книги / Линейная алгебра.-1
.pdf8. КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ |
161 |
П реж де чем перейти к доказательству, |
сделаем р яд зам ечаний . |
З а м е ч а н и е 1 . О чевидно, векторы |
базиса (5.95) являю тся соб |
ственны ми векторам и оператора А , отвечаю щ им и собственны м значе
ниям |
А*;. |
|
|
|
|
|
|
И з |
определения |
присоединенны х |
векторов |
и соотнош ений (5.96) |
|||
следует, что векторы |
е™ (к = |
1 , 2 |
т = |
2 , 3, . .. , |
Пк) являю тся |
||
присоединенны ми |
векторам и порядка ш , отвечаю щ им и |
собственны м |
|||||
значениям А/, соответственно. |
|
|
|
|
|||
З а м е ч а н и е |
2 . О бращ аясь к ф орм улам (5.13) и (5.12), мы видим, |
||||||
что соотнош ения |
(5.96) действительно определяю т действие операто |
||||||
р а А |
в пространстве V при заданном базисе {е™}. |
|
|||||
З а м е ч а н и е |
3. М атрица А линейного оператора А |
в базисе {е™} |
|||||
имеет следую щ ий |
«клеточны й» |
вид: |
|
|
|
||
|
|
|
Л 2 |
|
|
О \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
= |
|
|
|
|
(5.97) |
|
|
|
О |
|
|
Л/ J |
|
где клетка Л/, представляет собой следую щ ую м атрицу:
Afc |
1 |
0 |
.... |
0 |
\ |
|
0 |
Ajfe |
1 |
.... |
0 |
(5.98) |
|
0 |
0 |
0 |
..,. |
1 |
||
|
||||||
0 |
0 |
0 |
..• |
А/, ) |
З а м е ч а н и е 4. Ф орм а (5.97) м атрицы А линейного оператора А
назы вается ж ордаповой ф ормой м ат рицы этого оператора. П ри этом к летка Л/, обы чно назы вается ж ордаповой клет кой м атрицы А . О тм е тим, что теорему 5.32 о приведении м атрицы оператора к простейш е му виду (5.97) назы ваю т теорем ой о приведении м атрицы оператора к ж ордановой ф орм е.
З а м е ч а н и е 5. Ж о р д ан о в а ф о р м а м атрицы (5.97) определена с
точностью до порядка располож ения клеток Л& по диагонали м атри цы. Э тот порядок зависит от порядка нум ерации собственны х значе ний А/,.
М ы дадим доказательство теорем ы 5.32, предлож енное
А.Ф . Ф илипповы м 23) .1*
23)Филиппов А.Ф. Краткое доказательство теоремы о приведении матрицы к жордановой ф о р м е // Вестник Московского университета. 1971. № 2.
11 В.А . И л ьи н, Э.Г. П о зн я к
162 |
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о |
т е о р е м ы 5.32. Д л я доказательства теоре |
|
мы применим |
метод индукции. П ри п = 1 утверж дение теорем ы оче |
|
видно. П усть |
п > 1 и |
теорем а верна д л я пространств разм ерности |
м еньш е п. Д окаж ем , что при этом предлож ении она верна и д л я про странств разм ерности п. Этим и будет заверш ено доказательство тео ремы .
П усть Л — собственное значение оператора А . Согласно теореме 5.8
это число явл яется корнем характеристического уравнения |
det (А — |
|
— AI) = 0. С ледовательно, ранг г |
линейного оператора 24) |
|
В = |
А - AI |
(5.99) |
м еньш е п, т. е. г < п.
Л инейны й оператор В отображ ает пространство V на подпростран
ство im В . П оэтому оператор В отображ ает подпространство im В р аз мерности г < п в это ж е подпространство. По предполож ению индук
ции в im B |
есть базис |
|
{ Ц Д к = |
1 >2 , . . р; т = 1 , 2 , . . г к ; |
|
|
ri + г 2 + ■■■ + гр = г, |
(5.100) |
в котором действие оператора В из im B в im B дается следую щ ими соотнош ениями:
B h'fe |
= |
р кЪ1 , |
к |
= 1, 2, |
р, |
|
|
|
|
В Ь Г |
= |
fJ-kh f |
+ |
h ™ - 1 , |
к = 1 ,2 , |
р; т |
= 2, |
Ъ, ... , г к . (5.101) |
|
Таким образом, в этом |
базисе м атри ц а В |
оператора В , действую |
|||||||
щ его из im В |
в im B |
25) , имеет следую щ ий клеточны й вид: |
|||||||
|
|
|
|
|
мх |
м2 |
|
о |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
о |
|
|
м, / |
24)Напомним, что ранг г линейного оператора В равен размерности im B ; со гласно теореме 5.6 ранг г равен рангу матрицы этого оператора.
25)Символом В мы будем обозначать оператор В , действующий из im B в im B .
8. КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ |
163 |
||||||
йк |
1 |
0 .. |
|
о \ |
|
|
|
|
|
.. |
|
|
|||
0 |
Ик |
1 .... |
0 |
|
|
||
где М к |
|
|
|
|
|
|
(5.102) |
0 |
0 |
0 .... |
1 |
|
|
||
0 |
0 |
0 |
.. • |
Ик / |
|
|
|
П усть лиш ь первы е m i (т± ^ |
0) собственны х значений оператора В |
||||||
равны нулю . |
|
|
|
|
|
|
|
Т ак как ранг каж дой клетки |
М к (см. (5.102)), д л я которой ц к — 0, |
||||||
равен тк — 1 , а ранг клетки, д л я которой ц к |
ф |
0 , равен г к , то, соглас |
|||||
но (5.100), ранг м атрицы В равен Y lk = i Гк |
~ 777,1 — r |
~ m i • П оэтому |
|||||
разм ерность подпространства k e rB |
р авн а |
т \ |
26) и |
кег В |
представ |
||
ляет собой линейную оболочку |
векторов |
h^, h^, ... , |
hfm i. |
Эти векто |
ры в силу линейной независим ости образую т базис в k e rB . О чевидно,
кег В С кег В . Д ополним базис hj_, h^, |
... , Ъ?т |
в кег В до базиса в кег В |
||||||||||||||
векторам и g*., к = |
1 |
, 2 , ... , т о , |
т о |
= |
|
п |
— г |
— т \ |
(разм ерность k e rB |
|||||||
по теореме 5.1 р авн а п —d i m i m B , |
т. е. равн а п |
— |
г). |
|||||||||||||
Т ак как g k £ ker В , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
B g , |
= |
0. |
|
|
|
|
(5.103) |
||
О братим ся |
теперь к |
векторам |
h^fc, |
к |
= |
1 |
, 2 |
, ... , т \. П оскольку |
||||||||
эти векторы при н адлеж ат i m B , |
то сущ ествую т такие векторы ^ G к , |
|||||||||||||||
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B f/, |
= |
h rk\ |
к |
= |
1 |
, 2 |
, |
. .. , |
т \. |
(5.104) |
||
Д окаж ем теперь, что векторы |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
h™ |
(к |
= |
1 |
, |
2 , . |
. |
р; т |
= |
1 , 2 |
, |
. |
. г к), |
(5.105) |
|||
gk |
(Ат |
= |
1 , |
|
, . |
. |
m 0), |
fк (к |
|
= |
|
, 2 |
, . . |
|||
2 |
|
1 |
n il) |
линейно независимы .
Рассм отрим следую щ ую равную нулю линейную комбинацию f этих векторов:
Р гк |
т0 |
т 1 |
|
f = Е Е П&тЬк |
У у fikQk Т |
У ^ 'Ук^к — 0 . |
(5.106) |
к = 1 т = 1 |
к = 1 |
к = 1 |
|
Рассм отрим действие оператора В |
на этот элем ент f. П олучим, со |
||
26) |
Ранг |
матрицы В равен d im im B . Согласно теореме 5.1, d im im B + |
|
+ dim ker В |
= г. |
Следовательно, dim кег В = |
m i. |
И*
164 |
|
|
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
|
|
|
||||||||||
гласно (5.101), (5.103) и |
(5.104), следую щ ее вы раж ение: |
|
|
|||||||||||||
|
V |
|
V |
|
Г к |
|
|
|
|
|
|
|
т \ |
|
|
|
В { = |
ЫкФкК + |
Y |
|
У ] а кт(р,къ.™ + |
h™- 1 ) + |
I k K ” = 0 |
||||||||||
к = 1 |
|
к = 1 т = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
к = 1 |
|
(5.107) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С оотнош ение (5.107) |
представляет |
собой равную |
нулю |
линейную |
||||||||||||
комбинацию |
базисны х |
векторов |
|
i K h |
поэтому коэф ф и ц и ен ты при |
|||||||||||
этих векторах в указанной линейной комбинации равны |
нулю . П о |
|||||||||||||||
скольку |
/лк — 0 при |
к |
^ |
m i, |
то |
из (5.107) следует, |
что |
к оэф ф и ц и |
||||||||
енты при h rkk |
в точности |
равны |
7 |
^, и поэтому |
7 ^ = |
0 . О тсю да и из |
||||||||||
соотнош ения (5.106) получаем равенства |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
т0 |
|
|
|
|
|
р |
гк |
|
|
|
|
|
|
|
|
g = |
Y |
|
@kSk |
= |
|
“ |
Е |
Е |
a k m h f , |
|
|
(5.108) |
||
|
|
|
к = 1 |
|
|
|
|
|
к = 1 т = 1 |
|
|
|
|
|||
из которы х следует, |
что |
вектор |
g, |
представляю щ ий |
собой линейную |
|||||||||||
комбинацию векторов {g/.}, п ри н ад леж и т k e rB |
(напомним, что векто |
|||||||||||||||
ры {gk} |
составляю т часть базиса в k e rB ). |
|
|
|
|
|
||||||||||
С другой стороны , из |
(5.108) |
вы текает, |
что |
g представляет собой |
||||||||||||
линейную комбинацию |
векторов |
h™, т. е. п ри н адлеж и т i m B . С ледо |
||||||||||||||
вательно, g п ри н адлеж и т k e rB |
(напомним, что k e rB |
есть пересечение |
||||||||||||||
im B и k e rB ), и поэтому g |
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Т ак как линейны е оболочки наборов векторов {gk} и {Ц,} |
имею т |
|||||||||||||||
общ им |
лиш ь |
нулевой элемент |
(эти |
наборы |
вместе образую т |
базис в |
||||||||||
k e rB ) и, как |
мы установили, g |
п ри н ад леж и т каж дой из упом януты х |
||||||||||||||
линейны х оболочек, то g |
= |
0. Но тогда из (5.108) следует, что Д. = 0 |
||||||||||||||
(к = 1 , |
2 , . . . , |
т 0) и а кгп |
= |
0 (к |
= |
1 , 2 , . .. , |
р; т = 1 |
, 2 , . .. , г к). |
||||||||
И так, все коэф ф и ц и ен ты в линейной комбинации |
(5.106) векторов |
|||||||||||||||
(5.105) равны нулю, т. е. векторы |
(5.105) |
ли н ей н о |
независим ы . |
|||||||||||||
Общее число векторов |
(5.105) равно г + |
шо |
+ m i. Т ак как шо = |
= п — г — m i (это бы ло установлено выш е, в доказательстве при вве
дении векторов g к), то общее число векторов (5.105) равно п и поэтому они образую т базис в V . О бозначим
|
|
f/fc |
= |
Ь Щ |
1 |
(5.109) |
|
и запиш ем векторы |
этого |
базиса |
в |
следую щ ей последовательности |
|||
серий: |
|
|
|
|
|
|
|
{gi}; |
{g2 }; |
•••; |
{gmo}; |
|
|
|
|
{ Ц , |
h ^ , h ^ |
+ 1}, |
к |
= l , 2 , . . . , m i; |
(5.110) |
{ Ц , . .. , h rkk }, к = m i + 1 , . .. , р.
Рассм отрим действие оператора В на векторы базиса (5.110) в про странстве V . О бращ аясь к соотнош ениям (5.101), (5.103), (5.104) и
|
|
9. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
165 |
|||
(5.109), убедимся, что действие В в базисе (5.110) дается |
соотнош е |
|||||
ниям и |
|
|
|
|
|
|
B g ft |
= О, к = |
1, 2, . |
. mo, B h ^ + 1 |
= |
h k",r к = 1, 2, |
. . гщ |
и соотнош ениями |
(5.101). |
оператор В = |
А |
— AI действует |
|
|
И так, |
в базисе |
(5.110) |
по прави |
лу (5.96), указанном у в ф орм улировке теорем ы 5.32. Но тогда в этом базисе и оператор А = В + AI действует по этому ж е правилу. Тео рем а доказана.
§ 9. Линейные операторы в вещественном евклидовом пространстве
В этом |
п ар агр аф е мы покаж ем , каким образом определения и ре |
зультаты |
преды дущ их п ар агр аф о в переносятся на случай вещ ествен |
ны х евклидовы х пространств. |
1. Общие замечания. Рассм отрим произвольное n -мерное вещ е ственное евклидово пространство V и оператор А, действую щ ий из V
в V .
П онятие линейного оператора д л я случая вещ ественного линейного п ространства ф орм улируется в полной аналогии с соответствую щ им
понятием д л я комплексного пространства.
Определение 1 . О ператор А назы вается л и н е й н ы м , если д л я лю
бы х элементов х Е У и у Е У и |
лю бы х вещ ественны х |
чисел а и /3 |
вы полняется равенство |
|
|
А(ах + /?у) |
= «А х + /?Ау. |
(5.111) |
В полной аналогии с комплексны м пространством вводится поня
тие собственного значения и собственного вектора оператора.
В аж н о зам етить, что собственны е значения являю тся корням и ха
рактеристического уравнения оператора.
О братное утверж дение в вещ ественном случае верно лиш ь тогда, когда соответствую щ ий корень характеристического уравнения вещ е ственны й. Только в этом случае указанны й корень будет собственны м
значением рассм атриваем ого линейного оператора. |
|
|||
В связи |
с этим естественно вы делить |
какой-либо класс линейны х |
||
операторов |
в вещ ественном евклидовом |
пространстве, все корни ха |
||
рактеристических уравнений которы х вещ ественны . |
|
|||
В доказанной вы ш е теореме 5.16 бы ло установлено, что все |
соб |
|||
ственны е |
значения самосопряж енного оператора вещ ественны . |
К р о |
||
ме того, |
понятие самосопряж енного оператора играло важ ную |
роль |
166 |
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
в вы водах § 6 |
настоящ ей главы о к вад рати чн ы х ф орм ах . Е стествен |
но поэтому перенести понятие сам осопряж енного оператора на случай вещ ественного пространства.
П редварительно введем понятие оператора А*, сопряж енного к оператору А. И менно оператор А* назы вается сопряж енны м к А, если д л я лю бы х х и у из У вы полняется равенство (Ах, у) = (х, А*у).
Б ез затруднений на случай вещ ественного п ространства переносит ся теорем а 5.12 о сущ ествовании и единственности сопряж енного опе
ратора.
Н апомним, что доказательство теорем ы 5.12 опирается на понятие полуторалинейной ф орм ы . В вещ ественном случае вместо п олуторали нейной ф орм ы следует воспользоваться билинейной ф орм ой В (х, у).
По этому поводу в п. 2 § 4 гл. 5 сделано соответствую щ ее зам ечание.
Н апомним в связи |
с этим определение билинейной ф орм ы в лю |
бом вещ ественном, не |
обязательно евклидовом, линейном простран |
стве L . П усть В — ф ун кц и я, сопоставляю щ ая каж дой упорядоченной паре (х, у) векторов х Е L и у Е L вещ ественное число В (х, у).
Определение 2. Ф ункция |
В (х, у) назы вается билинейн ой фор |
|||
м о й , заданной на L, если д л я лю бы х векторов х, у и z из L |
и лю бого |
|||
вещ ественного числа Л вы полняю тся соотнош ения: |
|
|||
В (х + z, у) |
= |
В (х, у) + |
В (z, у), |
|
В (х, у + z) |
= |
В (х, у ) + |
В (х, z), |
(5.112) |
В (Ах, у) = |
В (х, Ау) = АВ (х, у). |
|
В аж ную роль в данном п ар агр аф е будет и грать специальное пред
ставление билинейной ф орм ы В (х, у) в виде |
|
В (х, у) = (Ах, у), |
(5.113) |
где А — некоторы й линейны й оператор. С оответствую щ ая теорем а (те орем а 5.11) об аналогичном представлении полуторалинейной ф орм ы
в комплексном |
пространстве опиралась на вы воды лем м ы п. 1 § 4 н а |
стоящ ей главы |
о специальном представлении линейной ф орм ы / (х). |
В конце указанного пункта отм ечалось, что эта лем м а верна и в вещ е ственном пространстве. Зам етим только, что в доказательстве лем мы вы бор элементов h k нуж но производить не по ф орм уле (5.41), а с по
мощ ью ф орм улы h k = / (е^), где / |
(х) — д ан н ая |
линейная ф о р м а в |
||
вещ ественном пространстве. |
|
|
|
|
В |
§ 6 настоящ ей главы бы ли введены эрм итовы |
ф орм ы . Э рм и |
||
това |
ф о р м а — это полуторалинейная |
ф о р м а В (х, |
у) |
в комплексном |
пространстве, характери зую щ аяся соотнош ением В (х, у) = В (у, х)
(черта н ад В означает, что берется комплексно сопряж енное значение д л я В ).
9. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
167 |
В случае вещ ественного п ространства аналогом эрм итовы х ф орм служ ат сим м етричны е билинейны е ф орм ы . Т акая ф о р м а характектеризуется соотнош ением
В (х, у) = В (у, х). |
(5.114) |
||||
Б или н ей н ая ф о р м а В (х, у), задан н ая на линейном пространстве L, |
|||||
назы вается кососиммет ричной, если д л я |
лю бы х векторов х и у из L |
||||
вы полняется соотнош ение |
В (х, у) = —В(у, х). О чевидно, |
что д л я |
|||
каж дой билинейной ф орм ы ф ункции |
|
|
|
||
Bi (х, у) |
= |
(х, у) |
+ |
В (у, х)], |
|
в 2 (х, у) |
= |
В (х, у) |
- |
В (у, х)] |
|
являю тся соответственно сим м етричной и кососим м етричной билиней ными ф орм ам и . П оскольку В (х, у) = В\ (х, у) + В2 (х, у), то мы получаем следую щ ее утверж дение.
Любую билинейную форму мож но представить в виде суммы симмет ричной и кососиммет ричной билинейной формы.
Н етрудно видеть, что такое представление явл яется единственны м .
М ы |
докаж ем следую щ ую |
теорем у о |
сим м етричны х билинейны х |
ф орм ах |
(эта теорем а служ ит |
аналогом |
теорем ы 5.25 об эрм итовы х |
ф орм ах). |
|
|
Теорема 5.33. Д л я того чтобы билинейная форма В (х, у), задан ная на всевозмож ных векторах х и у вещественного евклидова про странства V , была симмет ричной, необходимо и достаточно, чтобы линейный оператор А , фигурирую щ ий в представлении (5.113), был самосопряж енным.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если А — сам осопряж енны й оператор, то, ис пользуя свойства скалярного произведения, получим
В (х, у) = (Ах, у) = (х, Ау) = (Ау, х) = В (у, х).
Таким образом, вы полняется соотнош ение (5.114), т. е. билинейная ф о р м а В (х, у) = (Ах, у) сим м етричная.
Если ж е ф о р м а В (х, у) = (Ах, у) сим м етричная, то справедливы соотнош ения (Ах, у) = В (х, у) = В (у, х) = (Ау, х).
С ледовательно, оператор А сам осопряж енны й . Т еорема доказана.
Введем |
понятие м атрицы |
линейного |
оператора А. П усть |
ei, ei, ..., |
en — какой-либо базис в n -мерном |
вещ ественном линейном |
|
пространстве L . П олож им Ае/, |
= |
|
168 |
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
Тогда, |
как и в комплексном случае, нетрудно показать, что если |
х = Y lk = 1 х к ^к, то д л я компонент вектора у = Ах справедливо пред
ставление у г = |
Y lk = 1 |
акхк • |
|
|
|
|
М атрица А |
= |
(а \) |
назы вается м атрицей линейного оператора А в |
|||
базисе {е/Д. |
|
|
|
|
|
|
А налогично |
тому, |
как это |
бы ло |
сделано в § |
2 настоящ ей главы , |
|
м ож но доказать, |
что |
величина |
det А |
не зависит |
от вы бора базиса и, |
тем самы м, корректно вводится определитель det А оператора А.
Характ ерист ическим уравнением , отвечаю щ им оператору А, н а зы вается уравнение det (А — AI) = 0 , а многочлен, стоящ ий в левой части этого уравнения, назы вается характ ерист ическим многочленом оператора А.
Д окаж ем теперь теорему о корнях характеристического много
члена самосопряж енного оператора в вещ ественном евклидовом про странстве.
Теорема 5.34. Все корни характеристического многочлена само
сопряж енного линейного оператора А |
в евклидовом пространстве ве |
||||||
щественны. |
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . П усть А |
= |
а |
+ |
ifd — корень характеристиче |
|||
ского уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
det (А |
- |
AI) = |
0 |
|
(5.115) |
|
сам осопряж енного оператора А. |
|
|
|
|
|
|
|
Ф иксируем в V |
какой-либо |
базис |
{ е Д и |
обозначим |
через ajk |
||
элем енты м атрицы |
оператора А в |
этом |
базисе |
(отметим, |
что ajk — |
вещ ественны е числа).
Будем искать ненулевое реш ение следую щ ей системы линейны х од
нородны х уравнений относительно £ i, £2 |
, • • •, £п : |
|
|
|
||||
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ ^ a j k ^ k |
= ^£j 5 j |
= |
1? 2 , . . ., |
71, |
(5.116) |
|
|
|
k = 1 |
|
|
|
|
|
|
где A = |
a + |
i/3. |
|
|
|
|
|
|
Т ак |
как определитель системы (5.116) равен |
det (А |
— AI) |
(на |
||||
помним, |
что |
определитель |
м атрицы |
линейного |
преобразования |
не |
||
зависит |
от вы бора базиса и, согласно |
(5.115), этот определитель |
р а |
вен нулю ), то система (5.116) однородны х линейны х уравнений имеет
ненулевое реш ение |
£*. = Хк |
+ |
Щкч к = 1 , 2 , ... , п. |
|
||||
П одставляя это |
реш ение в правую |
и левую части системы |
(5.116), |
|||||
учи ты вая при |
этом, |
что А |
= |
а |
+ |
г/3, и отд еляя затем вещ ествен |
||
ную и мнимую |
части |
полученны х |
соотнош ений, найдем , что |
наборы |
|
9. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
169 |
|||
(ад, Х2 , • • х п ) и (2/1 , ^ 2 , • • |
Уп) |
вещ ественны х чисел 27) |
удовлетворя |
||
ют следую щ ей системе уравнений: |
|
|
|||
^ 2 |
ai kXk = а х з |
~ Р у |
|
|
|
к = |
1 |
|
|
|
(5.117) |
п |
|
|
|
|
|
^ 2 а з к У к = а Уз + Д ? ’ |
3 = ! ’ 2 ’ • • •’ п - |
|
|||
е = 1 |
|
|
|
|
|
Рассм отрим в данном базисе e i, |
в 2 , . .. , е п векторы х и у с коорди |
||||
натам и ад, ад, |
. . х п и 2 / 1, 2/2 , • • |
Уп соответственно. Тогда соотнош е |
|||
ния (5.117) мож но переписать в виде |
|
||||
|
А х = <лх — /?у, |
А у = а у + /?х. |
|
У м нож им первое из полученны х соотнош ений скалярно на у, а вто
р о е — на х. О чевидно, получим равенства |
|
|
||||
(А х, у) |
= |
а (х , |
у) |
- |
/3(у, |
у), |
(х, А у) |
= |
а(х, |
у) |
+ |
/3(х, |
(5.118) |
х). |
Т ак как оператор А самосопряж енны й, то (А х, у) = (х, А у). П о
этому путем вы читания соотнош ений (5.118) получим равенство
|
|
£[(х, |
х) |
+ |
(у, |
у)] |
= |
0. |
|
|
Но (х, |
х) + |
(у, у) Ф 0 (если |
(х, |
х) |
+ |
(у, |
у) |
= |
0, то х к |
= 0 и у к = 0, |
к = 1 |
, 2 , . . . , |
гг; следовательно, реш ение |
|
= |
ад + iyu |
бы ло бы нуле |
вым, тогда как по построению это реш ение ненулевое. П оэтому /3 = 0,
а так как |
/3 — м ним ая часть корня |
Л = |
а + i/З характеристическо |
||
го уравнения (5.115), то, |
очевидно, |
Л — вещ ественное число. Теорема |
|||
доказана. |
|
|
|
|
|
К а к и |
в |
комплексном |
случае, |
д л я |
сам осопряж енного оператора |
справедливо |
утверж дение |
о сущ ествовании ортонорм ированного ба |
зиса, состоящ его из собственны х векторов этого оператора (аналог те орем ы 5.21). Д окаж ем это утверж дение.
Т еорем а 5 .35. У каж дого самосопряж енного линейного операто ра А, действующего в п-м ерном вещест венном евклидовом простран стве V , сущест вует ортонормир ованный базис из собственных век торов.
Д о к а з а т е л ь с т в о . П усть Л — вещ ественное собственное значение оператора A, a e i — единичны й собственны й вектор, отвечаю щ ий это му собственному значению (||ei|| = 1 ).
27) Напомним, что не все эти числа равны нулю.
170 |
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
|
|
||||
О бозначим |
через V\ |
(п |
— 1 )-мерное |
подпространство простран |
|||
ства V , ортогональное |
к |
e i. О чевидно, |
V\ — инвариантное подпро |
||||
странство п ространства |
V |
(т. е. если |
х |
Е Vi, то А х |
Е V .). Д ей |
||
ствительно, пусть х Е Vi; |
тогда (х, е 1 |
= |
0). П оскольку |
оператор |
А |
||
сам осопряж енны й и Ai — собственное значение А, получим (А х, еД |
= |
||||||
= (х, А еГ = |
Ai(x, е г ) |
= 0. |
|
|
|
|
|
С ледовательно, А х |
Е |
V., и поэтом у |
V\ — инвариантное подпро |
странство оператора А . П оэтом у мы можем рассм атри вать оператор А в подпространстве V \. Ясно, что в V\ оператор А будет сам осопряж ен ным. По теореме 5.34 у оператора А, действую щ его в Vi, имеется ве щ ественное собственное значение А2 , которому отвечает собственны й вектор в 2 Е Vi оператора А, удовлетворяю щ ий условию ||е 2 1| = 1.
О бращ аясь далее к (п — 2 )-м ерному подпространству V2 , ортого нальном у векторам e i и в 2 , и п овторяя только что описанны е рас суж дения, мы построим собственны й вектор ез оператора А, ортого нальны й векторам e i и в 2 и удовлетворяю щ ий условию ||ез|| = 1 .
Р ассу ж д ая и дальш е таким ж е образом, мы в результате найдем п
взаим но ортогональны х |
собственны х векторов |
e i, в 2 , . .. , |
е п операто |
р а А, удовлетворяю щ их |
условию ||еД | = 1 , fc = |
1 , 2 , . .. , |
п. О чевидно, |
векторы {е/Д образую т базис в V. Т еорема доказана.
З а м е ч а н и е . П усть e i, в 2 , ... , е п — ортонорм ированны й базис в n -мерном евклидовом пространстве V, состоящ ий из собственны х век
торов самосопряж енного оператора А , т. е. А е/, = А^е^. Тогда м ат
рица оператора А в базисе {е/Д явл яется диагональной, причем д и а гональны е элем енты имею т вид ак = А&.
О тметим, что если { е Д — произвольны й ортонорм ированны й ба
зис в вещ ественном евклидовом пространстве V, то м атри ц а самосо пряж енного оператора А будет сим метричной, т. е. А' = А . Верно и обратное утверж дение, т. е. если в некотором ортонорм ированном ба зисе {щ } м атри ц а оператора явл яется симм етричной, то оператор А —
сам осопряж енны й .
Этим вещ ественны й случай отличается от комплексного, поскольку в комплексном случае оператор А явл яется сам осопряж енны м тогда и только тогда, когда м атри ц а А этого оператора в ортонорм ированием базисе явл яется эрмитовой, т. е. элем енты а \ м атрицы А удовлетворя
ют условию а \ = а \ (черта означает комплексное сопряж ение).
У казанное утверж дение непосредственно следует из того, что если
(аД — м атри ц а |
оператора А, то |
м атри ц а сопряж енного оператора в |
вещ ественном |
случае р авн а (<Д), |
а в комплексном сл у ч ае — (а Д , что |
легко проверяется прям ы м вычислением .
2 . О ртогональны е операторы . В комплексном евклидовом про странстве важ ную роль играю т унитарны е операторы , введенны е в § 7.