книги / Строительная механика и металлоконструкции строительных и дорожных машин
..pdfдольную силу N, поперечные силы Qx, Qy \ изгибающие моменты Мх, Му \ крутящий момент Л/кр. При этом в сечениях появляются нормаль ные oN, х *°М и касательные TQ^, TQ , напряжения (ивдекса-
ми обозначены соответствующие внутренние силы), которые неравно мерно распределены по сечению, причем наибольшие напряжения дейст вуют в точках внешнего контура сечения (рис. 233, а). В различных точ ках внешнего контура напряжения также не одинаковы. Поскольку нор мальные напряжения перпендикулярны плоскости сечения, а касатель ные лежат в этой плоскости, прочность оценивают по эквивалентному на пряжению, определяемому по гипотезе удельной энергии формоизме нения:
0ЭКВ = v V +3т2 |
(2.94) |
где а —суммарное нормальное напряжение:
N |
Мх у |
М л,х |
||
0 = ± - |
|
|
|
(2.95) |
|
|
X |
|
у |
суммарное касательное напряжение: |
||||
т = ± |
± Тг |
■тм кр |
(2.96) |
|
Рис. 2.33. Схем® напряжений, действующих по внешнему контуру коробчатого сечения при сложном напряженном состоянии
Касательные напряжения в точках внешнего контура сечения, распо ложенных на вертикальных стенках, вычисляют по формулам:
TQу |
|
|
Jx bx |
|
|
|
(2.97) |
||
|
|
|
|
|
|
||||
тмл |
|
|
|
|
м кр |
------- [ i - ( |
— )2]. |
(2.98) |
|
|
кр |
|
26С ( * - « С) ( А - 6 П) |
А |
|
||||
при \у\ > |
(А - 25п)/2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
Ъ |
|
h2 |
Ь = Ъ ; |
|
|
|
S = — |
( — |
- у 2); |
|
|
|||||
'Qx |
= 0; |
|
|
|
|
(2.99) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
при lj»l < |
(А - 26п)/2 |
|
|
|
|||||
с |
|
|
ъ |
, |
h |
|
(А — 26С) |
(Л — 2 6 п)1 |
_.,2 |
S |
=— |
( |
--- - у 2) ~ ------------[ ---------- |
у 2]-, А = 2 5 с ; |
|||||
* |
|
2 |
4 |
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
Qx ( А - 6 С)1>>1 |
|
|
(2.100) |
||
TQx " |
|
|
2Л, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
щ е у - координата рассматриваемой точки контура сечения; Sx - статический мо мент относительно оси х части сечения, расположенной выше рассматриваемой точ ки; Ьх - ширина сечения на уровне рассматриваемой точки; прочие обозначения даны на рис. 2.33, б.
Напряжения в точках внешнего контура, расположенных на горизон тальных полках сечения, определяют по аналогичным формулам, кото рые нетрудно получить, повернув мысленно сечение на 90°. Знаки напря жений при их подстановке в формулу (2.96) зависят от направлений Qx, Qy, М и координат х, у рассматриваемой точки контура сечения (см. рис. 2 3 3 , 6 - г ) .
Из формул (2.94) (2.96) и эпюр, показанных на рис. 2.33, д, сле дует, что, не выполнив расчета, нельзя предсказать, в какой именно точ ке внешнего контура сечения эквивалентное напряжение будет макси мальным.
При расчете по методикам, излагаемым в научно-технической и учеб ной литературе, нередко допускают неточность, заключающуюся в том, что в условие (2.94) подставляют максимальные значения напряжений а и т, не учитывая, что они имеют место в разных точках сечения. Дейст вительно, а = атах в одной из угловых точек, а т = ттах - в одной из то чек внешнего контура, лежащих на оси симметрии сечения. Такой расчет недопустим, так как ошибка, идущая в запас прочности, может быть су щественной, что приведет к неоправданному увеличению массы конс трукции.
Желательно рассчитывать аЭКв Для множества точек внешнего кон тура по всему периметру сечения, что из-за большого объема вычислений требует использования ЭВМ. В противном случае необходимо, как
минимум, вычислить аЭКв в точках Л, В. С, D, Е (см. рис. 2.33, а) или же в аналогичных точках других квадрантов, в которых составляющие на пряжения имеют одинаковые направления. После выявления максималь ного эквивалентного напряжения его сравнивают с расчетным сопротив лением (или с допускаемым напряжением) для проверки прочности.
Приведенные формулы достаточно точны для коробчатых сечений при условии, что отношения Ь/8и и h/8c находятся в пределах от 5 10 до 55 ... 70. При более тонких стенках или полках требуется проверка их местной устойчивости.
2.6.2. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ТОНКОСТЕННЫХ БАЛОК
Прочность тонкостенных балок. Тонкостенными называют балки (стержни), у которых толщина б элементов (стенок) значительно (на порядок) меньше габаритных размеров поперечного сечения. Сечение тонкостенной балки определяется контуром (линией, проходящей посре дине элементов) и толщиной б.
Тонкостенные элементы из-за малой толщины не могут обеспечить жесткость всего поперечного сечения балки; оно перестает быть плоским в процессе ее деформации. Это явление называется депланацией сечения. Опорные закрепления и внутренние связи в балке препятствуют продоль ным перемещениям точек, стесняют депланацию, поэтому в сечениях воз никают дополнительные напряжения. Это наиболее характерно при стес ненном кручении тонкостенных балок открытого профиля. В сечениях балки возникают нормальные и касательные напряжения, соответствую щие особым внутренним силам: бимоменту В (z) и изгибно-крутильному моменту Мы (z) = dB/dz. Эти факторы, присущие только тонкостенным стержням, в отличие от других внутренних сил нельзя найти из уравне ний статики; их определяют из решения дифференциального уравнения стесненного кручения.
При расчете тонкостенных стержней на кручение вместо гипотезы плоских сечений используют гипотезу о недеформируемости контура: проекция контура на плоскость, перпендикулярную оси стержня, в про цессе деформации сохраняет свои размеры и форму. Вводится ряд новых геометрических характеристик, зависящих не только от линейных коор динат х и у точек сечения, но и от векториальной координаты со; она рав на удвоенной площади F сектора, образованного при вращении радиусавектора АМ0 по контуру сечения s до точки К (рис. 234, а) :
s
со = J r(s)ds,
о
где г - перпендикуляр, опущенный из точки А на касательную к контуру в точке К.
Точка А называется полюсом, точка М0 —начальной точкой отсчета. Поскольку секториальная координата имеет размер площади, ее также называют секториальной площадью. Знак со считается положительным, если радиус-вектор вращается по часовой стрелке. На рис. 234, £ - г по казаны эпюры линейных и секториальных координат для двутавра, а на рис. 2.34, д - эпюра со для швеллера.
7 - 5 5 5
В общем случае положения точек А и М0 надо определить.Если сече ние имеет одну ось симметрии, то точки А и М0 лежат на оси симметрии. В сечении с двумя осями симметрии полюс А совпадает с центром тя жести. Для определения положения точек А и М0 помимо обычных ис пользуют геометрические характеристики: секториальный статический
м о м е н т , = J сo2dF\ линейно-секториальные моменты,S ^x = J сoydF
F F
н 5 ыу = J coxdF. Определив положение точек А и М0, строят эпюру глав-
уF
ных секториальных координат (рис. 2.34,г, д ) . Далее определяют секто риальный момент инерции
• /„ = / сo2dF, |
(2.101) |
F
где со - главная секторнаяьная координата.
Для контуров, состоящих из прямолинейных элементов, эти интегра лы можно вычислять по правилу Верещагина (1.56) с учетом того, что dF=Sds.
Если плоскость действия поперечной нагрузки проходит через точку А, а не через центр тяжести сечения, то балка будет только изгибаться; поэтому полюс А называется центром изгиба. Если же плоскость дейст вия нагрузки не проходит через центр изгиба, то изгиб будет сопровож даться кручением балки.
Дифференциальное уравнение |
стесненного кручения имеет вид* |
* IV -k?<p" = m K E J j , |
(2.102) |
гдe<p=*p(z) - угол |
закручивания; т = dM/dz - внешний распределенный момент; |
к - так называемая |
изгибно-крутильная характеристика: |
k = sjG J jE J ui |
(2.103) |
здесь G - модуль упругости второго рода; / к - момент инерции при свободном кручении; для тонкостенных стержней открытого профиля
yK= - ^ EV b |
(2104) |
где а - коэффициент, зависящий от формы сечения и характера изготовления бал ки (например, для прокатного двутавра а = 1,2, для сварных балок с ребрами жесткости а = 1,5); Л/ и б,- - длина и толщина i-го элемента.
Выражая полный крутящий момент в сечении Мкр в виде суммы
Мк р =м ы + м °, |
(2.105) |
где Мы - изгибно-крутильный момент; М* - момент чистого кручения.
После интегрирования уравнения (2.102) получаем уравнение углов закручивания <p(z), записанное по методу начальных параметров. Для од ного участка балки
sh kz |
( 1 - c h kz) |
+ M,крО |
(k z -sh k z) |
V= <Л>+ W |
+ BQ |
kGJ„ |
|
|
GJ„ |
|
|
(k 2z 2/ 2 + 1 - c h t a ) |
|
|
|
+ m0 |
|
|
(2.106) |
k'GJK
где <0O - угол поворота сечения; <Ро - фактор депланации; В0 - бимомент; MKVQ - крутящий момент в начале координат; m0 =qe - распределенный момент в начале координат (е - эксцентриситет распределенной нагрузки q относительно центра изгиба); sh kz и ch kz - гиперболические функции.
Между статическими и кинематическими факторами при стесненном кручении имеются следующие дифференциальные зависимости:
и MLo=dB/dz = - E J ^ " \ |
(2.107) |
аналогичные зависимостям при изгибе :М = - EJv " и Q = - EJ\m Записывая выражения производных от функции <p(z) и используя
граничные условия на правом конце балки, определяют неизвестные на чальные параметры, а затем находят кинематические и и силовые факторы (В, А/^, М°) для любого сечения балки.
Нормальные напряжения от бимомента В
ав = В ф ^ |
(2.108) |
Эти напряжения распределяются в сечении по закону секториальных координат (рис. 2.34, г) и обычно соизмеримы с напряжениями изгиба. С учетом выражения (2.108) получают общую формулу нормальных на пряжений от действия всех силовых факторов в сече'нии:
а = |
N |
х + |
В со |
+ |
(2.109) |
F |
J |
со |
|
|
Аналогичным образом к касательным напряжениям от поперечных сил Qx и Qy и от крутящего момента чистого кручения М° добавляются касательные напряжения от изгибно-крутильного момента Ми . В тонко стенных балках открытого профиля они обычно значительно меньше ка сательных напряжений, обусловленных чистым кручением, и в расчете их можно не учитывать.
Поясним сказанное на примере. На рис. 2.34, е, изображена балка, на которую действует равномерно распределенная нагрузка q с эксцентриситетом е. Здесь <р0 = = О, В0 = 0 (из-за возможности свободной депланации на опоре), m0 = qe, AfKp0 = = —0,5 ml (по условиям симметрии). Неизвестный начальный параметр <*/0 опреде ляют из граничного условия: ^ = 0. После этого записывают уравнение <p(z) (2.106) и путем соответствующего дифференцирования получают выражения для Ф (z) , 2?(z), Мш (z) . На рис. 2.34, з представлены эпюры всех этих.факгоров. Бимо мент достигает максимума в среднем сечении балки (z = е/2):
т1
2? =- — |
( 1 ---------------). |
(2.110) |
|||
|
к 2 |
|
ch 0,5 ке |
|
|
Определим |
нормальные напряжения в балке двутаврового сечения I № 33 |
||||
(ГОСТ |
8 2 3 9 -7 2 ), |
условно изображенного на рис. 2.34, ж. Используя формулу |
|||
(1.56) |
в соответствии с рис. 2.34, в, получим |
|
|||
Jx = / y 2dF = 2[ (0,5 bh)0fih6n + (0,5-0,5 h O f h) (2Л/3) 6C ] = 9858 C M 4 |
|||||
|
F |
|
|
|
|
(по ГОСТ 8239 -72 |
= 9840 см4 ,расхождение 0,18 %); |
||||
J |
= f u>2d F = 4 [ (0,5-0,25 bh) 0,5 b (2/3) (0,25 bh ) ] 6n = 130 145 C M 6 |
||||
|
F |
|
|
|
|
Согласно выражению |
(2.104) момент |
инерции при чистом кручении / к = |
|||
= 20,11 см4 |
|
|
|
|
|
Полагая Е = 2,1-10* |
МПа и G = 0,8-105 |
МПа, из формулы (2.103) получим |
|||
Jfc = >/(0,8*20,11)/(2,1-130 145) |
с м '1. |
||||
При <7 = 1 0 |
кН/м, е = 0,5 см и / = 6 м находим ке = 4,6, ch4,6 = 49,747 и сог |
||||
ласно выражению (2.110): 2? = —8324 кН-см2.
Так как для данного сечения cjmax = 0,25 bh = 111,58 см2 , то на основании
формулы (2.108) |
|
|
8324-111,58 |
кН |
|
°Дгаах= 130 145 |
7,137 ------- = 71,37 МПа. |
|
|
см2 |
|
Максимальное напряжение от изгибающего момента М = ql2/S = 4500 кН-см1 : |
||
4500 |
16,5 = 7,546 |
кН |
аМтзх = “9^ |
------- =75,46 МПа. |
|
|
см2 |
|
|
|
|
Следовательно, согласно выражению (2.109)
"max = °Afmax + аВюах = 146*83 МШ-
Как видим, напряжение от бимомента в опасной точке сечения составляет почти 50 % от полного напряжения.
1%
При определении нормальных напряжений в балках замкнутого про филя в формулу (2.108) вместо координаты со вводят обобщенную секториальную координату
с о =с о - П к - ^ — |
, |
(2.111) |
*к |
|
|
где GJ —секториальная координата данной точки; |
Л к —удвоенная площадь, огра |
|
ниченная средней линией контура; s^ = £ (s/б) - |
приведенный периметр контура; |
|
s' = s/б - приведенная длина стороны периметра s. |
|
|
Для коробчатого симметричного сечения (рис. 2.35, а) |
||
2ЪН |
s |
(2.112) |
СО = СО ------------------------ |
, |
|
Z(s/6) |
б |
|
где б - толщина стенки или полки (бс или бп) .
В коробчатых тонкостенных балках из-за стеснения деформаций сдвига возникает стесненный изгиб. Закон распределения напряжений нельзя описать уравнением плоскости; напряжения в точках полки, рас положенных вблизи стенки, становятся больше, чем в средней части (рис. 2.35, б). Перенапряжения в углах сечения можно определить по формуле о = а0 (1 + к) , где о0 = My/JXi а коэффициент к зависит от отно шения ширины балки к ее длине: к - к (Ь/1).
Для шарнирно опертой по концам балки при симметричной нагрузке в среднем сечении, где депланация отсутствует, к= &тах = 1,75 Ь/1. По мере удаления от середины балки к опорам этот коэффициент умень шается.
Общая устойчивость тонкостенных балок. Балка, нагруженная в плоскости ее наибольшей жесткости, являющейся плоскостью симметрии, вначале изгибается только в этой же плоскости. Когда нагрузка достиг нет критического значения, плоская форма изгиба перестает быть устой чивой и балка выпучивается в сторону, испытывая при этом кручение и изгиб в плоскости наименьшей жесткости. Нагрузка и нормальные на пряжения в балке, соответствующие моменту потери устойчивости, назы ваются критическими (рис. 236).
Для определения критической нагрузки (которой могут быть сосре доточенная сила Р9сосредоточенный момент М или распределенная на грузка q) рассматривают новое деформированное состояние балки и составляют соответствующее дифференциальное уравнение равновесия подобно тому, как это делалось в задачах продольного изгиба.
Так, например, для шарнирно опертой тонкостенной балки, сечение которой имеет две оси симметрии, а сила Р приложена посредине, диф ференциальное уравнение имеет вид [3]
|
IV |
пт |
~ |
дм 2 |
„ 2 ___п |
EJ р |
шах |
||||
|
~ Ш р |
|
----------- |
2 ip - О, |
|
U)г |
|
|
|
l * E J „ |
|
|
|
|
|
|
где EJ^ - жесткость балки при совместном изгибе и кручении ("изгибно-крутиль- ная жесткость*1) ; G J K —жесткость балки при чистом кручении; E J y - жесткость
Рис. 2*35. Схемы для расчета тонко |
Рис. 2.36. Устойчивость тонкостенных |
стенных балок замкнутого профиля |
балок |
при изгибе в плоскости наибольшей гибкости; у = <p(z) - угол закручивания; z - координата сечения; Л/т ах - момент в среднем сечении (z = //2) .
Принимая приближенно функцию у = А sin (7rz//), удовлетворяющую граничным условиям, получают критическое значение ЛГт а х :
( n / l ) s / G J K E J y |
я* E J ^ |
(2.113) |
Л/ |
|
|
кр max |
G/K |
|
N/ 1/3 + 2/я а |
|
|
Если стесненное кручение не учитывают и считают, что |
= 0, то из |
|
выражения (2.113) получают Л/кр тах |
4 ,28 |
|
V GJKEJy (точное значе |
||
/
ние числового коэффициента в этой формуле равно 4,23).
В общем случае критическую силу для балок симметричного профи ля определяют по формуле, совпадающей по структуре с формулой Эй лера:
Ркр |
ку/ВС |
(2.114) |
где к — коэффициент, зависящий от вида нагрузки, точки ее приложения и от гра ничных условий для балки; В = E J y - жесткость балки при изгибе относительно вертикальной оси у ; С = G J K - жесткость балки при чистом кручении; ф - попра
вочный коэффициент, учитывающий стесненное кручение: Ф = у / 1 + (тг2£ 7а,)/(/3 х
х & £ ) ; / - свободная длина сжатого пояса.
Критические напряжения, соответствующие наибольшему моменту (2.113) или критической нагрузке (2.114), определяют по общей фор муле акр =MK?/WX. Например, при сосредоточенной силе посредине про лета
|
PKpl |
h |
ку/а |
ЕФ , |
|
кр |
— |
----------- |
2 Jx |
= -------- |
|
4 |
|
16 |
|
||
|
|
|
|||
ГДеа = 4 |
G J K |
l |
|
J v |
h |
------------ |
( -------- |
)a, |
a Ф = — - ( — ) a |
||
h |
* |
Значения коэффициентов к = /(а ) табулированы для различных ви дов нагружения балки (Справочник проектировщика. Кн. 2. М.: Стройиздат, с. 263 - 264).
Отметим, что на критические силы и напряжения влияет расположе ние нагрузки: на верхнем или нижнем поясе балки. В первом случае мо мент, возникающий при кручении балки, способствует увеличению де формации кручения, а во втором случае —препятствует.
Местная устойчивость элементов тонкостенных балок. Элементы тонкостенных конструкций балочного типа открытого или замкнутого профиля представляют собой пластины, которые при недостаточной тол щине могут потерять устойчивость раньше, чем наступит потеря общей устойчивости балки. Для увеличения сопротивления стенок и поясов (полок) потере местной устойчивости в составных балках устанавлива ют ребра жесткости или диафрагмы. В зависимости от места нахождения в балке элемент-пластина может испытывать нормальные напряжения от изгиба или от осевого сжатия, касательные напряжения, напряжения местного сжатия и их сочетания.
В шарнирно опертой по концам балке (см. п. 2.63), воспринимаю щей нагрузку в вертикальной плоскости, можно отметить различные зо ны характерных напряженных состояний. На участках, примыкающих к опорам, в стенках возникают преимущественно касательные напряжения (гт а х ; 0 ** 0)» в середине пролета —главным образом нормальные на пряжения (птах), в промежуточных участках (отсеках) в стенке дейст вуют нормальные и касательные напряжения (0 < а < от а х , 0 < г < < r max ). В зонах действия сосредоточенных сил в стенке возникают местные напряжения сжатия (смятия).
Каждому виду напряженного состояния соответствуют свои крити ческие напряжения (см. п. 2.23). Приведем некоторые расчетные форму лы [2].
Для опорных участков, где определяющими силовыми факторами являются поперечные силы, пластину рассматривают в состоянии равно мерного сдвига; в этом случае для стенки с учетом ее упругого защемле
ния в поясах критическое напряжение (МПа) |
|
ткр = [ 1250 + 950 (Ь/а)г ] (6/6)2-103, |
(2.115) |
где а и Ъ - большая и меньшая стороны пластины.
Коэффициент запаса местной устойчивости п0 = 7кр/т > л, где п — коэффициент запаса прочности. При этом касательные напряжения счи таются усредненными: г = Q/(hc8c) (где Q —среднее значение попереч ной силы в пределах отсека; Лс и бс - высота и толщина стенки).
Для средних участков, где определяющими факторами являются нормальные напряжения изгиба, критическое напряжение (МПа) для стенки коробчатой балки
а Кр = 7 4 6 0 (5 с /Л с ) 2103 |
(2Л16) |
Коэффициент запаса местной устойчивости п0 = оК^!о>п. При этом краевое напряжение о = M/W вычисляют по среднему значению М в пре
делах участка, если его длина не превышает высоты Лс; в противном слу чае принимают среднее значение М для наиболее нагруженной части отсе ка длиной, равной Лс.
Местную устойчивость стенок, укрепленных только поперечными ребрами жесткости, при совместном действии нормальных и касатель ных напряжений проверяют по формуле
V(a/ffKp) 2 + (т/ткр) 2 < 1, |
(2.117) |
где <7Кр и тКр определяют по выражениям (2.115) |
и (2.116). |
При использовании формулы (2.117) |
предполагается, что местные |
напряжения отсутствуют. Отметим, что действие сосредоточенных сил также может привести к потере устойчивости пластины. Устойчивость стенки балки при наличии местных напряжений проверяют в зависимос ти от установки поперечных и продольных ребер жесткости.
При изгибе балок в вертикальной плоскости поясной лист рассма тривают как пластину, находящуюся под действием равномерно распре деленных сжимающих напряжений по коротким сторонам. Для одно стенных балок рассматривают половину пояса (по одну сторону от стен ки) . Опорами этой пластины являются стенка и два соседних ребра жест кости. При длине пластины, намного превышающей ее ширину, окр = = 81 (бп/^ 1 ) 2 103 МПа (где бп —толщина поясного листа,аТ>2 —полови на ширины пояса).
В коробчатых балках сжатый пояс рассматривают как опертую по четырем сторонам пластину, на короткие стороны которой действуют равномерно распределенные сжимающие напряжения. В этом случае а кр = 1000(5п/^ )2 103 МПа. Более общие случае нагружения стенок и поясов балок рассмотрены в работе [2].
2.6.3. ОСОБЕННОСТИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ СОСТАВНЫХ БАЛОК
Составной называется балка, образованная из нескольких, как пра вило, сваренных прокатных профилей. По сравнению с прокатными сос тавные балки имеют ряд преимуществ: более равномерное распределе ние напряжений; возможность придания балке формы, наиболее соот ветствующей назначению конструкции; эстетичный внешний вид; мень шая масса. Основным недостатком составных балок является более вы сокая стоимость их изготовления.
Составные балки отличаются конструктивным разнообразием, одна ко наибольшее применение для строительных и дорожных машин полу чили балки замкнутого сечения, а из их числа —балки прямоугольного коробчатого сечения. Их применяют как самостоятельные элементы ме таллоконструкций или в составе более сложных конструкций.
Составная балка, изображенная на рис. 2.37, а, характерна для мосто вых конструкций, используемых на предприятиях строительной индус трии (в самоходных бункерах, бетоноотделочных машинах, съемниках, передаточных мостах и тд .) . При проектировании таких балок примени-