книги / Линейная алгебра.-1
.pdf
|
|
|
§ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ |
|
|
|
31 |
|
суммы |
в (1.35), |
совсем не зави сят от элементов |
строк с ном ерам и |
i\ |
||||
и г2 и сохраняю т свое значение. Тем самы м свойство 2°) доказано. |
|
|||||||
3°) |
Л и н е й н о е |
с в о й с т в о |
о п р е д е л и т е л я . Будем говорить, |
|||||
что некоторая строка (щ , а 2, . .. , |
ап ) явл яется ли н ей н о й ком бинацией |
|||||||
строк |
(Ьь Ь2, . .. , |
bn), (ci, с2, ... , |
сп), ... , (di, d2, |
... , |
dn ) |
с к оэф ф и ц и |
||
ентами |
А, /г, ... , |
г/, |
если aj = A5j + /iCj + . . . |
+ |
i/dj |
д л я всех j |
= |
|
= 1, 2, |
... , п. |
|
|
|
|
|
|
|
Л инейное свойство определителя мож но сф орм улировать так: если
в определит еле п -го порядка А некот орая i -я строка (а ц , щ 2, ... , a in )
я в ля е т с я |
ли н ей н о й ком бинацией |
двух |
ст рок |
(Ъ\, Ь2, . .. , |
Ьп) |
и |
(ci, |
с2, ... , сп) |
с коэф ф ициент ам и А |
и ц , |
то Д |
= А Д 1 + |
д Д 2; |
где |
|
Д 1 — определит ель, у которого i -я строка равна (Ъ\, Ь2, ... , |
Ьп), |
а все |
ост альны е ст роки т е ж е, чт о и у А , а Д 2 — определит ель, у кот о рого i -я строка равна (щ , с2, ... , сп ), а все ост альны е ст роки т е ж е, чт о и у А .
|
Д л я доказательства разлож и м |
каж ды й из трех определителей Д , |
|||||
A i |
и Д 2 по г-й строке и зам етим , |
что у всех трех определителей все |
|||||
м иноры |
M j |
элементов г-й строки |
одинаковы . Но отсю да следует, что |
||||
ф орм ула |
Д |
= |
А Д 1 + |
/гД 2 сразу |
вы текает из равенств ац |
— Abj + |
|
+ |
Mci (j |
= |
1, 2, |
п ). |
|
|
|
|
К онечно, линейное |
свойство справедливо и д л я случая, |
когда i -я |
строка явл яется линейной комбинацией не двух, а нескольких строк. К ром е того, линейное свойство справедливо и д л я столбцов определи теля.
Д оказанны е три свойства являю тся основны м и свойствам и опреде лителя, вскры ваю щ им и его природу.
Следую щ ие п ять свойств являю тся ло ги ческ и м и следст виям и трех
основны х свойств.
С л е д с т в и е 1. О пределит ель с двум я одинаковы ми ст рокам и (и ли
ст олбцам и) равен нулю .
В самом деле, при перестановке двух одинаковы х строк, с одной стороны , определитель Д не изм енится, а с другой стороны , в силу
свойства 2°) изм енит зн ак на противополож ны й . Таким образом, Д =
= —Д , т. е. 2 Д |
= |
0 или Д |
= 0. |
|
|
С л е д с т в и е |
2. |
У м нож ение всех элем ент ов некот орой ст роки |
|||
(и ли некот орого |
ст олбца) |
определит еля на |
число А равносильно |
||
ум нож ен ию определит еля на эт о число А. |
|
|
|||
И ны ми словами, общ ий |
м н о ж и т ель всех |
элем ент ов |
некот орой |
||
ст роки (и ли некот орого ст олбца) определит еля м ож но |
вы нест и за |
зн ак эт ого определит еля. (Это свойство вы текает из свойства 3°) при
ц = 0.)
32 |
|
ГЛ. 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ |
|
||
С л е д с т в и е |
3. |
Е сли все элем ент ы |
некот орой |
ст роки |
(и ли неко |
торого ст олбца) |
определит еля равны |
н улю , то и |
сам определит ель |
||
равен нулю . (Это свойство вы текает из преды дущ его при Л = 0.) |
|||||
С л е д с т в и е |
4 . |
Е сли элем ент ы двух ст рок (и ли двух |
ст олбцов) |
определит еля пропорциональны , то определит ель равен нулю . (В са мом деле, в силу следствия 2, м нож итель пропорциональности м ож
но вы нести за зн ак определителя, после чего останется определитель
с двум я одинаковы м и строками, которы й равен нулю согласно след
ствию 1). |
|
|
|
С л е д с т в и е |
5. Е сли к элем ен т а м некот орой ст роки (и ли некот о |
||
рого |
ст олбца) |
определит еля прибавит ь соот вет ст вую щ ие элем ен |
|
т ы |
другой ст роки (другого ст олбца ), ум нож енны е на произвольны й |
||
м н о ж и т ель |
А, |
то вели чи н а определит еля не изм ени т ся . |
|
В самом |
деле, полученны й в результате указанного прибавления |
определитель мож но, в силу свойства 3°), разбить на сумму двух опре делителей, первы й из которы х совпадает с исходным, а второй равен нулю, в силу пропорциональности двух строк (или столбцов) и след ствия 4.
З а м е ч а н и е . |
С ледствие 5, как |
и |
линейное свойство, |
допускает |
||
более |
общ ую ф орм улировку, |
которую |
мы приведем д л я |
строк: ес |
||
л и к |
элем ен т а м |
некот орой |
ст роки |
определит еля прибавит ь соот |
вет ст вую щ ие элем ент ы ст рокщ являю щ ей ся ли н ей н о й ком бинацией н ескольких других ст рок эт ого определит еля (с каким и угодно коэф
ф и ц и ен т а м и ), |
то вели чи н а определит еля не изм ени т ся . |
|
С ледствие |
5 ш ироко прим еняется при |
конкретном вы числении |
определителей |
(соответствую щ ие прим еры |
будут приведены в следу |
ющем пункте). |
|
|
П реж де чем сф орм улировать еще одно свойство определителя, вве дем полезное понятие алгебраического дополнения данного элемента
определителя. |
|
|
А лгебраическим |
дополнением данного элем ент а ац |
определит еля |
п -го порядка (1.11) |
назовем чи сло , равное (—1)г + -?М* |
и обозначаемое |
сим волом A ij. |
|
|
Таким образом, алгебраическое дополнение данного элем ента мо
ж ет отли чаться от м инора этого элем ента только знаком . |
|
|
С помощ ью понятия алгебраического дополнения теорем ы 1.1 |
и |
|
1.2 мож но п ереф орм улировать |
так: сум м а произведений элем ент ов |
|
лю бой ст роки (любого ст олбца) |
определит еля на соот вет ст вую щ ие |
алгебраические дополнения эт ой ст роки (эт ого ст олбца) равна эт о
му определит елю .
Соответствую щ ие ф орм улы разлож ен и я определителя по г-й стро-
§ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ |
33 |
ке и по j -му столбцу мож но переписать так:
п
Д |
— |
|
a ijA ij |
(для лю бого i |
= |
1, 2, . . |
п ), |
(1.13') |
|
|
3 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
Д |
= |
|
a ^ A ij |
(для лю бого j |
= |
1, 2, . • ., |
п ). |
(1 .2Г ) |
|
|
2=1 |
|
|
|
|
|
|
Теперь |
мы |
можем сф орм улировать последнее свойство определи |
||||||
теля: |
|
|
|
|
|
|
|
|
4°) С в о й с т в о |
а л г е б р а и ч е с к и х |
д о п о л н е н и й |
с о с е д н и х |
|||||
с т р о к ( и л и |
с т о л б ц о в ) . С ум м а произведений |
элем ент ов какой- |
||||||
либо ст роки |
(и ли |
какого-либо ст олбца) |
|
определит еля |
на соот вет |
ст вую щ ие алгебраические дополнения элем ент ов лю бой другой ст ро ки (любого другого ст олбца) равна нулю .
Д оказательство проведем д л я строк (для столбцов оно проводится
аналогично). З ап и сы вая подробно ф орм улу (1.13') |
|
|
|
||||||||
|
а п |
а\2 |
.. |
а \п |
|
|
|
|
|
|
|
|
a2i |
а22 |
• • |
а2П |
— А ц о ц + |
Ai2 |
+ ..- • Т |
A-inaim |
(1.36) |
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
ani |
ап2 |
• - - |
апп |
|
|
|
|
|
|
|
зам етим , |
что поскольку алгебраические дополнения А ц , |
... , А{п |
|||||||||
не зависят от элементов г-й строки а п , |
а ^ , |
. . щ п , то равенство (1.36) |
|||||||||
явл яется тож деством относительно а ц , |
а ^ , |
. . а%п |
и сохраняется при |
||||||||
замене |
чисел а п , а ^ , . . оцп лю бы ми |
другим и |
п |
числами. Зам енив |
|||||||
а п , ai2 , ... , ain |
соответствую щ ими элементами |
лю бой |
(отличной от |
||||||||
г-й) к -й строки |
a ki, |
а^2 , ... , а^п , мы получим слева в |
(1.36) |
опреде |
|||||||
литель |
с двум я |
одинаковы м и строками, равны й |
нулю |
согласно след |
|||||||
ствию |
1. Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Ai\cik\ Т А п а ^ Т . .. Т A in a^n |
— |
О |
|
|
(для лю бы х несовпадаю щ их i и к).
5. П рим еры вы числения оп р едел и тел ей . П ри конкретном вы числении определителей ш ироко использую тся ф орм улы разлож ен и я по строке или столбцу и следствие 5, позволяю щ ее, не изм еняя ве личины определителя, п ри бавлять к лю бой его строке (или столбцу) произвольную линейную комбинацию других его строк (или столбцов). Особенно удобно использовать ф орм улу разлож ен и я по тем строкам (или столбцам), многие элем енты которы х равны нулю . В частности,
3 В .А . И л ьи н , Э .Г. П о зн я к
34 ГЛ. 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
если в данной строке отличен от нуля только один элемент, то р азло ж ение по этой строке содерж ит только одно слагаемое и сразу сводит вопрос о вы числении определителя порядка п к вопросу о вы числении определителя порядка (п — 1) (минора, стоящ его в указанном слагае мом).
Если в данной строке отличны от нуля несколько элементов,
отвечаю щ их пересечению этой строки с нескольким и столбцами, то, прим еняя к указанны м столбцам следствие 5, мы м ож ем, не изменив
определителя, обратить в нуль все элем енты данной строки, за исклю
чением одного. |
|
|
|
|
П ерейдем к конкретны м прим ерам . |
|
|||
П р и м е р |
1. П усть требуется вы числить следую щ ий определитель |
|||
четвертого порядка: |
|
|
|
|
|
4 |
99 |
83 |
1 |
|
0 |
8 |
16 |
0 |
|
60 |
17 |
134 |
20 |
|
15 |
43 |
106 |
5 |
В ы читая из |
первого столбца утроенны й |
последний столбец, будем |
||
им еть |
1 |
99 |
83 |
1 |
|
||||
|
0 |
8 |
16 |
0 |
|
0 |
17 |
134 |
20 |
|
0 |
43 |
106 |
5 |
Д алее естественно р азло ж и ть определитель по первому столбцу. В ре зультате получим
8 16 О
Д = 1 • 17 134 20
43 106 5
Теперь в определителе третьего порядка вы чтем из второго столбца удвоенны й первы й столбец. П ри этом будем им еть
8 |
0 |
0 |
Д = 17 |
100 |
20 |
43 |
20 |
5 |
Р азл агая, наконец, последний определитель третьего порядка по пер вой строке, окончательно получим
100 |
20 |
Д = 8- |
8(500 - 400) = 800. |
20 50
|
|
§ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ |
|
|
35 |
|||||
П р и м е р 2. В ы числим |
так |
назы ваем ы й т реугольны й |
определи |
|||||||
т е л ь , у |
которого все |
элементы , |
леж ащ ие |
вы ш е главной |
диагонали, |
|||||
равны нулю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оц |
|
0 |
. .. |
|
|
О |
О |
|
|
|
0*21 |
|
а22 |
• • • |
|
|
О |
О |
|
|
|
Д п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—1)1 |
—1)2 ••• |
^(п —l)(n —1) |
|
U |
|
||||
|
(2П1 |
|
(2п2 |
• • • |
|
|
^n(n —1) |
^пп |
|
|
Р азл агая |
определитель |
Д п по последнему |
столбцу, |
мы |
получим, что |
|||||
он равен произведению элемента апп |
на |
треугольны й |
определитель |
|||||||
(п — 1)-го порядка Д п _ 1 , равны й |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
All |
|
0 |
. .. |
|
О |
|
|
|
|
|
021 |
|
&22 |
• • |
• |
О |
|
|
|
|
|
—1)1 |
—1)2 |
••• |
^(п —l)(n—1) |
|
П оследний определитель мы снова разлож и м по его последнему столб цу, в результате чего убедим ся в том, что он равен произведению элемента a,(n - i ) ( n - i ) на треугольны й определитель (п — 2)-го поряд ка Д п _ 2 - П родолж ая аналогичны е рассуж дения, мы придем к следую
щ ему вы раж ению д л я исходного определителя: Д п = а ц а 2 2 • • • а пп. И так, т реугольны й определит ель равен произведению элем ен т о в,
ст оящ их на его главной диагонали.
З а м е ч а н и е 1. Если у определителя Д равны нулю все элементы ,
леж ащ ие ниж е главной диагонали, то этот определитель такж е равен произведению элементов, леж ащ их на его главной диагонали (убедить ся в этом мож но по схеме, излож енной выш е, но примененной не к по следним столбцам, а к последним строкам; м ож но и просто произвести транспонирование Д и свести этот случай к рассм отренному вы ш е).
А налогичны м способом устанавливается, что определитель, у кото
рого равны нулю все элементы , леж ащ ие вы ш е (или ниж е) побочной диагонали, равен произведению числа (—1)п(п - 1)/2 и всех элементов, леж ащ их на этой диагонали .
П р и м е р 3. Обобщ ением треугольного определителя второго по
ряд ка м ож ет служ ить определитель 2п-го порядка следую щ ей блочной
А |
О |
А , В и С — произвольны е квадратн ы е |
м атрицы |
, в которой |
|
В |
С |
|
м атрицы n -го порядка, а О — нулевая к в ад р атн ая м атри ц а n -го по рядка. У бедимся в том, что д л я указанного определителя справедлива
з:
36 |
ГЛ. 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ |
ф о р м у л а
АО
=\А\ |С 121) . (1.37)
ВС
Привлекая теорем у Л ап ласа, разлож и м определитель, стоящ ий в левой части (1.37), по первы м п ст рокам . Т ак как определитель, у ко
торого хотя бы один столбец состоит из нулей, равен нулю, то в ф о р муле разлож ен и я (1.31) будет отлично от нуля только одно слагаемое,
причем это слагаемое (в силу того, |
что ( _ 1)Т + ••• + n) + Т + ••• + n) = |
1) |
будет как раз равно \А\ \С\. |
|
|
З а м е ч а н и е 2. А налогичны м и |
рассуж дениям и легко убедиться |
в |
справедливости ф орм улы |
|
|
АВ
= (-1)"|В| |С| (1.38)
С О
(Л, В , С и О имею т тот ж е смысл, что и вы ш е).
Д л я этого следует р азло ж и ть определитель, стоящ ий в левой части
(1.38), по последним п |
строкам и учесть, что |
|
|
|
|
|
|||||||
^ |
^ |
[(n + 1) + |
• • • + |
2n] + [1 + |
... + п\ |
^ |
-|^ 2 n (2 n + |
1 )/2 |
|
^ |
|
|
|
П р и м е р |
4. В ы числим теперь так назы ваем ы й определит ель В а н |
||||||||||||
дермонда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
XI |
х 2 |
Хп |
|
|
|
|
|
Д |
(жь |
х 2, • • |
Хп ) = |
x l |
х \ |
х 2 |
|
|
|
(1.39) |
|||
|
|
|
|
|
|
—1 |
х 2 |
—1 |
п — 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|
х п |
|
|
|
|
|
В ы читая первы й столбец из всех последую щ их, будем иметь |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
XI |
(х 2 |
- |
Xl) |
|
{х„ |
- |
X l) |
|
Д (жь х 2, |
■■ |
Хп ) = |
х \ |
(х 2 |
- |
4 ) |
|
( x l - |
x i ) |
||||
|
|
|
|
|
гГп ~ 1 |
( 4 ” 1 |
- х ? - 1) . . . « |
- |
1 |
_ |
Д - 1) |
||
|
|
|
|
|
Х1 |
|
|
|
Д алее естественно произвести разлож ение по первой строке, в ре-
2-1) Напомним, что символами \А\ , \В\ , \С\ , ... мы договорились обозначать определители матриц А, В, С, . . . соответственно.
§ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ |
37 |
зультате чего мы получим
д (жх,ж2, |
,Х п) |
= |
|
|
|
|
|
(ж2 |
- |
Жх) |
(ж3 |
- |
Жх) |
= |
(ж| |
- |
х \) |
(4 |
- 4 ) |
|
|
( ж Г 1 |
- х ? - 1) |
( ж Г 1 - |
^ - 1) .. |
|
(х п |
- |
Жх) |
|
|
(х п2 |
- х |
! ) |
|
7Г |
1 |
1 |
н |
1 |
В ы читая теперь из каж дой строки преды дущ ую |
строку, умнож ен |
||||||
ную на Х\ , получим |
|
|
|
|
|
|
|
д (жх, Х2, •у Хп) — |
|
|
|
|
|
|
|
(ж2 |
- |
Жх) |
(ж3 - |
Жх) |
(ж„ |
- |
Жх) |
ж2 (ж2 |
- |
Жх) |
Х3(х 3 - |
Жх) |
Х „ (хп |
- |
Жх) |
Х2 ~ 2(х 2 |
- x l) |
х 3 ~ 2(х 3 |
- Жх) . • • |
ж” “ 2 (ж„ |
- Жх) |
Д алее мы можем вы нести за зн ак определителя общ ий м нож итель пер вого столбца, равны й (х 2 — ад), общ ий м нож итель второго столбца, равны й (жз — x i), ... , общ ий м нож итель (п — 1 ) - г о столбца, равны й
(х п — х \) . В результате получим
Д |
(ж1; ж2, . . |
х п ) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
(ж2 - |
Х г ) ( х 3 |
- |
жх) . . . (х п |
- |
жх) • Д (ж2, ж3, . . |
ж„). |
||||
|
Со стоящ им |
в |
правой части |
определителем |
Д |
(ж2, ж3, . . х п ) |
по |
|||||||
ступим точно так ж е, как и с Д |
(жх, ж2, . . х п ). В результате получим, |
|||||||||||||
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д (ж2, ж3, |
... , |
х п ) |
= (ж3 |
- |
|
ж2) . . . (ж„ |
- |
ж2) • Д (ж3, . . |
х п ). |
|
|||
|
П родолж ая |
аналогичны е |
рассуж ден и я |
далее, |
окончательно полу |
|||||||||
чим, что исходный определитель (1.39) равен |
|
|
|
|
||||||||||
Д |
(жх, ж2, . . |
х п ) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
(ж2 |
- Жх)(ж3 - |
Жх). . . (ж„ - |
Жх)(ж3 |
- ж2) . . . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
• • • (ж„ |
- |
ж2) . . . (ж„ |
- ж „ _ х ). |
|||
|
6 . О п р е д е л и т е л ь |
с у м м ы |
и п р о и з в е д е н и я |
м а т р и ц . |
Н епосред |
ственно из линейного свойства определителя вы текает, что определи т ель сум м ы двух квадрат ны х м а т р и ц одного и того ж е порядка п
38 |
ГЛ. 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ |
А = |
\\ciij\\ и В = \\bij\\ равен сум м е всех р а зли ч н ы х определит елей |
порядка п, которые м о гут п о лу ч и т ь с я , если част ь ст рок (и ли ст олб
цов) брать |
совпадаю щ им и |
с соот вет ст вую щ им и ст рокам и |
(и ли |
ст олбцам и) |
м ат рицы А , а |
ост альную част ь — совпадаю щ им и |
с со |
о т вет ст вую щ им и ст рокам и (и ли ст олбцам и) В .
Д окаж ем теперь, что определит ель м ат рицы С , равной произведе
нию квадрат ной м ат рицы А па квадрат ную |
м а т р и ц у |
В , равен про |
|||
изведению |
определит елей м а т р и ц А |
и В . |
|
|
|
П усть |
порядок всех трех м атриц |
А , В и |
С |
равен п, |
и пусть О — |
нулевая к в ад р атн ая м атри ц а порядка n, а (— 1)Е |
следую щ ая м атрица: |
|
1 I—1 |
тI—1 |
0 |
' б II |
|
|
0 |
0 ..
1 I—1
0 ..
0
0
1 I—1
В |
силу |
прим ера |
2 из |
преды дущ его |
пункта |
определитель |
м атрицы |
|||
(—1)Е равен числу (— 1)п . |
|
|
|
|
|
|||||
|
Рассм отрим |
следую щ ие |
две |
блочны е |
квад ратн ы е |
м атрицы |
||||
порядка 2 п: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
А |
О |
|
И |
А |
С |
|
|
|
|
|
( - 1 )Е В |
|
( - 1 ) Е |
О |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
В силу ф орм ул (1.37) и (1.38) из преды дущ его пункта, определите |
|||||||||
ли этих м атриц равны |
|
|
|
|
|
|
||||
|
А |
О |
\A \- \B \, |
А |
|
С |
( - 1 Г | ( - 1 ) Д |С 1 = |С1 . |
|||
( |
- 1 )Е |
В |
( - 1 |
)Е |
О |
|||||
|
|
|
|
Таким образом ,достаточно доказать равенство определителей
А |
О |
А |
С |
( - 1 )Е В |
И |
|
|
( ~ 1 ) Е О |
§ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ |
39 |
П одробнее эти д в а определителя мож но записать так:
а ц |
^ 1 2 |
|
« 1 п |
0 |
0 |
. . . |
0 |
« 2 1 |
^ 2 2 . . . |
« 2 п |
0 |
0 |
. . . |
0 |
|
«п1 |
2 |
• • • |
«пп |
0 |
0 |
. . . |
0 |
&п |
|
|
|
|
|||
- 1 |
0 |
. . . |
0 |
Ьц |
bl2 |
|
Ьщ |
0 |
- 1 |
. . . |
0 |
^ 2 1 |
^ 2 2 |
••• |
ь2п |
0 |
0 |
|
а ц |
« 1 2 |
|
^ 2 1 |
« 2 |
2 |
. . . |
- |
1 |
Ьп1 |
ЬП2 ••• |
Ьпп |
|
« 1 |
п |
Си |
С1 2 |
СIn |
. . . |
«2 п |
С2 1 |
2 2 |
2 |
|
|
|
|
С |
С п |
0"п1 |
«п2 |
• • • |
- 1 |
0 |
. . . |
0 |
- 1 |
. . . |
|
Cnl |
Сп2 |
••• |
Спп |
0 |
0 |
0 |
. . . |
0 |
0 |
0 |
0 |
. . . |
0 |
0 |
0 |
. . . |
- 1 |
0 |
0 |
. . . |
0 |
Д л я того чтобы |
убедиться |
в |
равенстве |
этих |
двух определителей, |
достаточно зам етить, что первы е п столбцов у этих определителей сов падаю т, а каж ды й столбец второго определителя (1.40) с номером п + к
(где к = 1 , 2 , . .. , п), в силу ф орм улы |
с^- = |
= 1 ctikbkj, получается |
в результате прибавления к (п + к)-ш у |
столбцу первого определителя |
(1.40) линейной комбинации первы х п его столбцов с коэф ф ициентам и, соответственно равны м и bki, bk2 , . . bkn • Таким образом, определите ли (1.40) равны в силу следствия 5 из и. 3.
В заклю чение зам етим , что непосредственно из ф орм улы (1.37) вы
|
|
А |
О |
|
текает, что определитель прям ой суммы | А 0 В \ |
двух м ат |
|||
|
|
О |
В |
|
риц Аж В равен произведению определителей этих м атриц. |
|
|||
7. П о н я т и е о б р а т н о й |
м а т р и ц ы . П усть А — кв ад р атн ая м атри ц а |
|||
n -го порядка, |
а Е — единичная к в ад р атн ая м атри ц а того ж е |
порядка |
||
(см. и. 2 § 1 ). |
|
|
|
|
М атрица В |
назы вается |
правой обратной по отнош ению |
к м атри |
|
це А , если А В |
= Е . |
|
|
|
М атрица С назы вается левой обратной по отнош ению к м атрице А ,
если С А |
= |
Е . |
|
|
|
|
Т ак |
как |
обе |
м атрицы |
А |
и Е |
являю тся квадратн ы м и м атрицам и |
порядка |
п, |
то |
м атрицы |
В |
ж С |
(при условии, что они сущ ествую т) |
такж е являю тся квадратн ы м и м атрицам и порядка п. |
||||||
У бедимся в том, что |
если обе м ат рицы В и С сущ ест вую т , то |
40 |
ГЛ. 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ |
||
они |
совпадают м еж ду собой. В самом |
деле, |
на основании равенств |
(1.7) |
(см. п. 2 §1), соотнош ений А В = |
Е , С А |
— Е и сочетательного |
свойства произведения м атриц получим
С = С Е = С (А В ) = (С А )В = Е В = В .
Естественно, возникает вопрос об условиях на м атрицу А , при вы
полнении которы х д л я |
этой |
м атрицы сущ ествую т |
как |
левая, так и |
п р ав ая обратны е м атрицы 22) . |
|
|
||
Т е о р е м а 1 .4 . Д л я |
т ого, |
чтобы для м ат рицы |
А |
сущ ест вовали |
лева я и правая обратные м а т р и ц ы , необходимо и дост ат очно, чтобы
определит ель det А м ат рицы А |
был о т личен от нуля . |
|
|
|
|||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
1) |
Н е о б х о д и м о с т ь . Если |
д л я |
м атрицы |
А |
||||||||
сущ ествует хотя бы одна из обратны х м атриц, наприм ер |
5 , то из со |
||||||||||||
отнош ения А • В |
= Е мы получим, что det А • det В |
= det Е — 1 23) , |
|||||||||||
откуда вы текает, что det А ф 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 ) Д о с т а т о ч н о с т ь . |
П усть |
определитель |
Д |
= det А |
отличен |
от |
|||||||
нуля. О бозначим, |
как и |
выш е, |
символом |
А ц |
алгебраические допол |
||||||||
нения элементов |
ац м атрицы А |
и |
составим м атрицу |
5 , |
в г-й строке |
||||||||
которой стоят алгебраические дополнения г-го столбца |
м атрицы |
А , |
|||||||||||
поделенны е на величину определителя Д : |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
А |
п |
А - 2 1 |
|
A - n i |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Д |
" д |
" |
" " |
" д |
" |
|
|
|
|
|
|
|
А |
- 1 2 |
А - 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
д ~ |
" д |
" |
■ ''■ |
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
А - 1 п |
А г п |
|
ААЗ -П П |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Д |
|
" " |
Д |
|
|
|
|
|
|
У бедимся в том, что |
эта м атри ц а |
В |
явл яется |
как |
правой, так |
и |
|||||||
левой обратной по отнош ению к м атрице А . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Д остаточно доказать, |
что оба |
произведения А В |
и |
В А являю тся |
единичной м атрицей. Д л я этого достаточно зам етить, что у обоих про
изведений |
лю бой эле м е н т , не леж а щ и й |
на главной диагонали, равен |
н улю , ибо |
после вы носа м нож ителя 1 / Д |
этот элемент равен сумме |
произведений элементов одной строки (или одного столбца) на соот ветствую щ ие алгебраические дополнения другой строки (или другого столбца). Ч то ж е касается элементов, леж ащ их на главной диагонали, то у обоих произведений А В и В А все такие элем енты равны едини це в силу того, что сум м а произведений элементов и соответствую щ их
22)и , стало быть, эти матрицы совпадают.
23) det Е = 1 в силу примера 2 из и. 5 этого параграф а.