книги / Линейная алгебра.-1
.pdf§ 7. ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА |
241 |
У равнение (7.102) назы вается каноническим уравнением цент раль
ной гиперповерхност и второго порядка. |
|
|
|||
В еличины ak, k |
= 1, 2, ... , п, назы ваю тся полуосям и цент ральной |
||||
гиперповерхност и |
второго порядка. Они м огут |
бы ть вы числены по |
|||
ф орм улам |
(7.100) |
и (7.101). |
|
|
|
С помощ ью канонического уравнения |
(7.102) |
дадим следую щ ую |
|||
классиф икацию центральны х гиперповерхностей, |
|
||||
оч |
n, |
|
det В |
случае |
гиперповерхность Ь |
1 ) р = |
s g n ------- = —1. В этом |
||||
назы вается (п |
— 1 |
aet |
|
|
|
)-м ерны м эллипсоидом . |
|
|
К анонические уравнение такого эллипсоида обы чно записы ваю т в
виде |
|
|
|
|
|
гг„А2 |
|
|
|
ггпг2.'£ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Д |
+ |
. . . |
+ |
% |
= 1 . |
|
|
|
(7.103) |
|
|
|
|
|
|
|
а{ |
|
|
|
al |
|
|
|
|
|
|
Если а \ |
— 02 |
— |
. .. = a n , то |
(п — 1)-мерны й эллипсоид представ |
||||||||||||
ляет собой сф еру радиуса R в n -мерном пространстве. |
|
|
|
|||||||||||||
о |
|
|
|
|
|
_ |
|
р |
— |
0, |
det В |
= |
1 |
мы |
такж е |
|
З а м е ч а н и е |
1. В случае |
s g n - ----- - |
||||||||||||||
получаем (п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
QGt J \. |
|
|
|
|
||
— 1 )-мерны й эллипсоид. О чевидно, в этом случае уравне |
||||||||||||||||
ние |
(7.102) м ож ет бы ть записано в виде |
(7.103). |
|
|
|
|
||||||||||
2 |
оч |
= |
n, |
|
det В |
1. |
Гиперповерхность явл яется |
мнимой и |
||||||||
) р |
s g n - ----- - = |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
aet |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
назы вается м н и м ы м эллипсоидом . |
|
|
|
d t В |
|
|
||||||||||
З а м е ч а н и е |
2 |
. О чевидно, |
в |
случае р = 0 , s g n - ------ |
= |
— 1 мы |
||||||||||
также получаем мнимый эллипсоид. |
|
|
|
a e t |
л. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 4 |
< |
р |
< |
п, |
det |
В |
ф |
0. |
|
Ц ентральны е |
гиперповерхности |
||||
3 ) 0 |
sgn ^ ^ ^ |
|
||||||||||||||
назы ваю тся в этом случае гиперболоидам и. |
|
|
|
|
||||||||||||
Геометрические |
характеристики |
гиперболоида зависят от соотно- |
||||||||||||||
ш ения чисел р |
|
|
|
|
|
det |
В |
|
|
|
|
|
||||
и п и значения sgn ■ |
|
А |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
det |
В |
|
|
|
|
det |
|
|
|
|
|
|||
4 |
|
= |
Ц ентральны е |
|
гиперповерхности н азы ваю тся в |
|||||||||||
s&n cF t~A |
|
этом случае вы рож денны м и. С реди вы рож денны х гиперповерхностей
отметим |
так назы ваем ы й вы рож денны й элли п с о и д , отвечаю щ ий зн а |
чениям р |
= 0 и р = п. |
9.У п рощ ени е уравнения нецентральной гиперповерхности
второго порядка. К л асси ф ик ац ия |
н ецентральны х |
гип ерп о |
|
верхностей . П усть гиперповерхность 5 |
, задан н ая уравнением |
(7.62), |
|
не явл яется центральной, т. е. |
|
|
|
det А = 0 . |
|
(7.104) |
|
П роизведем стандартное упрощ ение |
уравнения (7.62). |
В |
резуль- |
16 В .А. И л ьи н , Э.Г. П о зн я к
242 |
|
ГЛ. 7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ |
||
тате это |
уравнение прим ет |
вид |
(7.98). П одсчитаем det А , используя |
|
(7.98) |
(это возм ож но, так |
как |
det А — и н вар и ан т). П олучим, учи ты |
|
вая (7.104), |
|
|
||
|
|
det А |
= |
А1 А2 • • • Ап = 0 . |
Таким образом, по крайней мере одно собственное значение Хк м ат |
||||
рицы |
А |
равно нулю . П одчеркнем , что не все собственны е значения |
равны нулю, ибо иначе квад р ати ч н ая ф о р м а А (х, х) бы ла бы тож де
ственно равной нулю, мы |
ж е предполагаем (см. п. 1 |
§ 1 этой |
главы ), |
что эта ф о р м а ненулевая. |
|
|
|
О ставим в вы раж ении |
(7.98) лиш ь те слагаемы е |
в первой |
сумме, |
которы е отвечаю т ненулевы м собственны м значениям , а затем произ
ведем такую перенумерацию |
базисны х векторов, чтобы первы м р ба |
||||||
зисны м векторам |
|
... , |
ер отвечали все ненулевы е собственны е зн а |
||||
чения Ai, А2 , ... , Ар |
(отметим, что р |
= |
rang Л ). О чевидно, после этого |
||||
уравнение (7.98) м ож ет бы ть переписано следую щ им образом: |
|||||||
р |
|
р |
|
|
п |
|
|
У " Akx'k2 + |
2 |
К х 'к + |
|
К х 'к + С = 0 |
(7.105) |
||
к —1 |
|
к = |
1 |
k = p + |
1 |
|
|
(здесь 0 < р < n, |
Ai |
ф |
0 , . . . , Ар ф |
0 ; кроме того, мы специально |
|||
вы делили первы е р |
слагаем ы х второй суммы в уравнении |
(7.98)). |
|||||
П роведем теперь следую щ ие преобразования. |
|
||||||
1°) Д л я каж дого |
ном ера |
к , 1 ^ |
к |
^ р, объединим |
слагаемы е с |
этим номером из первой и второй сум мы в (7.105) и затем проделаем
следую щ ие |
преобразования |
(при этом |
мы |
учиты ваем , что |
Хк ф |
0): |
|||||||
Хрх'р + 2 Ъ'кх'к |
— |
\ к |
(х 'к |
+ |
2 -^ж'р |
+ |
|
|
-----г - |
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К \ |
2 |
Ъ' 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Ч*‘ + а г ) |
- * • |
||
О чевидно, после |
этих |
преобразований |
(7.105) |
запиш ется |
следую |
||||||||
щ им образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
/ |
|
7, ч |
2 |
|
п |
|
|
|
|
|
|
У |
^к |
(я д |
+ |
) |
+ 2 |
|
К х к + с> |
— 0, |
(7.106) |
||||
к = |
1 |
|
|
|
|
к = р + |
1 |
|
|
|
|
|
|
где постоянная с |
определяется равенством |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
р |
у |
2 |
|
|
(7.107) |
|
|
|
|
|
|
c' |
= c ~ |
z |
tb - |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
к = |
1 |
А |
|
|
|
|
§ 7. ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА |
243 |
О сущ ествим теперь параллельн ы й перенос по ф орм улам
п.
В результате уравнение (7.106) перейдет в уравнение
|
|
|
|
р |
Akx f + 2 |
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Е |
|
|
Y . |
Ъ'к4 |
+ с1 = 0, |
|
|
|
(7.108) |
|||||||
|
|
|
|
к = 1 |
|
|
к = р + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
причем с' |
определяется по ф орм уле (7.107). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2°) Будем искать теперь такое преобразование ортонорм ированно- |
||||||||||||||||||||
го базиса {е^}, при котором первы е р базисны х векторов |
... , |
е р не |
||||||||||||||||||
м еняю тся, за |
счет |
ж е изм енения |
|
базисны х |
векторов |
е ^ + 1 , ... , |
|
|
по |
|||||||||||
пы таем ся |
преобразовать |
слагаемое ^ Y lk = p -\-i^kx k к |
ВИДУ 2цж"', где |
|||||||||||||||||
х'п — п -я |
координата |
в |
новом базисе. О тм етим, |
что |
при |
такого |
вида |
|||||||||||||
преобразованиях свободный член с' не м еняется. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Зам етим , |
во-первы х, |
что |
|
если |
все |
коэф ф и ц и ен ты |
Ък |
в |
||||||||||||
(7.108) |
равны |
нулю, |
то |
цель |
|
преобразования |
п. 2 ° |
достигнута — |
||||||||||||
слагаемое 2 ^ ^ |
+ |
1 |
Ъ'кх к |
имеет вид 2 fix '" , где ц |
= 0. |
|
|
|
|
|
||||||||||
И так, |
будем |
считать, |
что по |
|
крайней |
мере один |
из коэф ф и ц и ен |
|||||||||||||
тов Ък в сумме Y^k = p + i Ькх к отличен от нуля. Тогда мы |
мож ем |
рас |
||||||||||||||||||
см атривать эту сумму как некоторую линейную ф орм у В " (х), |
зад ан |
|||||||||||||||||||
ную в подпространстве V " , которое представляет собой линейную обо |
||||||||||||||||||||
лочку векторов е р +1? ... , |
е^. Согласно лемме п. 1 |
§ 4 гл. 5 эта ф о р м а в |
||||||||||||||||||
указанном подпространстве м ож ет бы ть представлена в виде В " (х) |
= |
|||||||||||||||||||
= (h, х), |
где h — некоторы й вектор подпространства V " . |
Если мы те |
||||||||||||||||||
перь в подпространстве V " направим |
единичны й вектор е" по векто |
|||||||||||||||||||
ру h, так что h |
= |
ц е " , |
а векторы |
е " + 1 , ... , |
е" _ ± выберем так, чтобы |
|||||||||||||||
система е " + 1 , ... , |
е " |
_ |
1 5 е" бы ла |
базисом в |
V " , |
то, очевидно, |
в |
этом |
||||||||||||
базисе |
В " (х) |
= |
(h, |
х) |
= |
ц (е " , |
х) = |
цж"', |
поскольку |
(е", х) |
= |
ж"'. |
||||||||
Таким |
образом , вы бирая |
в V " базис описанны м |
вы ш е |
способом, мы |
||||||||||||||||
преобразуем Т!к = Р+ \ ь'кхк к ВИДУ Vх п ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
И так, мож но указать такое преобразование базиса |
|
... , |
|
в ор- |
||||||||||||||||
тонорм ированны й |
базис е", ... , |
е" (при |
этом преобразовании |
векто |
||||||||||||||||
ры е^, |
. . . , е р |
остаю тся |
неизменны ми), что |
уравнение |
(7.108) |
прим ет |
||||||||||||||
вид (при этом мы заменим обозначение координат х'к |
на ж&) |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.109) |
||
|
|
|
|
|
|
к = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О тметим, что в |
уравнении (7.109) |
не |
исклю чается |
случай |
ц |
= |
0. |
16
244 |
ГЛ. 7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ |
|
У равнение (7.109) назы вается каноническим |
уравнением н ец ен |
|
т ральной гиперповерхност и вт орого порядка. |
|
|
С |
помощ ью канонического уравнения (7.109) |
дадим следую щ ую |
классиф икацию нецентральны х гиперповерхностей. В озм ож ны следу ющие случаи.
1 °) ц ф |
0 , р = ran g A = |
и |
— 1 . |
В этом |
случае последние д в а слагаем ы х в уравнении (7.109) запи |
||
шем в виде 2ц х п Т с = 2ц |
( |
с' \ |
|
[ х п |
+ — и сделаем параллельны й пере |
||
|
|
V |
2/Д |
нос по направлению оси х п |
на величину — с '/2 ц . Ч тобы не ослож нять |
запись, не будем при этом м енять обозначение координат. В результате каноническое уравнение (7.109) прим ет вид
Х \х \ + . .. + \ n - i x n2 _ 1 + 2 ц х п — 0. |
(7.110) |
Гиперповерхности второго порядка, каноническое уравнение кото
ры х имеет вид |
(7.110), назы ваю тся параболоидами. |
|
|||
2 °) ц = 0 , р = r a n g 4 < п. |
|
|
|
|
|
В этом случае каноническое |
уравнение |
(7.109) перепиш ется так: |
|||
|
Х \х \ + . .. |
+ |
ХрХ^р + с! |
= 0. |
(7.111) |
О чевидно, |
в подпространстве, |
являю щ ем ся линейной |
оболочкой |
векторов е[, ... , е'р, уравнение (7.111) представляет собой канониче
ское уравнение центральной поверхности S ' |
второго порядка. Ч тобы |
|||||||
получить представление о гиперповерхности S во всем пространстве, |
||||||||
нуж но в каж дой |
точке поверхности S ' пом естить плоскость, |
п ар ал |
||||||
лельную плоскости V " (линейная оболочка |
векторов |
е^ + 1, ... , е^). |
||||||
Геометрическое место таких плоскостей образует поверхность S . |
||||||||
Таким образом, поверхность S представляет собой |
цент ральны й |
|||||||
цилиндр с направляю щ ей |
поверхностью S ' , определяемой |
уравне |
||||||
нием (7.111), |
и образую щ им и |
плоскостям и, |
параллельны м и |
плоско |
||||
сти V " . |
|
|
|
|
|
|
|
|
3°) ц ф 0, |
р = |
r a n g 4 |
< |
п |
— 1. |
|
|
|
П оступая |
так |
ж е, как |
и |
в |
случае 1°), мы |
приведем |
каноническое |
уравнение (7.109) к виду
Х \ х \ + ... + ХрХр + 2ц х п — 0. |
(7.112) |
§ 7. |
ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА |
|
245 |
|||
О чевидно, |
что в подпространстве, представляю щ ем |
собой |
линей |
|||
ную оболочку |
векторов |
... , е^, . .. , |
е^, уравнение (7.112) |
опреде |
||
ляет параболоид S ' (см. случай 1°)). |
Ч тобы |
получить |
представле |
|||
ние о строении гиперповерхности S во |
всем |
пространстве, нуж но в |
||||
каж дой точке |
S ' пом естить |
плоскость, |
п араллельную плоскости V " |
|||
(линейная оболочка векторов е^ + 1, ... , |
е ,п _ 1) |
. Геометрическое место |
||||
таких плоскостей образует поверхность S . Таким образом, поверх |
||||||
ность S представляет собой |
параболоидальны й цилиндр |
с н ап р авл я |
ющей |
поверхностью S", определяем ой уравнением (7.112), и образую |
щ ими |
плоскостями, параллельны м и плоскости V " . |
Г Л А В А 8
Т Е Н З О Р Ы
В этой главе рассм атриваю тся важ н ы е объекты , назы ваем ы е тен зорам и и характеризую щ иеся в каж дом базисе совокупностью коорди нат, специальны м образом преобразую щ ихся при переходе от одного базиса к другому. Тензоры ш ироко использую тся в геом етрии, ф изике и механике. П онятие тензора возникает при изучении разли чн ы х ани зотропны х явлений (например, при изучении распределения скоростей распространения света в кристалле в зависим ости от н аправления его
р асп ростран ени я).
§ 1. П р еобр азов ани е базисов и координат
В данном п ар агр аф е, носящ ем вспом огательны й характер, мы рас
смотрим законы преобразования координат в произвольном вещ е
ственном евклидовом пространстве Е п . В озникаю щ ие при этом наво
дящ ие соображ ения делаю т более прозрачны м понятие тензора, вво
димого в следую щ ем п араграф е .
1. О п редел ител и Грам а *) . В этом пункте мы укаж ем способ,
с помощ ью которого мож но вы яснить вопрос о линейной зависим ости
системы векторов e i, в 2 , . .. , е& в евклидовом пространстве.
Введем д л я этого так назы ваем ы й определитель Г рам а указанной
системы векторов. |
|
|
|
|
|
|
|
О пределит елем Грама системы векторов e i, в 2 , ... , |
е/, н азы вается |
||||||
следую щ ий определитель: |
|
|
|
|
|
|
|
(еь |
ei) |
(еь |
е2) |
... |
(еь |
е к) |
|
( е 2, |
e i ) |
( е 2, |
е 2) |
. . . |
(е 2, |
е к) |
(8.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(еь, |
e i ) |
(е*, |
е 2) |
. . . |
(e k, е к) |
|
|
С праведливо утверж дение. |
|
|
|
|
|
||
Т еорем а 8.1. Д л я |
того |
чтобы |
сист ем а |
вект оров |
e i, в 2 , ..., е/. |
*) Иорген Грам (1850-1916) —датский математик.
§ 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И КООРДИНАТ |
247 |
евклидова прост ранст ва Е п была ли н ей н о за ви си м о й , необходимо и |
дост ат очно, |
чтобы определит ель Грама (8.1) эт ой сист ем ы был ра |
||
вен |
нулю . |
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
1) Н е о б х о д и м о с т ь . П усть векто |
|
ры |
e i, в 2 , ... , |
е& линейно зависим ы . Тогда один из них, наприм ер е&, |
явл яется линейной комбинацией остальны х:
e k = |
аде! + а 2 е 2 + |
... + o i k - i C k - i - |
|
У м нож ая написанное |
соотнош ение |
скалярно на е^, i = |
1 ,2 |
мы получим, что последняя строка определителя Г рам а |
(8.1) я в л я ет |
||
ся линейной комбинацией первы х к |
— 1 строк. По теореме 1.7 этот |
||
определитель равен нулю . Н еобходимость условия доказана. |
2) Д о с т а т о ч н о с т ь . П редполож им , что определитель Г рам а (8.1) равен нулю . Тогда его столбцы линейно зависим ы , т. е. сущ ествую т не
все равны е нулю |
числа |
/?]_, р 2, ... , Рк такие, что |
д л я |
i |
= |
|
1 , 2 |
, ... , к |
|||||||||
вы полняю тся соотнош ения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
/М е Б e l) |
+ /М е Б е 2 ) |
+ . .. |
+ |
P k(^ij |
еД |
— |
0 . |
|
|
|
|
|||||
П ереписы вая эти соотнош ения в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
(е г, P i ^ |
+ /32 е 2 |
+ |
. .. + |
р кЪк) |
= |
о, г = |
1 , 2 , . . . , |
|
к, |
|
|
|||||
убеж даем ся, что вектор Р \е \ |
+ /32 е 2 + . .. + Рк^к ортогонален всем век |
||||||||||||||||
торам e i, в 2 , . . . , |
е&, т. е. ортогонален линейной оболочке L этих векто |
||||||||||||||||
ров. Т ак как этот вектор п ри н ад леж и т L, то он равен нулю . П оскольку |
|||||||||||||||||
не все ^ |
равны |
нулю, то это означает, что |
векторы e i, |
е 2, . . . , |
е/, |
ли |
|||||||||||
нейно зависим ы . Т еорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
С ледстви е. Е сли |
вект оры ei, в2, . . . , е/, ли н ей н о независим ы , то |
||||||||||||||||
определит ель Грама эт и х вект оров о т личен от нуля. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Д окаж ем , |
что |
в |
указанном |
случае |
определитель |
|
Г рам а |
по |
|||||||||
лож ит елен . |
П усть |
L — линейная оболочка векторов |
ei, |
в2, . . . , е^. |
|||||||||||||
О чевидно, e i, |
в 2 |
, . . . , |
е/, — базис в L . Рассм отрим билинейную сим м ет |
||||||||||||||
ричную |
ф орм у |
А (х, |
у), |
представляю щ ую |
собой |
скалярное произве |
|||||||||||
дение (х, у): А (х, у) |
= |
(х, |
у). С оответствую щ ая к вад р ати чн ая ф о р |
||||||||||||||
м а А (х, |
х) = |
(х, |
х) |
будет, очевидно, знакоопределенной, и поэтому, |
|||||||||||||
согласно |
теореме |
7.6 |
(критерию |
С ильвестра), определитель d e t(a ^ ) |
|||||||||||||
ее м атрицы (щ Д |
в базисе e i, е 2, . . . , е/, |
полож ителен. Но |
этот |
опре |
|||||||||||||
делитель |
и |
представляет |
собой |
определитель |
Г рам а |
(8.1) |
систе |
||||||||||
мы e i , G2, • • • , &k, ибо CLij |
|
(®i? ®j ) • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. В заи м ны е |
базисы . К овариантны е и контравариантны е |
||||||||||||||||
координаты |
векторов . П усть |
e i, в 2 , . . . , еп — базис |
в |
евклидовом |
248 |
|
|
|
ГЛ. 8. ТЕНЗОРЫ |
|
|
пространстве |
Е п . Б ази с е 1, е 2, . . . , е п |
назы вается взаим ны м д л я ба |
||||
зиса щ , |
г = |
1 |
, 2 |
, ... , п, если вы полняю тся соотнош ения |
||
|
|
|
|
1 |
при г = |
j , |
|
|
|
|
(е*, eJ) = Sj |
при г Ф |
( 8.2) |
|
|
|
|
О |
j . |
|
при г, j |
= |
1 , 2 , |
. . п. |
|
|
С имвол Sj назы вается сим волом Кронекера.
В озникает вопрос о сущ ествовании и единственности взаим ного ба
зиса. |
О твет |
на |
этот вопрос утвердительны й: для любого |
данного ба |
||
зиса |
е 1, е 2, . . . , |
е п сущ ест вует единст венны й взаим н ы й |
базис. Д л я |
|||
доказательства поступим следую щ им образом . П усть |
х 32, ... , |
x Jn — |
||||
координаты искомы х векторов eJ в базисе ед |
|
|
|
|||
|
eJ |
= |
x [ e i + x J2 e 2 + . .. + x Jn e n , j |
= 1 , 2 , . . . , n. |
(8.3) |
|
У м нож ая |
скалярно обе части последних равенств на щ , получим, |
|||||
используя (8 .2 ), |
|
|
|
|
||
Д (е* , e i) + |
Д ( е ь е 2) + . . . + Д (е * , е„) = |
г, j = 1, 2, |
. . гг. |
(8.4) |
С оотнош ения (8.4) при ф иксированном j мож но рассм атри вать как квадратн ую систему линейны х уравнений относительно неизвестны х
координат х { , х 2, . .. , x Jn вектора |
eJ |
в базисе щ . Т ак как определи |
||||
тель системы |
(8.4) представляет собой определитель Г рам а базисны х |
|||||
векторов e i, |
е 2, ... , е п , он, согласно |
следствию |
из теорем ы 8 |
.1 , от |
||
личен от нуля, и поэтому систем а |
(8.4) имеет |
единственное |
реш е |
|||
ние х {, х 2, . .. , x Jn , которое будет |
ненулевы м, поскольку |
эта система |
||||
неоднородная. Затем с помощ ью |
соотнош ений |
(8.3) строятся |
векто |
|||
ры eJ , которы е, очевидно, удовлетворяю т соотнош ениям |
(8 .2 ). |
|
||||
М ы долж н ы еще убедиться, что |
векторы е 1, е 2, ... , |
е п образую т |
базис.
П усть некоторая линейная ком бинация этих векторов р авн а нулю:
a i e 1 + а 2 е 2 + . .. + а пе п = 0 . |
|
|
|
У м нож ая |
скалярно последнее равенство |
последовательно |
на |
e i, в 2 , ... , е п |
и используя (8 .2 ), получим ад = |
0 , а 2 = 0 , ... , а п |
= |
=0 . С ледовательно, векторы е 1, е 2, ... , е п линейно независимы , т. е.
образую т базис. |
|
|
|
И так, взаим ны й |
базис eJ и д л я базиса щ , сущ ествует и определя |
||
ется единственны м образом . |
|
|
|
З а м е ч а н и е 1 |
. В силу симметрии соотнош ений (8 .2 |
) относительно |
|
и eJ , взаим ны м |
базисом д л я базиса e J будет базис |
щ |
. П оэтому в |
дальнейш ем мы будем говорить о взаим ны х базисах щ , |
eJ . |
§ 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И КООРДИНАТ |
249 |
||||
З а м е ч а н и е |
2 |
. Если базис e i, в 2 , ... , е п ортонорм ированны й, то |
|||
взаим ны й базис |
eJ |
совпадает с данны м базисом . Д ействительно, по |
|||
лагая в этом случае e J = |
е^, мы убедимся, что |
соотнош ения |
(8 .2 ) |
||
вы полняю тся. И спользуя свойство единственности |
взаимного базиса, |
||||
мы убедимся в справедливости зам ечания. |
|
|
|||
П усть щ , eJ — взаим ны е |
базисы , а х — произвольны й вектор |
про |
странства. Р азл агая вектор х по базисны м векторам щ и eJ, получим
х |
= |
х г е 1 |
+ |
Х 2 е 2 |
+ ... |
+ |
х „ е п , |
( |
, |
||
х |
= |
a:1ei |
+ |
х 2 е 2 |
+ ... |
+ |
х п е п . |
|
|
||
К оординаты (xi, Ж2, ... , |
жп) вектора |
х |
в |
базисе |
eJ назы ваю т |
||||||
ся ковариант ны м и |
кооординат ами |
вектора |
х, |
а координаты |
(ж1, |
||||||
ж2, ... , х п) этого вектора в базисе щ , назы ваю тся |
конт равариант ны - |
м и координат ам и вектора х. Эти наим енования будут р азъясн ен ы в следую щ ем пункте.
Д л я сокращ ения записи ф орм ул, в которы х ф игурирую т однотип
ные |
слагаемы е (примерам и таких ф орм ул могут |
служ ить соотнош е |
ния |
(8.5)), мы будем п ользоваться в дальнейш ем |
соглаш ением о сум |
мировании. Это соглаш ение заклю чается в следую щ ем. П усть имеется вы раж ение, составленное из сом нож ителей, которы е снабж ены конеч
ным числом |
индексов, часть из которы х ниж ние, а другая часть — |
верхние. П ри |
этом договариваю тся все ниж ние индексы обозначать |
различны м и символами. В ерхние индексы такж е договариваю тся обо зн ачать различны м и символами. Если в этом вы раж ении встречаю тся д в а одинаковы х индекса, из которы х один верхний, а другой ниж ний,
то считают, что по этим индексам |
производится |
сум м ирование, |
т. е. |
||||||
индексам последовательно даю тся |
значения 1 , 2 , ... , |
п, а затем |
скл а |
||||||
ды ваю тся полученны е слагаемые. |
|
|
|
|
|
|
|||
Н априм ер, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж*е* = ж^щ1 + |
Ж2 в2 + |
... + |
жпеп, |
8\ = 8\ + |
+ |
•••+ 8 |
|
||
9 i j X l x 3 = ( д ^ х г х г ) |
+ ( g 2 j x 2 x r ) + . . . + (g n j X n x -') = |
|
|||||||
= ( д п х 1 х 1 + |
g i ^ x 2 |
+ . . . |
+ g inx 1 x n ) + |
|
|
|
|
|
|
+ |
( g 2i x 2 x 1 |
+ g 22x 2 x 2 + |
... + |
g 2 n x 2 x n ) |
+ |
... + |
|
||
|
|
|
+ (gn lx nx 1 + |
gn2x n x 2 |
+ |
. . . + gnnx n x n ). |
|||
С помощ ью соглаш ения о сум м ировании ф орм улы |
(8.5) записы ва |
||||||||
ю тся следую щ им ком пактны м образом: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
х = |
жi e \ |
х = жге \ |
|
|
|
(8.6) |
250 |
ГЛ. 8. ТЕНЗОРЫ |
З а м е ч а н и е |
3. Верхние и ниж ние одинаковы е индексы , о кото |
ры х говорилось в соглаш ении о сум мировании, обы чно назы ваю тся и н дексами сум м ирования . Ясно, что индексы сум м ирования м огут обо
зн ачаться лю бы ми одинаковы м и символами. П ри этом не |
изм енятся |
вы раж ен и я, в которы х они ф игурирую т. Н априм ер, ацег и |
x j e J пред |
ставляю т собой одно и то ж е вы раж ение. П олучим теперь явное вы р а
ж ение д л я ковариантны х и кон травари ан тн ы х координат |
вектора х. |
||||||||
Д л я этого ум нож им |
скалярно |
первое из равенств (8 |
.6 ) на |
||||||
а второе — на аде-7. У чи ты вая затем |
соотнош ения |
(8.2), найдем |
|||||||
(х, е,-) = X i ( e \ ej) |
= X f S j = x j , |
(x, e |
3 ) = х г ( |
щ , e J ) |
= |
x %6 \ = x 3 . |
|||
И так, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x i |
= |
(x >ej)> |
я 3 |
= |
(x >e T |
|
|
(8 -7) |
|
С помощ ью соотнош ений (8.7) запиш ем ф орм улы (8 |
.6 ) следую щ ем |
||||||||
виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х = |
(х, е ^ е г, |
х |
= |
(х, е г)щ. |
|
(8.8) |
|||
С оотнош ения (8 .8 ) назы ваю тся |
ф орм улам и Гиббса 2) . |
|
|||||||
О братим ся еще раз к вопросу о построении взаим ны х базисов. |
|||||||||
С помощ ью ф орм ул (8 .8 ) имеем |
|
|
|
|
|
|
|||
е г |
= |
(ег, eJ)ej, |
е* |
= |
(е*, еДе-7. |
|
(8.9) |
||
Введем обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 а |
= |
(е г> ei ) ; |
9 Ч |
= |
(ег, е Д |
|
|
(8.10) |
С помощ ью этих обозначений перепиш ем соотнош ения (8.9) следу
ющ им образом: |
е г = g tJ e j , |
е* = g ^ e ? . |
(8 .1 1 ) |
|
|
|
|||
И так, |
для пост роения базиса |
е г по базису |
щ дост ат очно зн ат ь |
|
м а т р и ц у |
(дгД, |
а для пост роения |
базиса щ по |
базису е г дост ат очно |
зн ат ь м а т р и ц у |
(щД. |
|
|
Д окаж ем , что указанны е м атрицы взаим но обратны . О тм етим , что так как элем енты обратной м атрицы м огут бы ть вы числены через эле м енты данной м атрицы , то ясно, что с помощ ью соотнош ений (8 .1 1 ) реш ается вопрос о построении взаим ны х базисов.
2) Д.У. Гиббс (1839-1903) — американский ф изик-теоретик.