книги / Оптимизация параметров импульсных и широкополосных усилителей

относительной погрешности в заданном интервале или же максимального интервала изменений аргумента, в котором погрешность не превышает допустимую. Мож­ но существенно расширить интервал аппроксимации без увеличения погрешности, если воспользоваться инте­ гральным методом приближения функций [6]. По этому методу конструирование полинома

П

р„ (х)= 2 а‘х‘’

/=о

аппроксимирующего функцию у(х) на интервале [а, Ь], начинается с приближения не самой функции, а ее п-й производной. Старший коэффициент ап полинома опре­ деляется из равенства

представляющего собой условие выравнивания площадей, ограниченных кривыми у№ (х) и Р^1) (л:) и осью абсцисс

на интервале аппроксимации. Отсюда

Так же находятся остальные коэффициенты, за исключением свободного члена, определяемого услови­ ем Р п( а ) = у ( а) • Нетрудно показать, что тогда выпол­ няется и равенство Рп(Ь) —у(Ь).

Таким образом, значения функции и аппроксимирую­ щего полинома совпадают на концах интервала аппрок­ симации. Значения их производных в рассматриваемом

31

интервале получаются достаточно близкими, что обеспе­ чивает хорошее приближение и самой функции.

Воспользуемся изложенным методом для аппрокси­

Аналогично найдем коэффициент сц, потребовав вы­ полнения равенства

С(е*)' dx = f Р\ (х) dx.

тельную погрешность, не превышающую 2% в интерва­ ле [— 1,1; 0]. Сводная таблица коэффициентов полино­ мов, используемых в дальнейшем для аппроксимации экспоненты, приведена в табл. 1-6. Там же указана гра­ ница I интервала аппроксимации •[—/, 0] и наибольшие относительные погрешности |е макс1 % .

Интегральная аппроксимация, по-видимому, исчер­ пывает возможности аналитических методов приближе­ ния функций. Дальнейшее улучшение качества аппрок­ симации в смысле уменьшения максимальной погрешно­ сти в заданном интервале без повышения порядка полинома возможно только с помощью численных ме­ тодов.

32

ные относительные отклонения 6o(*t) полинома от аппроксимирующей функции и точки Хи в. которых они

достигаются.

Находится поправка А ^ 0) (*) к полиному нулевого приближения и образуется полином первого приближения

( * ) + ЛРГ (•*)•

Этапыповторяются до выравнивания модулей экстремальных относительных отклонений с заданной

точностью. 'Процесс выравнивания показан на рис. 1-12.

На рис. 1-13 показаны зависимости максимальной отно­ сительной погрешности приближения и коэффициентов полиномов Рг(х) и Рг{х) от длины интервала аппрокси­

мации. В табл. 1-6 приведены данные для двух полино­ мов. По сравнению с интегральной аппроксимацией полиномом второй степени при |еМакс|=2% наблюдает­ ся расширение интервала в 1,29 :раза, а полиномом третьей степени при |еМакс| =3% — в 1,47 раза.

Погрешность расчета при аппроксимации экспонент полиномами зависит от расположения корней рп. Пусть каждая экспонента вычислена с погрешностью еп, тогда

34

относительная погрешность определения ПХ равна:

в меньшую сторону. Это вызвано тем, что коэффициен­ ты Ап зависят от расположения всех полюсов и нулей и

могут значительно отличаться по величине, а также иметь разные знаки. Поэтому необходимым условием хорошей точности при использовании аппроксимирую­ щих формул является использование полиномов, обеспе­ чивающих близкое приближение к ПХ в возможно боль­ шем интервале времени. Однако этого недостаточно. Для оценки погрешности расчета можно после нахожде­ ния нормированной длительности импульса определить искажения вершины с помощью используемого полинома и полинома более высокого порядка. Если их разность превышает допустимую погрешность расчета 8ДОп, то

длительность импульса следует уменьшить. Если раз­ ность меньше еДОш то полученный результат достаточно близок к точному, даже если для наибольшего по абсо­ лютной величине корня произведение \pn\tvi превышает

величину допустимого интервала аппроксимации.

В этом случае большая относительная погрешность

б) Коррекция вершин одиночных прям оугольны х им пульсов

1. Коррекция одним элементом. Для синтеза параме­ тра коррекции аппроксимируем ПХ усилительного ка­ скада полиномом второй степени

во м’нотих практических случаях. Так, например, в схеме коррекции вершин импульсов с помощью цепи Сф#ф в ламповом усилителе

Результаты расчетов по формуле (il-24) достаточно точно совпа­ дают с графиками, приведенными в приложениях к монографиям [9, 10] и рассчитанными по точным зависимостям. Подобные же гра­ фики используются для расчета транзисторных усилителей (11].

Рассмотрим такой вариант коррекции, в котором па­ раметры каскада выбираются из условия компенсации линейной составляющей ПХ, и определим искажения, создаваемые квадратичной составляющей. В этом слу­ чае ПХ каскада имеет вид, изображенный на рис. 1-14.

36

при этом необходимо выполнение условия

а абсолютная погрешность

А- —A“i = (СС23—Ct22)'P2^2H+Ct33p3^3u.

С учетом условия Pi=0 это дает:

А- —А- 1=0,1404 (а2—b2) t2n +

+ 0,0617 [ (а3—Ь3) —bi (a2—b2) ] t\u

Представляет интерес вопрос о суммировании иска­ жений вершин одиночных импульсов в многокаскадном усилителе. При наличии закономерностей суммирования расчет многокаскадного усилителя сводится к рассмо-

37

трению одного каскада. Такая задача значительно про­

ще, чем использование общих формул для расчета все­ го усилителя в целом.

Определим изображение ПХ s-каскадного усилите? ля, составленного из каскадов, собранных по одинако­ вой схеме, но имеющих разные параметры коррекции. Считая, что взаимное влияние каскадов отсутствует, по­ лучаем изображение ПХ усилителя

Н (р)— Н\ (р) Нг (р) ... Hs (р) =

где

e'«= 2 a><-; 6' - = S 6ir;

Остальные коэффициенты интереса не представляют. Для. .того чтобы линейная составляющая спада импульса отсутствовала, необходимо выполнить равен­

ство

a'i=&'i

или, иначе,

Условию, (1-30) удовлетворяет множество сочетаний параметров отдельных каскадов. Особый интерес пред­ ставляет вариант, в котором линейная составляющая спала скорректирована в каждом каскаде, т. е.

а1г=&1Г. (1-31)

38

Тогда выражение (1-27), определяющее квадратич­ ную составляющую спада вершины, с учетом (1-31) зна­ чительно упрощается и принимает вид:

Г=I

Слагаемые этой формулы определяют спад в отдель­ ных каскадах. Значит, в случае компенсации линейных составляющих спадов в каждом каскаде усилителя квадратичные составляющие складываются:

Если усилитель состоит из одинаковых каскадов, то

A“ = sAy\

Можно корректировать вершины одиночных импуль­ сов несколько иначе, допуская небольшой подъем пло­ ской вершины импульса и подбирая параметры коррек­ тирующих цепей так, чтобы вы­ полнялось условие

импульса считается параболической с максимумом в мо­ мент времени t = t ul2 . Тогда условие (1-33) принимает

РИД:

тт

рткуда определяется длительность импульса

39

Величина подъема вершины Д+ определяется следую­

щим образом:

т т

определения t u запишем условие (1-33) с точностью до

членов третьего порядка:

тт

40