книги / Оптимизация параметров импульсных и широкополосных усилителей
..pdfй |
отыскивается |
min Q. |
Здесь |
Й — граничная частота на |
заданном |
|||
уровне АЧХ; |
т |
— число |
экстремумов АЧХ; |
В,-= 0 , если |
lAM i-l^ |
|||
< |Л М |; PJ = |
1, если |
|AMia| > |ДМ|. |
|
|
||||
|
Данный усилитель представляет собой систему пятого порядка, |
|||||||
но имеет только два |
параметра коррекции, и число экстремумов АЧХ |
|||||||
не |
.превышает |
|
двух. |
Отметим |
небольшое |
нарушение ограничений |
||
в |
результате оптимизации (строка 1 табл. |
3-6), где МНакс ='1,056. |
Увеличением коэффициента а это нарушение можно было бы устра нить.
При оптимизации методами нелинейного программи рования, в том числе и методом обобщенного критерия,
выбор разных начальных точек приводит, как правило, и к разным конечным точкам. Точки, полученные после оптимизации, могут весьма заметно отличаться значе ниями параметров системы, но имеют очень близкие значения критерия оптимизации.
На рис. 3 -10 и 3 -11 показан процесс оптимизации полосы пропус
кания усилителя (рис. 1-7) с автотрансформаторной коррекцией на плоскостях параметров k^ki и koka при <?=0; *=0,7; ДЛ1^0,05. На
чав оптимизацию в трех начальных точках Ai, Аг, Аз, получили оптимальные точки В i, В*, Вз, в которых граничная частота состав
ляет 3,95; 3,88 и 3,89 соответственно. При этом на рисунках показано несколько промежуточных точек, располагающихся в вершинах лома ных траекторий (проведенных сплошными линиями). Около каждой траектории на рнс. 3-10 указано число обращении к расчету параме
тров модели (полосы пропускания и экстремумов АЧХ). Большое
9* |
131 |
число таких обращении — недостаток, свойственный всем методам нелинейного программирования.
Метод |
обобщенного |
критерия позволяет |
включать |
в число |
ограничений |
самые различные |
требования |
к свойствам системы. Так, в случаях, когда усилитель используется для усиления видео- и радиоимпульсов, важно иметь хорошую форму АЧХ и ПХ. Полное удовтворение всех требований к этим характеристикам не
возможно. Поэтому принимаются компромиссные реше ния. Можно, например, оптимизировать параметры уси лителя по критерию maxiQB при ограничениях на экстремумы АЧХ ДМ ^а и на выбросы ПХ В ^ Ь .
На рис. З-llO и 3-11 пунктиром показан процесс оптимизации из тех же начальных точек Ai, Аг, Аз, когда введено дополнительное ограничение В ^ 3%. Ранее полученные точки B i, Вл, Вз не удовле
творяют этим ограничениям, так как выбросы ПХ составляют 5— 1 2 %. В точках C i, Сл, С3 выполняются все ограничения как в частот
ной, так и во временной областях. Граничная частота в этом случае меньше, чем для точек В i, В 3 и Вз, и составляет '3,86; 3,8 и 3,78 со
ответственно. При введенных дополнительных ограничениях возрас тает число обращений к вычислению параметров модели и время оптимизации увеличивается.
132
Глава ч е т в е р т а я
ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ КОРРЕКЦИИ ПО СТАТИСТИЧЕСКИМ КРИТЕРИЯМ
4-1. АБСОЛЮТНЫЕ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ЧУВСТВИТЕЛЬНОЕ
ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКА
При серийном изготовлении и эксплуатации широко полосных и импульсных усилителей большое значение имеет определение разброса их параметров. Разброс мо жет быть вызван случайными отклонениями величин элементов схемы от номинальных значений, старением и температурными изменениями.
Если известна функциональная зависимость между параметрами электронной цепи и параметрами ее эле ментов, то в принципе можно оценить нестабильность параметров цепи при произвольных изменениях элемен тов. Однако решение этой задачи прямым путем в каж дом конкретном случае производится по-разному, при водит к громоздким выражениям и не всегда выполнимо. Для облегчения исследования функциональную зависи мость, заданную аналитически или определенную экспе риментально, разлагают в ряд Тейлора. Обычно исполь зуются только линейные члены разложения, что сильно ограничивает возможные вариации элементов. Рассмо трение линеаризованной зависимости не позволяет су дить о реальной стабильности «в большом» и серийноспособности аппаратуры, так как производственный раз брос параметров активных элементов и уход параметров во времени значительно превышают те отклонения, при которых линеаризация дает удовлетворительную точ ность. Учет квадратичных членов разложения позволил бы существенно расширить интервал допустимых изме нений элементов схемы. Но практическое осуществление такого расчета для конкретных цепей затруднительно из-за большого числа элементов, влияющих на рассма триваемый параметр, и сложных функциональных зави симостей. В частности, это относится к определению параметров АЧХ, ПХ и их изменений. Для упрощения и унификации методики расчета электронных усилителей расширим классическое определение чувствительности [52] и введем обобщенные чувствительности первого и второго порядка, связывающие относительные изменения
133
параметров элементов с абсолютными или относитель ными изменениями параметров цепи.
Пусть связь рассматриваемого параметра цепи у и параметров элементов хи Хг, . . хп задана функциональ
ной зависимостью
y=f(xь *2, • ••, хп). |
(4-1) |
Относительную чувствительность первого порядка параметра у к параметру xq определим в общепринятой
классической форме
—д У
6 ' Х Ч ~ ~ д Х д |
У • |
Абсолютной чувствительностью первого порядка на зовем величину
Т у |
— |
д у г |
1 |
хп~ |
дх„ х <- |
Для учета влияния квадратичных членов разложе ния введем чувствительность второго порядка
Wtx = ^ — Snx ,
Х Ч |
a In X q |
X Q* |
абсолютную чувствительность второго порядка
Пу — -Ё.— fy
^ Х <1 |
a In X q |
X Q |
и смешанные относительную и абсолютную чувствитель ности
W*XqX _ |
д |
Syxr (q ф г); |
г |
д In X q |
|
Qyxqx = |
_ д ____ |
Ty*r (Я^=г). |
г |
д In Хц |
Введенные функции чувствительности в некоторой мере аналогичны частным производным первого и вто рого порядка, но связывают приращения функции не с абсолютными, а с относительными приращениями аргументов. Правила вычисления их для функций мно гих переменных и сложных функций также несколько иные, чем для производных. В практических расчетах удобнее пользоваться чувствительностями, а не произ водными, так как относительные чувствительности — безразмерные величины, а абсолютные чувствительности
134
всегда имеют размерность исследуемого параметра. Экспериментальное определение их тоже проще, чем производных.
Нетрудно показать, что абсолютные и относительные чувствительности связаны следующими соотношениями [53]:
|
Tvxq= yStjxq\ |
(4-2) |
Q \ = y W \ + ( S \ n |
||
Qxqxr = |
у W yxqxr 4" SyXqSUxr ]• |
|
Если функция |
многих переменных у |
разлагается |
в ряд Тейлора, то ее приращение может быть пред ставлено в виде
Ay = с / |
у d4j, |
(4-3) |
где |
|
|
d y = ^ J x qdX<]' |
|
|
<7=1 |
|
|
‘' • » = S S w + 2 S S 4 f e x |
|
|
<7=1 |
<7=2r<<7 |
|
|
п |
|
X dxq dxr + |
^ dzXq. |
(4-5) |
|
<7=1 |
|
Выразив первый и второй дифференциалы через от носительные приращения и чувствительности и предпо лагая, что Хи . . хп— независимые переменные и по
следняя сумма в выражении (4-5) равна нулю, получаем абсолютное приращение параметра
* » = Ё ’ ч |
к - й Г ] + |
<7=1 |
п |
п |
+ т У ) Qy*q |
4" YJ |
V! Q y X q X r ^Xq^Xr. |
(4-6) |
<7 = 1 |
< ? = 2 |
r<q |
|
Заменив в этой формуле абсолютные чувствитель ности через относительные с помощью соотношения
135
(4-2), получим относительное приращение Ьу параметра цепи у:
Ъ у = J ] |
+ 4 - J J w |
\ - S v Xq + |
|
<7=1 |
<7=1 |
|
|
+ (S % |
) 2 1 &Х й)2" Ь У ] 5 ] |
(W°XqXr + |
|
|
q=2r<q |
|
|
|
S^Xq^^x,- ) bXqbXr. |
(^*7) |
Выражения (4-6) и (4-7) целесообразно применять в тех случаях, когда функция у не является сложной и
чувствительности легко определяются. При анализе, на пример, переходных процессов в усилителях параметры импульсов (выброс, спад, длительность фронта) нахо дятся с помощью преобразования Лапласа и вычисление чувствительностей затруднительно. Здесь удобно рас сматривать зависимость (4-1) через промежуточные па раметры— коэффициенты изображения ПХ.
Пусть параметр у является сложной функцией аргу ментов xif х2, . . хп, связанных с промежуточными пе ременными zu z2, . . z™, т. е. y = F (z u z2, ..., zm), где Zi=(pi(Xi, ..., xn), z2=(p2(xii ..., xn) и т. д. Рассмотрим
сначала более простой случай, когда промежуточные пе ременные Z{ являются функциями одного аргумента х.
Тогда чувствительности, входящие в формулу (4-6), вы ражаются через промежуточные переменные следующим образом:
т
7 4 = 2 Т"г‘S* ’
/=1
т
Q " * = 2 [Q 4 ( S > + 7 4 , R+] +
i=l
m
+ 2 3 2 Q ' . f . j W 1=2}<l
Формулы для вычисления сложных относительных чувствительностей аналогичны, только вместо абсолют ных чувствительностей Ту и Qy к промежуточным пере менным входят относительные чувствительности Sv и Wv.
Используя определения полного дифференциала пер вого и второго порядка, можно показать, что в случае
436
нескольких независимых переменных необходимо в фор мулах (4-4) и (4-5) относительные приращения, завися щие от х, заменить следующими выражениями:
П
S jb x |
2 |
S l ^ |
|
s l № > |
|
9 = 1 |
|
|
<?=1 |
|
w2‘ { i x y ~ 2 |
ll,/l w + |
||
|
|
n |
9 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2 S |
2 |
K * r * x <tXr- |
|
|
9 = 2 |
г< 9 |
|
Таким образом, абсолютное приращение параметра цепи, зависящего от изменении величин элементов Хи *2, . . хп, определяется формулой
т
*у = 2
/= I
m (9=1Srt .s : >
m
п
|
|
s * > |
+ |
|
9= 1 |
п |
|
ч |
2 |
m |
|
|
|
|
772/ |
) |
|
+ - f S r , * ' E ( r |
|
i |
|
i=l |
9=1 |
|
|
n |
|
- S 2‘ )(bxqy |
+ |
2 |
|
S |
|
|
|
|
m |
|
1= 1 |
q=2r<q |
\ |
|
|
||
|
/ n/I |
|
n |
|
|
(4-8) |
||
i=2 j<l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.9 = 1 |
|
<7=1 |
|
|
|
|
|
Для определения относительного изменения by необхо- |
||||||||
мо TvZl, Q^zi» Qyzi zj |
выразить через |
Svzi, |
Wvzi, |
2j |
||||
с помощью формул (4-2). Тогда получаем: |
|
|
||||||
m1\ |
п |
|
|
|
/ m |
|
|
|
i= l |
9 = 1 |
|
m |
ч = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (S^ ) * 1 ( s |
|
|
+ |
s |
s |
К |
- |
|
1 9 = 1 |
|
'm |
J |
i = l |
|
9= 1 |
|
|
|
|
|
n |
r7l |
|
|
||
- s l ) ( b x qy ) + 2 s , 'i 2 |
|
|
|
|||||
2 |
K |
^ |
x ' + |
|
||||
|
|
/=1 |
9=2 r<9 |
|
|
|
|
m |
(4-9) |
|
+ 2 2 ( ^ i ^ + s ^ s ^ ) f s s > ' « 2 5 > > V |
||
|
\ 9 = 1 |
^= 1 |
/ |
Несмотря на сложность окончательного выражения (4-9), применение промежуточных переменных облегча ет решение задачи. Чувствительности параметра цепи у
(выброса, спада и т. п.) к промежуточным переменным Zi (коэффициентам изображения ПХ) определяются
1 раз для целого класса цепей. В каждой конкретной цепи этого класса приходится рассчитывать только от носительные чувствительности промежуточных перемен ных Zi к параметрам варьируемых элементов цепи хч.
Часто из характеристик определяется чувствитель ность искомой величины у (например, сов, Тф), но выра
женной в другом масштабе г/i. Причем нормирующий
множитель z0 также зависит от величины |
элемента х, |
по которому определяется чувствительность: |
|
y=yiZo{x). |
(4-10) |
Тогда искомая чувствительность определяется в виде |
|
5 ^ = 5^ + ^ ° . |
(4-11) |
Если же нормирующий множитель не зависит от х,
то
Svx=S?x'.
Чувствительности второго порядка определяются ана логично.
Применим установленные правила для определения
относительных |
приращений |
длительности |
фронта |
Тф = т:/ф55/ bn (z0 = |
blJ n) и граничной частоты |
|
|
|
а ,= -Н ш .(2. = & „ " ) . |
|
V Ьп
Для этого в общей зависимости (4-7) необходимо SvXo |
|||
WvXq и WvXqxr заменить |
суммами |
|
ЧJ |
чувствительностей в со |
|||
ответствии с (4-11): |
|
|
|
П |
П |
|
|
^ = 2 w , + s y bx<+ 2 |
I K - s *; + |
+ |
|
|
,=i |
^ |
|
+ |
^ + £ S {Wv r + |
|
q = 2 r < q |
++ s ^ l + K ; * r+ % sx+s; s«;r)
138
Зависимость выходного пара |
|
|||
метра у от исходных параметров |
|
|||
xq в этом случае схематически по |
|
|||
казана |
иа рис. 4-1. |
|
Влияние па |
|
раметра xq на у через у\ учиты |
|
|||
вается |
членами, |
содержащими |
|
|
только |
xq и у\. Их |
связь через |
|
|
промежуточные параметры ^рас |
|
|||
крыта в выражении |
(4-9). Осталь |
|
||
ные члены формулы (4-12) опре |
|
|||
деляют |
зависимость |
выходного |
|
|
параметра у от xq через г0, а так |
|
|||
же влияние одновременного изме |
|
|||
нения Zi и Zo при изменении Xq. |
Рис. 4-1. |
|||
Поэтому в рассматриваемом слу |
|
|||
чае для |
учета влияния ZQ правую часть формулы (4-9) |
|||
необходимо дополнить суммой |
|
|||
|
П |
|
П |
|
|
<7=1 |
|
<7=1 |
|
|
|
<7=2 r<<7 |
|
|
+ |
^ ; + s ^ ;)8 * ,s * r, |
(4-13) |
а у |
заменить yx. Практически расчет при этом почти не |
||
усложняется, так как в большинстве схем W2? = |
= 0 , |
||
|
|
xq |
xqxr |
a |
равна ±г 1 jn |
или нулю. |
|
4-2. СТАБИЛЬНОСТЬ ПЕРЕХОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
а) Стабильность длительности фронта и выброса
Длительность фронта Тф и выбросы в ПХ усилителя сложным образом зависят от его параметров, входящих в коэффициенты изображения ПХ. Это обстоятельство затрудняет как определение стабильностей длительности фронта и выброса при изменениях параметров цепи, так и нахождение допусков на отдельные элементы. В прин ципе можно было бы вычислять ПХ при каждом рас сматриваемом сочетании параметров и определять дли-
} 39
тельиость фронта в каждом случае. Однако при оптими зации переходного процесса в усилителе обращение к процедуре вычисления ПХ происходит настолько ча сто, что время, затрачиваемое на расчет, становится не допустимо большим даже для быстродействующих ЭВМ. Поэтому необходимо искать косвенные пути исследова ния отклонений параметров ПХ. Один из возможных вариантов — использование сложных чувствительностей первого, а при необходимости и второго порядка. Пусть дважды нормированное изображение ПХ имеет вид:
т |
|
|
1*Т |
giP1 |
|
h(p) = ----- ---------------- |
> |
(4-14) |
1+ 2 |
djpi -f pn |
|
/=1 |
|
|
а старший коэффициент характеристического уравнения до повторной нормировки равен Ьп. Тогда относитель
ная чувствительность длительности фронта к параметру схемы хч в соответствии с (4-11) будет равна:
где Тф — длительность фронта в масштабе, соответствую щем изображению ПХ со старшим коэффициентом Ьп,
и т'ф— дважды нормированная длительность фронта, соответствующая изображению (4-14). Чувствительно
сти S~x4> выразим через промежуточные параметры —
коэффициенты изображения (4-14). Тогда получаем:
Поэтому относительное отклонение длительности фронта бтф при одновременном отклонении нескольких параметров схемы на основании (4-9) равно:
П—\
(4-15)
/= I <7=1 |
П-\ |
НО