оптимальным локализациям осей траекторий электронов максимальные КПД гиротронов по 1 и 2 гармоникам Ω оказались близкими для круглого резонатора с рассмотренной выше структурой

поля ТЕ01 и в поле стоячей волны Ex=E0sinKycosωt, Ey = Ez 0 двухзеркального резонатора. Согласно [40] и [П4] при F(T)=1

для этих структур при n = 1 η max 42% и 29% при n = 2. Более высокие, но также близкие для круглого и двухзеркального резонаторов максимальные КПД при n = 1, 2, 3 получены при гауссовом продольном распределении поля. Фактический КПД гиротронов, равный отношению выходной ВЧ– мощности к мощности электропитания I0Uk, определяется рассмотренным выше "поперечным" КПД взаимодействия η , напряжениями на резонаторе U0 и коллекторе Uk, параметром q иКПДрезонатораηr :

где ηr = 1– Qнагр./Q0, Qнагр – "нагруженная" с учетом излучения и Q0 – собственная (омическая) добротности резонатора, мно-

жению, I0 –ток катода. Токи оседания на анод пушки и резонаторвэтомсоотношениинеучтены.