книги / Линейная алгебра.-1
.pdf§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
151 |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Д ействительно, если А — сам осопряж енны й
оператор и — собственны е значения этого оператора, то, согласно
теореме 5.8, Ai явл яется корнем характеристического уравнения, т. е. p (X i) = 0 . О тсю да и из соотнош ения (5.76) следует, что р (А ) = 0 .
Теорема доказана.
6.П олож ительны е операторы . К ор н и m -й степени из оп е ратора. С ам осопряж енны й оператор А назы вается п о ло ж и т ель н ы м ,
если д л я лю бого х из V справедливо соотнош ение
(А х , х) ^ |
0. |
(5.77) |
Если оператор А — полож ительны й и из условия (А х, х) |
= 0 сле |
|
дует, что х = 0 , то А назы вается |
полож ит ельно определенны м опе |
|
ратором. |
|
|
П олож ительны е и полож ительно определенны е операторы соответ
ственно обозначаю тся символами А ^ 0 и А > 0. |
|
О тм етим следую щ ее простое ут верж дение. |
|
К аж дое собст венное зн ачение полож ит ельного (полож ит ельно |
|
определенного) |
оператора неот рицат ельно (п о ло ж и т ельн о ). |
Это утверж |
дение следует из просты х рассуж дений . |
П усть А — собственное значение оператора А . Тогда, согласно лем
ме п. 4 этого п ар агр аф а, мож но указать такой элем ент х, |
||х|| |
= 1, что |
|||
А = (А х, х). |
|
|
|
|
|
О тсю да и из соотнош ения |
(5.77) получаем, что А ^ 0 |
д л я |
полож и |
||
тельны х операторов и А > 0 |
д л я полож ительно определенны х опера |
||||
торов. У тверж дение доказано. |
|
|
|
||
Введем понятие корня т -й |
ст епени (т — натуральное число) из |
||||
оператора. |
|
|
|
|
|
О п р едел ен и е. К орнем т -й |
ст епени из оператора А |
н азы вается |
|||
оператор В такой, что В т = |
А. |
|
|
||
К орень т - й |
степени из оператора А обозначается символом А 1/ т . |
||||
Е стественно |
вы делить какой-либо класс операторов, д л я |
которы х |
им ела бы смысл операция нахож дения корня m -й степени. О пределен ный ответ на этот вопрос дается следую щ ей теоремой.
Т еорем а |
5.24. П уст ь А — п олож ит ельны й сам осопряж енны й |
операт ор, А ^ |
0. Тогда для любого нат урального т сущ ест вует по |
ло ж и т ельн ы й сам осопряж енны й оператор A 1//m, А 1//ш ^ 0. |
Д о к а з а т е л ь с т в о . О бозначим через А& собственны е значения оператора А, и пусть {е Д — ортонорм ированны й базис из собственны х векторов. О бозначим далее через Р/, проектор на одномерное подпро странство, порож денное вектором е^.
Согласно преды дущ ем у пункту имеет место спектральное р азло
152 |
ГЛ. 5. |
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
|
ж ение (5.74) самосопряж енного оператора А : |
|
||
|
|
п |
|
|
А |
= Y , ХкРк- |
(5.74) |
к= 1
Так как Хк ^ О (см. только что доказанное утверж дение), то м ож но
ввести следую щ ий сам осопряж енны й оператор В :
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
в |
К /т Р * |
|
(5-78) |
|
|
|
к = 1 |
|
|
|
|
Согласно (5.70) справедливо соотнош ение |
|
|
||||
|
|
( Р кх, |
х) ^ |
0, |
|
|
из которого следует полож ительность |
операторов |
Р к и |
п олож итель |
|||
ность оператора В |
(см. (5.78)). |
|
|
|
|
|
И з свойств 1 |
°) и 2 °) проекторов Р к (см. п. 5 этого п ар агр аф а) вы |
|||||
текает, что B m |
= |
^ 2 к = 1 А/.Р/,. С равн и вая это вы раж ение д л я В т с |
||||
вы раж ением (5.74) д л я А , получим В т |
= А . Вы ш е бы ла установлена |
|||||
полож ительность оператора В . Т еорема доказана. |
|
|
||||
З а м е ч а н и е 1 |
. О тм етим без доказательства, что сущ ествует един |
|||||
ственны й полож ительны й оператор А 1//т. |
|
|
||||
З а м е ч а н и е |
2 . В ортонорм ированном базисе |
{ е к } |
собственны х |
векторов оператора А м атри ц а оператора А 1//т имеет следую щ ий вид:
( \ \ /т |
о |
. . . |
о |
\ |
о |
\ \ /т |
. . . |
о |
|
о |
о |
. . . |
\ ] i m |
J |
§ 6. П р и веден и е квадратичной ф ор м ы к сум м е квадратов
В этом п ар агр аф е |
мы изучим вопрос о вы боре такого базиса, в |
котором квад р ати ч н ая |
ф о р м а (и нвариантная к вад р ати ч н ая ф ун кц и я |
координат вектора; точно это понятие определяется ниж е) имеет наи более простой вид.
К вадрати чн ы е ф орм ы подробно изучаю тся в гл. 7. Там будут, в частности, рассм отрены различны е способы приведения таких ф орм к сумме квадратов.
6. ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ |
153 |
||
Введем понятие так назы ваем ы х эр м и т о вы х |
ф орм . |
|
|
О п р е д е л е н и е . П олуторалинейная ф о р м а В |
(х, у) |
назы вается эр |
|
м и т о во й , если д л я лю бы х х н у |
справедливо соотнош ение |
||
В (х, у ) |
= В (х, у ). |
|
(5.79) |
Согласно следствию из теорем ы 5.11 лю бая полуторалинейная ф о р
м а В (х, у) (в том числе и эрм итова) м ож ет бы ть единственны м обра зом представлена в виде
В (х, |
у) = (А х , у ), |
(5.80) |
где А — линейны й оператор. |
|
|
Д окаж ем следую щ ие д в а |
утверж дения, в которы х |
вы ясняю тся |
условия, при которы х полуторалинейная ф о р м а явл яется эрмитовой.
Т е о р е м а 5 .2 5 . Д л я того чтобы полут оралинейная форма В (х, |
у) |
||||||||||||
я в ля ла с ь эрм ит овой , |
необходимо и дост ат очно, чтобы оператор А в |
||||||||||||
предст авлении (5.80) |
эт ой формы был сам осопряж енны м (А = |
А *). |
|||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Д ействительно, если |
А — сам осопряж енны й |
||||||||||||
оператор, то, используя свойства |
скалярного произведения, |
получим |
|||||||||||
Б ( х , у) = |
(А х , у) |
= |
(х, |
А у ) |
= (А у , |
х) = В (у, х). |
|
|
|
||||
Таким |
образом, |
выполнено |
соотнош ение |
(5.79), |
т. |
е. |
ф о р |
||||||
м а В (х, у) = (А х , |
у) |
явл яется эрм итовой. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Если ж е ф о р м а В (х, у) |
= |
(А х , у) эрм итова, то, опять обращ аясь |
|||||||||||
к свойствам скалярного произведения, получим равенства |
|
|
|
||||||||||
(А х , у) = |
Б ( х , у) |
= |
В (у, х) |
= (А у , |
х) = |
(х, |
А у ). |
|
|
|
|||
Таким |
образом, |
(А х , у) |
= |
(х, А у ), |
т. е. оператор |
А |
явл яется |
са |
|||||
м осопряж енны м . Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Т е о р е м а 5 .2 6 . Д л я того чтобы полут оралинейная форма В (х, |
у) |
||||||||||||
была эрм ит овой , необходимо и дост ат очно, чтобы ф ункция В (х, |
х) |
была вещ ест венной.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Ф орм а В (х, у) будет эрм итовой в том и толь
ко в том случае, когда линейны й оператор А в представлении (5.80)
этой ф орм ы явл яется сам осопряж енны м (см. теорем у 5.25). Согласно
ж е теореме 5.18, д л я того чтобы оператор А бы л сам осопряж енны м , необходимо и достаточно, чтобы д л я лю бого х скалярное произведе
ние (А х , х) бы ло вещ ественны м . Т еорема доказана. Введем теперь понятие квадрат ичной формы.
П усть В (х, у) — эрм итова ф орм а.
154 |
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
К вадрат ичной |
ф ормой, соот вет ст вую щ ей форме В (х, у ), назы |
вает ся ф ункция В (х, х).
Д окаж ем следую щ ую т еорем у о приведении квадрат ичной формы
к сум м е квадратов. |
|
|
|
Т е о р е м а 5 .2 7 . |
П уст ь В (х, |
у ) — эрм ит ова |
ф орма, определенная |
на всевозм ож ны х |
вект орах х |
и у п-м ерноео |
евклидова прост ран |
ст ва V . Тогда в эт ом прост ранст ве сущ ест вует т акой орт онорм и- |
рованны й базис {е/Д и м ож но указат ь т акие вещ ест венны е числа А/.,
чт о для любого х, принадлеж ащ его V , |
квадрат ичная форма В (х, |
х) |
|
м ож ет быть предст авлена в виде следую щ ей |
сум м ы квадрат ов |
ко |
|
ординат £k вект ора х в базисе {е/Д: |
|
|
|
п |
|
|
|
£ ( х , х) = ^ A |
ft|£fc|2. |
(5.81) |
|
k = 1 |
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Т ак как ф о р м а В (х, у) |
эрм итова, то, соглас |
но теореме 5.25, сущ ествует сам осопряж енны й оператор А такой, что
|
£ ( х , У) |
= |
(А х , |
у ). |
|
(5.82) |
О братим ся теперь |
к теореме |
5.21. По |
этой теореме |
д л я операто |
||
р а А мож но указать |
ортонорм ированны й базис |
{ е Д из собственны х |
||||
векторов этого оператора. Если |
А/, — собственны е значения А , а £*.— |
|||||
координаты вектора х в базисе {е/Д, так что |
|
|
||||
|
|
п |
|
|
|
|
|
х = |
£ |
Д е А, |
|
|
(5.83) |
|
|
к = 1 |
|
|
|
|
то, используя ф орм улу (5.12) и соотнош ение А е/, |
= А^е/, 19) , получим |
|||||
следую щ ее вы раж ение д л я А х : |
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
А * = |
£ |
Ajfe&e*;, |
|
(5.84) |
|
|
|
к = 1 |
|
|
|
|
И з (5.83), (5.84) и ортонорм ированности базиса {е/Д |
получим сле |
|||||
дую щ ее вы раж ение д л я (А х , х): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
(А х , х) = £ |
Аа|Д |2. |
|
|
к= 1
19)Это соотношение следует из того, что А& и е*. —соответственно собственные значения и собственные векторы оператора А.
§ 7. УНИТАРНЫЕ И НОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
155 |
|
И з этого вы раж ен и я и из соотнош ения |
(5.82) получим |
(5.81). Тео |
рем а доказана. |
|
|
Д окаж ем теперь важ ную теорему об |
одновременном |
приведении |
двух к вад рати чн ы х ф орм к сумме квадратов. |
|
|
Т еорем а 5 .28. П уст ь А (х, у) и В (х, у) — эрм ит овы формы , |
определенны е на всевозм ож ны х вект орах х н у п -м ерного линейного
прост ранст ва V . Д о п ус т и м далее, |
чт о для всех |
нен улевы х элем ен |
|||||
т ов х из V им еет м ест о неравенст во В (х, |
х) > 0. |
Тогда в прост ран |
|||||
ст ве V |
м ож но указат ь базис {е/Д т акой , |
чт о квадрат ичны е формы |
|||||
А (х, х) |
и В (х, х) м о гут |
быть предст авлены в следую щ ем виде: |
|||||
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
А |
х >х ) = |
Х Т 'А * ! 2’ |
А 85) |
||
|
|
|
|
k = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
В ( х , х ) = |
£ |
| 6 | 2, |
(5-86) |
||
|
|
|
|
к = 1 |
|
|
|
где |
Xk — вещ ест венны е чи сла , а |
— координат ы |
вект ора х в баз?/- |
||||
се |
{ efe}- |
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Т ак как свойства скалярного произведения и |
||||||
свойства эрм итовой ф орм ы В (х, |
у) |
при дополнительном требовании |
о том, что В (х, х) > 0 при х / |
0, ф орм улирую тся одинаково, мы мо |
|
ж ем ввести в линейном пространстве V скалярное произведение (х, у) |
||
векторов, полагая |
|
|
(х >У) |
= В { х , у). |
(5.87) |
Таким образом, V представляет собой евклидово пространство со
скалярны м произведением (5.87).
По теореме 5.27 мож но указать в V такой ортонорм ированны й ба зис {е/Д и такие вещ ественны е числа А/., что в этом базисе к вад р ати ч
н ая ф о р м а А (х, х) будет представлена в виде (5.85). |
|
|
С другой стороны , |
в лю бом ортонорм ированием |
базисе скаляр |
ное произведение (х, х), |
равное, согласно (5.87), В (х, |
х), равно сумме |
к вад ратов модулей координат вектора х. Таким образом, представле ние В (х, х) в виде (5.86) такж е обосновано. Т еорема доказана.
§ 7. У нитарны е и норм альны е операторы
В этом п ар агр аф е рассм атриваю тся свойства важ ного к ласса опе раторов, действую щ их в евклидовом пространстве V .
1 . Л инейны й оператор U из L (У, V ) н азы вается
д л я лю бы х элементов х и у из V справедливо соот
156 |
|
|
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
|
|
|
||||||||
нош ение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(U x , U y ) = |
(х, у ). |
|
|
|
(5.88) |
|||||
|
В дальнейш ем |
соотнош ение |
(5.88) |
будем |
н азы вать условием у н и |
|||||||||
т арност и оператора. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
З а м е ч а н и е |
1 . И з |
условия |
(5.88) |
унитарности оператора |
следу |
||||||||
ет, |
что д л я лю бого унитарного |
оператора U |
справедливо равенство |
|||||||||||
l|U x|| = |
||х ||. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О тм етим следую щ ее ут верж дение. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Е сли |
А — собст венное |
зн ачение |
унит арного |
оператора |
U , |
то |
|||||||
|А| |
= I- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д ействительно, если А — собственное значение U , то сущ ествует та |
|||||||||||||
кой |
элемент е, что ||е|| |
= |
1 |
и |
U e |
= |
Ае. О тсю да и из |
зам ечан и я 1 |
||||||
следую т |
соотнош ения |А| |
= |
||Ае|| = |
||U e || = |
||е|| |
= 1 . У тверж дение |
||||||||
доказано. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Д окаж ем следую щ ую теорему. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Т е о р е м а 5 .2 9 . Д л я |
того |
чтобы ли н ей н ы й оператор U , дейст ву |
|||||||||||
ю щ ий в евклидовом прост ранст ве V , |
был ун и т а р н ы м , |
необходимо и |
||||||||||||
дост ат очно, чтобы было вы полнено соот нош ение |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
U* = U - 1 . |
|
|
|
(5.89) |
||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
1) Н е о б х о д и м о с т ь . |
П усть |
оператор |
U |
унитарны й, т. е. выполнено условие (5.88). О бращ аясь к определению сопряж енного оператора U *, м ож но переписать это условие в следую
щ ей ф орм е 20) : |
|
|
|
|
(U * U x , |
у) = |
(х, |
у ), |
(5.90) |
или, иначе, д л я лю бы х х н у вы полняется равенство |
|
|||
( ( I T U - |
1)х, |
у) |
= 0. |
|
Ф иксируя в этом равенстве лю бой элем ент х и считая у произволь ным, получим, что линейны й оператор U * U — I действует по правилу
(U * U - |
1)х = |
0. |
С ледовательно, U * U = I. С оверш енно аналогично м ож но убедить |
||
ся, что |
U U * = |
I. |
Таким образом , U и U* — взаим но обратны е операторы , т. е. соот |
||
нош ение (5.89) |
выполнено. Н еобходимость условия теорем ы доказана. |
20)Напомним, что оператор U* называется сопряженным к оператору U , если
для любых z и у выполняется соотношение (z, U y ) = (U *z, у). Полагая z = U x, получим (5.90).
§ 7. УНИТАРНЫЕ И НОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
157 |
2)Д о с т а т о ч н о с т ь . П усть выполнено условие (5.89). Тогда, оче
видно, U U * = U * U = I. О бращ аясь к определению сопряж енного
оператора и используя только что написанны е соотнош ения, получим
при лю бы х х н у |
равенства |
(U x , |
U y ) = (х, U * U y ) = (х, 1у) = (х, у). |
Таким образом, условие |
(5.88) унитарности оператора выполнено. |
|
С ледовательно, оператор U |
унитарны й. Т еорема доказана. |
|
З а м е ч а н и е 2 . В процессе доказательства теорем ы |
установлено, |
|
что условие (5.88) унитарности оператора U и условие |
|
|
U * U = U U * = I |
(5.91) |
эквивалентны . Таким образом , в основу определения унитарного опе р ато р а мож но полож ить условие (5.91).
Это условие такж е мож но н азы вать условием унит арност и опера
тора U . |
|
|
|
Введем понятие норм ального оператора. |
|
||
О п р е д е л е н и е |
2 . Л инейны й оператор А назы вается н о рм альны м , |
||
если справедливо соотнош ение |
|
|
|
|
А* А |
= А А * . |
(5.92) |
О бращ аясь к |
условию (5.91) |
унитарности |
оператора и к усло |
вию (5.92), мы видим, что лю бой унит арны й оператор я в ля е т с я нор м а льн ы м оператором.
Н ам понадобится следую щ ее вспомогательное утверж дение. |
|
||||
Л е м м а . П уст ь А |
— норм альны й оператор. Тогда |
оператор |
А и |
||
оператор А* им ею т |
общ ий собст венны й |
элем ен т |
е |
т акой , |
чт о |
||е|| = 1 и справедливы соот нош ения А е = |
Ае и А *е |
= |
Ае. |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . П усть А — собственное значение оператора А , и пусть R \ = ker (А — AI). И ны ми словами, R \ — м нож ество всех эле
ментов х таких, что А х |
— Ах |
= |
0 . |
|
|
У бедимся теперь, что если х п ри н ад леж и т R \ , то и А *х принадле |
|||||
ж и т R \ . Д ействительно, |
если |
А х |
= |
Ах (т. е. х |
Е R \ ), то, поскольку |
А — норм альны й оператор, |
|
|
|
|
|
А (А * х ) = |
А * (А х ) |
= |
А*(Ах) = |
А (А *х). |
И ны ми словами, вектор А *х явл яется собственны м вектором опе р ато р а А и отвечает собственному значению А, т. е. п ри н ад леж и т R \ .
158 |
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
Р ассм атри вая далее оператор А* как оператор, действую щ ий из R \ |
|
в R \ , и используя |
вы вод следствия из теорем ы 5.8 о том, что к аж |
ды й линейны й оператор имеет собственное значение, мы можем утвер
ж д ат ь, что в R \ сущ ествует элемент е |
такой, что |
||е|| = |
1 и справед |
||||
ливы соотнош ения А*е = /ie и А е = |
Ае. |
|
|
|
|||
И спользуя эти соотнош ения и условие ||е|| |
= |
1 , найдем (А е, е) = |
|||||
= (Ае, е) = |
А||е||2 |
= |
Л, (е, А*е) = (е, це) = |
Д||е||2 = |
Д. |
||
Т ак как (А е, е) |
= |
(е, А*е), то, очевидно, А = |
Д. Л ем м а доказана. |
||||
Д окаж ем теперь следую щ ую теорему. |
|
|
|
||||
Т еорем а |
5 .30. |
П уст ь А — норм альны й |
оператор. |
Тогда сущ е |
|||
ст вует ортонор м ир ованны й базис {е/Д, сост оящ ий из |
собст венны х |
||||||
элем ент ов операторов А и А*. |
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно только что доказанной лем ме опера торы А и А* имею т принадлеж ащ ий V общ ий собственны й элемент e i, причем ||ei|| = 1. С обственны е значения д л я операторов А и А*, со
ответствую щ ие e i, равны соответственно Ai и Ai. |
|
|
|
||||||
П усть Vi — ортогональное дополнение элем ента |
e i |
до |
простран |
||||||
ства V . И ны ми словами, V\ — совокупность всех х, |
удовлетворяю щ их |
||||||||
условию (х, еД = |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д окаж ем , что |
если х п ри н адлеж и т |
ТД, |
то |
А х |
и А *х |
принадле |
|||
ж ат V\. Д ействительно, если (х, еД |
= |
0, то |
|
|
|
|
|
||
(А х, е х) |
= (х, А *е1) |
= (х, |
A iei) |
= |
Ai(x, |
е х) |
= |
0, |
|
т. е. А х G V\. А налогично, если |
(х, еД |
= 0, то |
|
|
|
|
|||
(А*х, еД |
= (х, А еД |
= (х, А ^ Д |
= |
АДх, еД |
= |
0, |
т. е. А *х
Таким образом , Vi — инвариантное подпространство операторов А и А*. Поэтому, по только что доказанной лемме, в подпространстве V\ сущ ествует общ ий собственны й элем ент в 2 операторов А и А* такой,
ЧТО А в 2 = |
А 2 в 2 , А * в 2 = |
А 2 в 2 - |
Д алее |
мы обозначим |
через V2 ортогональное дополнение элемен |
та в 2 до V \. Р ассу ж д ая так ж е, как и выш е, мы докаж ем , что в V2 есть общ ий собственны й элемент ез операторов А и А* такой, что ||ез|| =
= 1. П родолж ая аналогичны е рассуж дения, мы, очевидно, построим в пространстве V ортонорм ированны й базис {е Д , состоящ ий из соб ственны х элементов операторов А и А*. Т еорема доказана.
С ледстви е 1 . П уст ь А — норм альны й оператор. С ущ ест вует ба зис {е/Д, в кот ором А им еет диагональную м ат рицу.
Д ействительно, по только что доказанной теореме сущ ествует ба зис {е/Д из собственны х векторов оператора А . С огласно теореме 5.9 в этом базисе м атри ц а оператора А диагональна.
§ 7. УНИТАРНЫЕ И НОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
159 |
||||
С л е д с т в и е 2 . У нит арны й оператор им еет полную орт онормиро- |
|||||
ванную сист ем у собст венны х вект оров. |
|
||||
С ледую щ ая теорем а явл яется обратной д л я теорем ы 5.30. |
|
||||
Т е о р е м а |
5 .3 1 . Е сли у дейст вую щ его в п -м ер н о м евклидовом про |
||||
ст ранст ве V |
оператора |
А |
им еет ся п попарно орт огональны х |
соб |
|
ст венн ы х элем ент ов e i, |
в 2 |
, ... , |
е п , то оператор А норм альны й. |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
П усть |
{е/Д — попарно ортогональны е |
соб |
ственны е векторы оператора А . Тогда |
А е/, = А^е/, и, согласно (5.69), |
имеет место следую щ ее представление |
оператора А 21) : |
п
А х = ^ 2 А Д х, e k )e k- k = 1
Д окаж ем , что сопряж енны й оператор А* действует по правилу
|
п |
|
|
А * у = |
^ |
А*(у, e k)e k . |
(5.93) |
|
k = 1 |
|
|
Д остаточно доказать, что д л я |
операторов А и А *, определяем ы х со |
||
отнош ениями (5.69) и (5.93), справедливо равенство |
|
||
(х, А *у) |
= (А х , у ). |
(5.94) |
П одставляя в левую часть этого равенства вы раж ение А *у по ф о р
муле (5.93), получим после неслож ны х преобразований
п п
(х, А *у) = У У х , А*(у, e k)e k) = |
^ |
А*(у, e ft)(x , e k ) = |
k = 1 |
k = 1 |
n |
|
|
|
|
= |
X ] Afc(X’ e k )(e k, У) = (A x , y ). |
|
|
k = 1 |
Таким образом, равенство (5.94) доказано, и поэтом у оператор А*, действую щ ий по правилу (5.93), явл яется сопряж енны м к операто-
РУ А . |
|
Ч тобы заверш ить доказательство |
теорем ы , нуж но убедиться в |
справедливости равенства (5.92): А* А |
= А А * . |
21) Представление (5.69) справедливо для любого оператора, имеющего п по парно ортогональных собственных векторов.
160 |
|
|
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
||
И меем, |
согласно |
(5.93) 22) |
, |
|
|
|
п |
|
|
|
|
А А *х = |
^ 2 |
А*(х, е к) А е к = |
|
|
|
к = |
1 |
п |
|
п |
|
|
|
|
|
||
|
|
= |
^ 2 A*Afe(x, е к)е к = |
AfeAfe(x, е*)е* = А *А х. |
|
|
|
|
fc=i |
|
* = i |
И так, д л я операторов А и А* справедливо равенство (5.92) и, следо вательно, оператор А явл яется норм альны м . Т еорема доказана.
§ 8. К анон и ческ ий ви д линейны х операторов
В этом п ар агр аф е рассм атривается вопрос о вы боре д л я заданного
линейного |
оператора специальрого |
базиса, в котором м атри |
ц а этого |
оператора |
имеет простейш ий вид, |
назы ваем ы й ж ордановой |
формой |
м ат рицы . |
|
|
|
Введем понятие присоединенного элем ент а оператора А.
О п р едел ен и е. Э лемент х назы вается присоединенны м элем ент ом
оператора А, отвечаю щ им собственному значению Л, если д л я некото
рого целого т ^ |
1 вы полняю тся соотнош ения |
(А |
- AI)mx ф О, (А - AI)m + 1x = 0. |
П ри этом число т назы вается порядком присоединяем ого элем ент а х.
И ны ми словами, если х — присоединенны й элем ен т порядка ш , то
элем ен т (А - |
AI)mx я в ля е т с я собст венны м вект ором оператора А. |
|||||||||||
В этом п ар агр аф е мы докаж ем следую щ ую основную теорему. |
|
|||||||||||
Т еорем а |
5 .3 2 . |
П уст ь А —ли н ей н ы й |
операт ор, |
дейст вую щ ий |
в |
|||||||
п -м ер н о м |
евклидовом прост ранст ве V . С ущ ест вует |
базис |
|
|
||||||||
{е™}, k = |
С |
2 , . . |
1-, т = 1 , 2 |
, . |
. п к ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ni + |
П2 |
+ .. . + щ |
= |
п, |
(5.95) |
|
образованный |
из |
собст венны х |
и |
присоединенны х вект оров |
операт о |
|||||||
ра А , в кот ором |
дейст вие оператора |
А |
описы вает ся |
следую щ им и |
||||||||
соот нош ениям и : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
^ |
1 , 2 , . . ., I, |
|
|
|
|
|
/Г |
|
|
Ае™ = |
А^е™ + |
е™_ 1, к = |
1, |
2, . .. , |
I; |
т = 2, В, |
. . |
п к . |
{ ' |
1 |
22) Мы воспользовались такж е соотношениями А щ = А&ед,.