книги / Строительная механика и металлоконструкции строительных и дорожных машин
..pdfкости R3 отдельных элементов формируют матрицу жесткости R всей системы, входящую в систему канонических уравнений (см. п. 1.5.3):
RZ |
+ R p = 0, |
(1.169) |
где Rp - |
матрица узловых нагрузок. |
|
Следует отметить, что размер матрицы жесткости R всей системы определяется числом основных неизвестных Z —обобщенных перемеще ний узлов, которое зависит от граничных условий, симметричности си стемы и, естественно, от числа элементов, определяемого выбранной расчетной сеткой.
Ниже показано, как метод конечных элементов применяется для расчета прямоугольных пластин при действии поперечной нагрузки. При действии нагрузки в плоскости пластины последнюю рассчитывают мето дом конечных элементов в соответствии с уравнениями плоской задачи теории упругости [ 12], которая в этом учебнике не изложена.
Матрица жесткости для прямоугольного элемента пластины. Матри цу жесткости R3 для прямоугольного и, в частности, для квадратного
элемента |
пластины, отнесенного к локальной системе координат |
(рис. 1.61), выводят в следующем порядке. |
|
1. |
В каждый узел элемента пластины вводят одну линейную и две |
угловые связи, которым дают соответствующие узловые перемеще ния Z/. Задают функцию прогибов w (х, у) перемещений точек элемен та в виде ряда, имеющего 12 произвольных постоянных параметров д,- по числу независимых линейных и угловых перемещений Z узлов плас тины /, /, к, /. Эта функция, называемая функцией формы, должна удов летворять однородному дифференциальному уравнению, полученному из основного уравнения (1.142). Однородным оно является потому, что нагрузка действует в узлах и, следовательно, на поверхности конеч ного элемента q (х, у) = 0.
Обычно (но не всегда [ 4] ) разрешающую функцию w (х, у) записы
вают в виде неполного полинома четвертой степени |
(члены, содержа |
щие х 2у 2, х4 и у 4, отсутствуют): |
|
w(x, У) = а1 + а2 х + аъу + д4х2 + а5у 2 + а6ху + апх 2у + |
|
+ аъх у 2 + а9х 3 + а ю у3 + ахi х 3у + а12х у 3 |
(1.170) |
Рис. 1.60. Пластина и ее конечные эле- |
Рис. 1.61. Схема для вывода матрицы |
менты |
жесткости квадратного элемента пла |
|
стины |
2. В соответствии с выбранной функцией (1.170) составляют выра жения угловых перемещений dw/dx и 3w/3y для произвольных точек элемента, а затем записывают матрицу перемещений u(w; 3w/3x; bw/Ъу) в следующем виде:
u = L 7 , |
(1.171) |
где а - матрица-столбец (вектор) неизвестных независимых параметров д/; L - матрица коэффициентов, соответствующих выбранному полиному (1.170):
|
"1 |
X |
У |
X2 |
У2 |
ху |
х2у |
ху2 |
X3 |
У3 |
х 3у |
ху 3 |
|
L = |
0 |
1 |
0 |
2х |
0 |
У |
2ху |
у 2 |
Зх2 |
0 Зх2у |
у 2 |
||
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
2у |
X |
х2 |
2ху |
0 |
3у 3 |
х 3 |
Зху |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-* |
(1. 172) |
|
Таким образом, каждая строка в матрице-столбце U представляет |
|||||||||||||
собой |
функцию, зависящую |
от координат х и у. Задаваясь |
значения |
||||||||||
ми х |
и у |
в матрице |
(1.172), получают численные значения w, dw/Ъх и |
||||||||||
dw/Ъу в выбранной точке элемента, связанные с параметрами а\. |
|
||||||||||||
3. Подставляя в матрицу L последовательно координаты четырех |
|||||||||||||
узлов: i (х |
= 0, |
у |
= 0), |
/ (х = ау у |
= 0), |
к (х = а, |
у = Ь), |
I(х |
= 0, |
у = Ь), получают квадратную матрицу размером 12 х 1 2 , которая назы вается матрицей связи Н. Для квадратного элемента (b = а) матрица Н дана на с. 103.
Матрица связи Н позволяет выразить вектор узловых перемещений
-+ |
|
-> |
|
|
Z через вектор параметров а : |
|
|
||
Z |
= |
нГ. |
|
(1.173) |
4. На основании формулы (1.173) |
выражают вектор параметров а |
|||
через вектор узловых перемещений Z : |
|
|||
r |
= |
H -! Z , |
|
(1.174) |
где Н~* - |
матрица, полученная |
путем обращения матрицы Н; она называется |
||
матрицей влияния. |
|
|
||
Для квадратного элемента матрица Н _1 дана на с. 103. |
||||
5. На основании формул |
(1.171) и |
(1.174) получают вектор пере- |
||
|
|
-> |
|
->• |
мещений и , выраженный через вектор узловых перемещений Z : |
||||
u |
= |
L Н "1 Z |
|
(1.175) |
Из этой формулы видно, что линейные и угловые перемещения всех точек прямоугольного элемента выражены через двенадцать узло вых перемещений Z/.
6. |
Записывают |
вектор обобщенных относительных деформаций к , |
представляющих собой |
относительные кривизны при изгибе ( 1/р* = |
= 32 vv/3x2, IIру = b2w/by2) и кручении (l/pXy = b2w/dxdy) :
d 7w / b x 7
d7w/by2
д 2 w / дхду
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
а |
0 |
д2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
2д |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
а |
д |
да |
д2 |
0 |
1 |
0 |
2а |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
2а |
1 |
0 |
а |
0 |
да |
0 |
1 |
0 |
0 |
0* |
0 |
0 |
1 |
0 |
2д |
1 |
0 |
0 |
0 |
О |
0 |
1 |
0 |
0 |
О |
0 |
0 |
1 |
0 |
О |
-3/*’ |
-2/д |
0 |
З/Д8 |
-1/д |
-3/д2 |
0 |
-2/д |
0 |
О |
-1 /д2 |
—1/д |
-1/д |
1/д8 |
О |
З/а3 |
2/д* |
0 |
-3/д8 |
1/д8 |
3/а3 |
0 |
2/Д8 |
-3/д8 |
О |
2/д8 |
1/д8 |
0 |
—2/д8 |
1/д8 |
2/д8 |
0 |
1/д8 |
0 |
О |
-2/д4 |
-1/д8 |
0 |
2/Д4 |
-1/д8 |
-2/д4 |
0 |
-1/д8 |
2/Д4 |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
д8 |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
Зд2 |
О |
О |
О |
а |
д2 |
О |
О |
О |
д8 |
О |
да |
д8 |
д2 |
д8 |
д8 |
д4 |
д4 |
а |
2да |
д2 |
Зд2 |
О |
Зд8 |
д8 |
а |
д2 |
2д2 |
О |
Зд2 |
д8 |
Зд8 |
О |
О |
О |
О |
д8 |
О |
О |
д |
О |
А2 |
О |
О |
О |
д8 |
О |
О |
О |
О |
Зд2 |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
3/д8 |
О |
-1/д |
1/д |
-1/д2 |
О |
О |
1/д8 |
1/д |
О |
О |
3/д8 |
-1/д8 |
О |
-3/д8 |
- 2/д2 |
О |
—2/д2 |
3/д8 |
О |
-1/д2 |
-3/д8 |
0 |
1/д2 |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
О |
-2/д8 |
О |
1/д8 |
О |
-2/д4 |
1/д8 |
О |
2/д4 |
1/д8 |
О |
1/д8 |
-2/д4 |
О |
1/д8 |
2/д4 |
О |
-1/д8 |
о
ы
Вектор относительных деформаций к связывают с вектором пара метров а зависимостью, аналогичной зависимости (1.171) :
к = В а, |
(1.176) |
где В - матрица коэффициентов, полученных путем соответствующего дифферен цирования матрицы L;
‘ о 0 0 1 2 0 0 I1 2у 0 6* 1 0 бху 0
в = 0 |
0 |
0 |
1 |
2 |
»!!» |
2х |
• ! !6' |
0 |
6 |
1 0 |
|
|
|||||||
0 |
0 |
0 |
1 0 |
0 |
1 1 2х гу |
о 1! о Зх2 |
3У 1 |
С учетом зависимости (1.174) вектор относительных деформаций
к‘ = В Н -1 ? . |
(1.177) |
7.В соответствии с выражениями (1.139) вектор обобщенных внут-
|
|
|
—>• |
ренних сил (изгибающих и крутящих моментов) М : |
|||
|
М у |
|
|
М = |
Му |
|
|
|
мху |
|
|
связывают с вектором относительных деформаций к |
|||
М = |
Ск , |
|
(1.178) |
где С - матрица физических констант; для изотропных пластин |
|||
|
1 |
д |
0 |
|
М |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
(1-Д) |
здесь D - |
цилиндрическая жесткость пластинки, а д - коэффициент Пуассона. |
||
Подставляя зависимость (1.177) в выражение (1.178), получают |
|||
М = |
С В Н 1 Z |
|
(1.179) |
Таким образом, все внутренние силы в конечном элементе выра жаются через узловые перемещения2 ,-
8. Записывают в матричном виде выражение вариации плотности потенциальной энергии деформации элемента:
8W = (6 к )ТМ .
С учетом зависимостей (1.177) и (1.179) получают
s i v = (5 Z )T(H -‘ )TBTC B H _1Z
Следовательно, для всего элемента вариация потенцильной энергии деформации
5W = f |
SWdy = f ( S Z ^ H - ^ V C B H ' 1 Z dv. |
(1.180) |
V |
V |
|
Интегрирование ведется по объему v конечного элемента. Так как
матрицы Н -1 и (Н _1) т , а также матрица узловых перемещений Z ( в отличие от матриц В и Вт) не зависят от координат х и у, выражение (1.180) можно записать так:
5 W = (5 Z )T(H -‘ )T[ / ВТС В dv] Н ' 1 Z |
(1.181) |
V |
|
9. Записывают выражение работы узловых сил Р на возможных узловых перемещениях 8г:
8Л = (6 Z )TP |
(1.182) |
и из равенства выражения энергий (1.181) и (1.182) находят матрицу
сил Р:
Р = (Н -‘ )Т[ / BTC Bdv]H -* Z |
(1.183) |
V |
|
Следовательно, получена зависимость между внешними силами и узловыми перемещениями.
10. Так как узловые силы связаны с узловыми перемещениями общей зависимостью (1.117):
Р - R3Z , |
(1.184) |
из сравнения выражений (1.183) и (1.184) получают матрицу жесткости R3 конечного элемента:
R3 = (Н _1)Т[ / |
B ^ B d v J H ' 1 |
(1.185) |
V |
|
|
Производя соответствующие операции над выражением (1.185), пос |
||
ле подстановки координат х н у узлов i, jt k |
и / находят коэффициенты |
|
матрицы жесткости R3 для квадратного элемента. При д = 0,3 матрица |
||
R3 приведена на с. |
106 (при всех членах матрицы множитель D/5a2). |
|
Напомним, что каждый коэффициент r.k матрицы жесткости эле |
мента представляет собой реакцию в /-й связи от перемещения Zk = 1 . При этом rik = rki.
Порядок и пример расчета пластины. Порядок расчета поясним на примере квадратной шарнирно-опертой по краям пластины, на которую действует равномерно распределенная нагрузка q. Коэффициент Пуас сона Д = 0,3. Проведем расчет в грубом приближении, выбрав квадрат ную сетку со стороной я *= / / 2 (рис. 1.62, а) .
12,2а |
12,2 а |
-22,8 |
10,7 а |
2,8 а |
- 1,2 а |
4,3 а |
4,3 а |
-2 2 ,8 |
2 , 8 а |
10,7 а |
||
7,6 а1 |
1,5 д3 |
-1 0 ,7 а |
3,1 а2 |
0 |
- 4 ,3 |
д |
1,9 в* |
0 |
2 , 8 а |
2,4 а 3 |
|
0 |
|
7,6 а7 |
2,8 а |
0 |
2,4 а’ |
- 4 ,3 |
д |
0 |
1,9 а 3 |
- 10,7 а |
0 |
3,1 л3 |
|
|
|
52,8 |
- 1 2 ,2 а |
12,2а |
- 2 2 ,8 |
- 2 , 8 а |
10,7 а |
-7 ,2 |
- 4 , 3 а |
|
4,3 а |
|
|
|
|
1,6 а7 |
- 1,5 а* |
- 2,8 д |
2,4 а7 |
0 |
4,3 а |
1,9 а 3 |
|
0 |
|
|
Симметрично |
|
|
7,6 а1 |
-10 ,1 а |
0 |
ЗД А3 |
- 4 , 3 а |
0 |
|
1,9 а 3 |
|
|
|
|
|
|
52,8 |
|
- 1 2 , 2 а |
- 1 2 , 2 а |
-2 2 ,8 |
- 10,7 л |
|
- 2 ,8 |
|
|
|
|
|
|
|
1,6 а7 |
1,5 л3 |
10,7 д |
3 ,1 а3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7,6 д3 |
- 2 , 8 а |
0 |
|
2,4 л3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52,8 |
1 2 , 2 а |
- |
12,2 д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7,6 а 3 |
- |
1,5 д3 |
Рис. 1.62. Расчет пластины методом конечных элементов
1 . Определяем общее число неизвестных узловых перемещений Z и записываем систему уравнений (1.169). Здесь из-за наличия двойной симметрии будем иметь только два независимых ненулевых перемеще ния: Z\ - прогиб в центре всей пластины n Z 2 - обобщенное неизвест ное, определяющее углы поворота в узловых точках на краях. Следо вательно, система канонических уравнений имеет вид:
R w Z \ ^ ^-12^2 |
Rip = О» |
|
R 2 \ Z \ + R 2 2 Z 2 + R 2 p = Of |
||
где Rfo - |
обобщенные единичные реакции всей системы (в отличие от единичных |
|
реакций |
одного элемента). |
2. Формируем матрицу жесткости R системы, для чего определяем коэффициенты R.k. В данном примере можно, используя двойную сим метрию задачи, рассмотреть лишь четверть пластины (рис. 1.62, б). В соответствии с матрицей жесткости элемента получим
R 11 = r i i = 52,8£>/5д2 ; R l 2 = R 2 \ = r \ S + r 1>12 =
= -21,4D /(5*);
R 22 = rss + /*12,12 = 15,2£>/5.
3. Формируем матрицу нагрузки Р. Распределенную нагрузку заме няем эквивалентной узловой из условия равенства возможных работ узловых сил и заданной распределенной Нагрузки. При произвольно распределенной нагрузке q (х, у) [4]
а |
Ь |
|
Р = (Н -1) Т/ / |
LJq(x,y)dxdy. |
(1.186) |
О о |
|
По этой формуле находим сосредоточенные силы и моменты для каждого элемента. Затем для узловых точек суммируем соответствую щие силы, примыкающие к рассматриваемому узлу.
Обычно в уравнении (1.186) учитывают только первую строку матрицы L, получая, таким образом, лишь сосредоточенные силы, дейст вующие в узлах пластины (рис. 1.63, а). Эти силы в узлах суммируют. Моменты при густой сетке обычно не вычисляют, так как, во-первых, при уменьшении размера а их влияние быстро уменьшается, а, во-вто-
Рис. 1.63. Схемы, поясняющие формирование матрицы нагрузки
рых, для внутренних узлов пластины берется разность узловых момен тов ввиду их противоположных направлений.
При q = const для квадратного элемента узловые силы равны Р/4 =
= (<7а2) /4, а узловые моменты —М = (qa3 )/12. |
|
||||||||
Из рассмотрения |
стержневой |
модели (рис. 1.63, б), |
приближенно |
||||||
аппроксимирующей |
квадратную пластину, следует, что |
от нагрузки |
|||||||
Р = qa2, приложенной в центре перекрестной системы, возникают узло |
|||||||||
вые моменты Мх = Му = Pal8 = qcr /32. |
|
||||||||
4. |
Определяем свободные члены Rjp в соответствии с полученной |
||||||||
матрицей Р и решаем систему уравнений (1.169). Рассчитывая пластину |
|||||||||
в первом |
приближении |
(без |
учета узловых моментов), получим (для |
||||||
четверти пластины) R \p = |
- Р /4 |
и R 2p = 0. Следовательно, система |
|||||||
уравнений будет иметь вид: |
|
|
|
|
|||||
52,8Z j |
- |
2 |
\ M Z |
i |
= |
(5<7<J4 )/(4 £ > ); |
|
||
-21,4 aZi |
+ |
15,2a2Z 2 |
= 0, |
|
|
||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wmax |
= Z , |
= 0,003446ql*/D |
и Z 2 = 0,00970ql3/D. |
Отметим, что, разбивая каждую сторону квадратной пластины на четыре части, т.е. принимая а = //4, с учетом симметричности задачи получаем сеть неизвестных Z и wmax = 0,003939 q f /D [4]. Обратим внимание на то, что, рассчитывая эту же пластину методом конечных разностей, мы получили при а = Ц4 и решении задачи всего с тремя
неизвестными |
wmax |
= |
0,004028 ql4/D |
(точное решение wmax = |
|
= 0,004062 ql4/D). |
|
|
|
|
|
Решая эту же задачу при а = 1/2 более точно, с учетом узловых |
|||||
моментов, получим |
для |
четверти пластины узловые моменты М = |
|||
= -q a 2/ 1 2 ; |
с учетом двух |
введенных |
угловых связей в четверти |
||
пластины R2p = - qa2/6. Решая систему уравнений: |
|||||
52,8Z, - |
21,4aZ2 = |
( 5 ^ 4 )/(4D ); |
|
||
-21,4 aZx |
- \S,la2Z 2 = |
(5qas )/(24£>), |
находим Wmax = = 0,00425 ql*/D, что отличается от точного решения на + 4,75 %. Неучет угловых связей привел к погрешности 15 %.
Принимая значения узловых моментов по стержневой модели, по лучим wmax = 0,00375 ^ /4/Z), что ниже точного решения на 7,68 %.
5. Определяем распределенные изгибающие и крутящие моменты через найденные узловые перемещения Z по формуле (1.179), которую можно записать так:
М = С В Н 1 Z = Mo z
В матрицу М0 подставляют значения координат узлов. Определенный с помощью матрицы М0 [4] изгибающий момент в центре пластины Л/тах = 0,05720 ql2. При делении стороны пластины на четыре части (а = //4) Мтлх = 0,04873 ql2, что в 1,017 раза больше точного значения W nax = 0,0479 ql2). Решение этой же задачи методом конечных раз ностей при а = //4 и трех неизвестных давало заниженный результат: Мт*х= 0,0457 ql2
1.8. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ КОНСТРУКЦИЙ
1.8.1. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ
Общие понятия. Нагрузки на конструкции строительных и дорож ных машин чаще всего являются динамическими. От них возникают ускоренные движения масс и соответствующие инерционные силы. В большинстве случаев динамические нагрузки вызывают колебания систем.
Колебания систем могут быть свободными или вынужденными. Если систему вывести каким-либо импульсом из состояния равновесия, а затем этот импульс устранить, то она будет совершать свободные (собственные) колебания, во время которых происходит непрерывный обмен кинетической энергии и энергии деформации. При непрерывном действии переменной во времени вынуждающей (возмущающей) силы
P(t) система совершает вынужденные колебания.
Отношение значения какого-либо динамического фактора SWYl (например, внутренней силы или перемещения), вызванного силой P (t), к аналогичному статическому фактору 5СТ, вызванному статичес ки действующей силойЛпах> называется динамическим коэффициентом:
= *$дин/^ст. |
(1.187) |
В связи с тем, что в конструкциях всегда имеются силы сопротив ления (например, внутренние силы трения), поглощающие энергию, свободные колебания совершаются не бесконечно, а со временем зату хают. Фактор затухания влияет и на вынужденные колебания и, в част ности, на динамический коэффициент.
Основными динамическими характеристиками системы являются частоты и соответствующие им формы собственных колебаний. Эти характеристики зависят от числа степеней свободы системы. Под динамической свободой понимают возможность перемещений масс с учетом имеющихся связей и характера деформаций элементов системы. Число
степеней свободы лд плоской системы равно удвоен fact \т, |
тг<cwjj |
ному числу сосредоточенных масс, поскольку каждая |
|
сосредоточенная масса обладает на плоскости двумя |
|
степенями свободы, если считаются возможными все виды деформаций элементов системы. Если же
какие-то виды деформаций невозможны или ими можно пренебречь, то число степеней свободы лд уменьшается. Обычно в плоских рамах и балках перемещения точек определяют только деформациями изгиба. 1
На рис. 1.64, а изображена балка с двумя сосредоточенными массами. В общем случае число степеней свободы этой системы равно четырем. Однако, если учиты
вать только деформации изгиба |
балки и считать EF = |
то перемещения масс |
вдоль балки будут равны нулю; |
таким образом лд = 2. На рис. 1.64, б, в показаны |
две возможные формы колебаний этой системы. Если жесткость балки намного больше жесткости упругой опоры В и можно считать, что EJ = EF = » , то* лд = 1, так как положение балки в любой момент времени определяется одним парамет ром - углом <р (рис. 1.64, г ) .
В общем случае число степеней свободы определяется минимальным числом наложенных связей, устраняющих перемещения всех масс. Если нет необходимости учитывать инерцию вращающихся масс, то накладываются только линейные связи. Например, для системы, изобра женной на рис. 1.64, д, лд = 4 (рис. 1.64, ё) . Отметим, что эта рама один раз статически неопределима и 5 раз неопределима кинематически.
Число степеней свободы системы с распределенной массой равно бесконечности. В расчетах конструкций распределенную массу обычно заменяют несколькими сосредоточенными массами, используя различ ные способы их приведения.
Колебания системы с одной степенью свободы. Рассмотрим простей шую модель системы с одной степенью свободы —массу ту подвешен ную на невесомой пружине и нагруженную возмущающей силой Р( t), которая представляет собой произвольную функцию от времени t (рис. 1.65, а). Пусть пружина обладает жесткостью с = гх х (податли вость пружины равна д ц = 1 /с). В дальнейшем эта пружина будет опре делять любую упругую связь системы.
Для описания движения массы составим общее динамическое урав нение равновесия. Будем отсчитывать перемещения .у от того положения массы, в котором она находилась до действия на нее силы P(t). Поло жительные перемещения .у, скорости у, ускорения у, а также положитель ные силы будем считать направленными вниз.
При отклонении массы т на величину у на нее кроме силы P(t)
по