книги / Оптимизация параметров импульсных и широкополосных усилителей
..pdf№ |
Oja |
O JI |
0,8 |
0 ,9 |
Рис. 2-16.
101
0,5 |
0,6 |
op |
0,8 |
0,3 |
Рис. 2-18.
102
1 -Варнант
1
2
3
4
5
6
7
8
|
|
|
|
|
|
Т абл и ц а |
2*11 |
|
Схема |
Я |
X |
Si |
ki |
k% |
h |
S0,7 |
О0*9 |
Прямая |
0,15 |
0,7 |
0,369 |
0,320 |
0,716 |
—0,152 |
2,883 |
__ |
л |
0,15 |
0,7 |
1,235 |
1,003 |
0,380 |
—0,493 |
3,711 |
|
Зеркальная |
0,15 |
0,7 |
0,548 |
0,710 |
0,575 |
—0,464 |
3,008 |
- - |
я |
0,15 |
0,7 |
1,230 |
0,378 |
0,392 |
0,128 |
3,695 |
_ |
Прямая |
о.з |
0,8 |
0,303 |
1,060 |
1,722 |
—0,865 |
2,398 |
2,317 |
я |
0,3 |
0,8 |
1,383 |
1,443 |
0,675 |
—0,729 |
3,492 |
3,336 |
Зеркальная |
0,3 |
0,8 |
0,617 |
0,977 |
1,244 |
—0,602 |
2,633 |
3,539 |
я |
0,3 |
0,8 |
1,399 |
0,651 |
0,682 |
0,070 |
3,508 |
3,352 |
Предыдущие примеры иллюстрируют синтез параметров коррек ции с помощью аппроксимирующих полиномов. В случае немонотон ных АЧХ процесс синтеза можно выполнить, и не применяя полино мов, а используя методику § 1-)1,а. Только вместо выбросов ПХ сле дует рассматривать экстремумы АЧХ.
Глава третья
ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ КОРРЕКЦИИ ПО ДЕТЕРМИНИРОВАННЫМ КРИТЕРИЯМ
3-1. КРИТЕРИИ ОПТИМУМА И ПРОВЕРКА ОПТИМАЛЬНОСТИ
а) Временная область
Задача оптимизации какой-либо системы, в том чи сле и импульсного усилителя, является очень многогран ной. Возможны самые различные критерии, выдвигае мые потребностями практики. Часто требования к си стеме противоречивы, и одновременное их удовлетворе ние невозможно. В таких случаях применяются слож ные критерии вида
max |
+ ^ |
^ |
|
где Uj — максимизируемые |
частные критерии; Vj — ми |
||
нимизируемые частные критерии; |
гщ |
и tij — их весовые |
|
коэффициенты. |
|
|
импульсных уси |
Рассмотрим наиболее важный для |
лителей критерий оптимума в области малых времен: минимальная длительность фронта Тфмш при заданных ограничениях ца выбросы и фиксированном ко-
103
эффициенте усиления. Если оптимизация производится изменением только реактивных корректирующих эле ментов, то требование постоянства коэффициента уси ления всегда выполняется. Если же в процессе оптими зации происходит изменение активных элементов (в си стемах с обратной связью это приводит и к изменению глубины обратной связи), то появляется дополнитель ное ограничение типа равенства
f(/?i» • • •» Кп) —/Со-
В этом случае в рассматриваемой цепи невозможно выбрать постоянную времени первого нормирования х — =iRC, которая оставалась бы 'неизменной в процессе
оптимизации. Условие /Со= const приводит к тому, что при изменении любого сопротивления, влияющего на ко эффициент усиления, меняются и другие, в том числе входящие в постоянную времени т. Здесь имеется не сколько выходов из положения. Можно, например, вы полнять оптимизацию в натуральном масштабе време ни tc, не прибегая к нормированию t = t clx. Можно так
же нормировать по постоянной времени другой цепи, в которой отсутствует зависимость этой постоянной от варьируемых параметров, а связь выбросов с длитель ностью фронта однозначная, как это сделано в [67]. И, наконец, возможно вместо минимизации длительно сти фронта максимизировать относительную импульс ную добротность D0 [68]. Относительная импульсная
добротность при заданных ограничениях на выбросы ПХ есть отношение коэффициента усиления Ко данного я-каскадного усилителя к коэффициенту усиления Кор
я-каскадного резистивного усилителя с одинаковыми каскадами, у которого длительность фронта, паразитные емкости и параметры активных элементов такие же, как и у рассматриваемого усилителя: D0=KolKoP- Оптими зация параметра Do позволяет исключить из рассмотре
ния длительность фронта.
В гл. 1 рассмотрена методика синтеза параметров коррекции, соответствующих ПХ с заданными выброса ми. Если заданные выбросы являются максимальными допустимыми в данном случае, то с помощью этой мето дики решается задача выхода на границу области огра ничений. Достигается ли при этом оптимум в смысде вышеуказанного критерия?
104
В (31, 37] показано, |
Нто длН ИХ, аппроксимированной |
|||||
|
2л + 1 |
|
|
|
|
|
суммой |
^ |
a*sinkt в |
интервале |
^0 < |
0 |
, |
|
4=1Дм |
|
|
|
|
|
время |
нарастания |
отсчитанное от нуля до |
уровня |
1—В у минимально при выполнении условия В 1= В 2 = . . .
. . . —В. Перенести этот результат на реальные системы
без дополнительного рассмотрения нельзя по двум при чинам. Во-первых, реальная ПХ представляет собой сум-
му функций вида А&е , которые при комплексных
значениях Ah и ph не образуют систему 74 Во-вторых,
отсчет длительности фронта ПХ усилителя ведется меж ду условно выбранными уровнями 0,1 и 0,9, поэтому ми нимум Тф=4,э—^o,i может не совпадать с минимумом ^i-в. Однако оба отличия не приводят к большим откло нениям от идеализированного результата. При измене
ниях параметров в окрестности оптимума сумма AkePk*
в интервале от 0 до окончания п—1 выброса близка пс свойствам к сумме функций системы Т. В пользу этого
утверждения говорит обстоятельство, подтверждаемое вычислительной практикой, что при изменениях величи
ны выбросов вблизи |
значений B i= B 2 —. . . = B моменты |
|
их |
наступления изменяются мало -и число выбросов |
|
в |
рассматриваемом |
интервале остается неизменным. |
Время ?o,i при изменениях параметров схемы также сме щается мало, и различия в длительности фронта обус ловлены главным образом изменениями /о,э(^-в)-
Приведенные соображения позволяют считать, что минимум длительности фронта ПХ реальной усилитель ной схемы следует искать в окрестности параметров,
1 Системой Т порядка п на множестве Е называется система ли
нейно-независимых и .непрерывных функций (<pi(*), ...» Фп-и(х)}, если многочлен
П+1
|
|
р ( * . с) = 2 |
ck(?k |
|
|||
|
|
|
|
|
k=i |
|
|
при любом .векторе с— {ci, ..., сп} |
не может иметь на Е более п ну |
||||||
лей. Примеры функций, образующих систему Т: |
|
||||||
1) функции 1, х, ..., |
|
х п на |
ограниченном множестве £; |
||||
2) |
функции е I е |
, |
, е |
п |
на |
ограниченном |
множестве £; |
3) |
функции 11, cos х, |
. |
. cosnx |
на |
отрезке [0, л] |
и т. д. |
105
обеспечйвак)Щ йх й— 1 равны й вы брос зад ан н о й .Ш й -
чины.
Для проверки оптимальности результата необходимо установить, что все производные длительности фронта по выбросам неположительны, т. е.
дхф
ЛГг < 0 .
Тогда уменьшение любого из выбросов будет при водить к увеличению Тф. В противном случае можно
уменьшить длительность фронта, снижая выброс. На хождение указанных производных (представляет опреде ленную трудность, так как функция Хф=}(Ви . . £ n-i) неизвестна. Для определения дхф/дВг необходимо так
изменить параметры схемы, чтобы получить приращение только выброса В г и чтобы остальные остались неиз менными. Относительные приращения параметров Xj или коэффициентов изображения dj, при которых выброс Вг
уменьшается на величину a£r(a<Cl), определим из си стемы уравнений
7 > c 1+ 7 > t I + . . . = = 0 ; |
1 |
8-Vj -1~ |
|
... — — |
} |
(3-1) |
||
ТВха- \ |
Xl |
+ T |
BJl-'b x a + . . . = 0 . |
|
|
|
|
1 - |
х% , |
■ |
|
|
Отсюда для варьируемого г-го выброса получаем:
a A jr B r
D ’
где Ajr — алгебраическое дополнение; D — определитель
системы (3-1). Тогда
^ ТФ |
Тф [ х (1 — djc)] — Тф (х ) |
(3-2) |
|
дВг |
а Вг |
||
|
Для вычисления п— 1 производной (3-2) таким спосо бом придется п— 1 раз решить систему (3-1). Но так
как в правой части каждый раз имеется единственный ненулевой член, то затраты времени такие же, как при решении одной полной системы (1-5). В целом определе ние всех производных (3-2) по объему работы эквива лентно одному шагу притягивания.
106
Если все полученные таким способом производные длительности фронта по выбросам положительны, то длительность фронта действительно минимальна в дан ной точке. Такая проверка, проведенная для ПХ с рав ными выбросами или с выбросами, удовлетворяющими условиям
Bi = aB2= . . .= aBn-i (а < 1),
подтвердила в большинстве случаев их оптимальность, когда в (3-1) в качестве переменных параметров ис пользуются относительные приращения бdj и длитель
ность фронта отсчитывается в масштабе, соответствую щем дважды нормированному изображению. При пере ходе к параметрам коррекции Xj конкретного усилителя
и масштабу времени, нормированному по какой-либо постоянной т, минимум длительности фронта может сме ститься, и оптимум наступит при неравных выбросах.
Это произойдет в том случае, если при уменьшении ка кого-либо выброса дважды нормированная длительность
фронта т/ф увеличивается медленнее, чем убывает множи-
П _
тель ]/bnt по которому производится нормировка %ф=
П
= х'ф1/6^, т. е. выполняется неравенство
дх'ф |
дЬп |
х'ф >■0. |
дВг |
дВг |
|
Определение знака производных длительности фрон та по отдельным выбросам путем решения системы (3-1) позволяет найти (если таковые существуют) выбросы, уменьшение которых приводит к уменьшению Тф. Про верка показывает, что случаи, когда уменьшение второго из выбросов уменьшает длительность фронта, встреча ются редко и возможное уменьшение Тф составляет еди ницы процентов. Для идеализированного двухкаскадного усилителя с последовательной индуктивной коррекцией это уменьшение составляет 11 % [38].
В области больших времен параметры коррекции бу дем считать оптимальными, если длительность импульса максимальна (/п= тах) при подъеме (спаде) вершины импульса, на превышающем допустимого значения, и постоянном коэффициенте усиления Ко. Если коррекция
107
осуществляется одним элементом х, то при выполнении
условия
(3-3)
Оптимальным будет значение параметра коррекции, со ответствующее границе области ограничений А+=
=д + з ( д - = д - 3 ) .
При тех небольших значениях искажений вершины, которые допускаются практикой, условие (3-3) всегда выполняется.
При большем числе параметров коррекции имеется бесчисленное множество их сочетаний, соответствующих выходу на границу области ограничений. Определение оптимальных параметров для этого случая рассматри вается в § 3-3,а.
6) Частотная область
Широкополосный усилитель целесообразно оптими зировать по критерию максимума граничной частоты (шахсов) при заданных ограничениях на экстремумы АЧХ (ААГг^Яг) и фиксированном коэффициенте усиле ния. Как и при анализе во временной области, рассмо трим характеристики, соответствующие границе области ограничений.
Является ли АЧХ с заданными (в частности, равны ми) отклонениями оптимальной в смысле ©в=шах? Имеющиеся данные в родственной области — аппрокси мации АЧХ фильтров [39] — показывают, что минималь ная погрешность достигается для физически реализуе мых систем в некоторых случаях при одинаковых экстре мальных отклонениях, в некоторых ж е — при неодинако вых. Известная из практики расчетов усилительных схем приблизительная закономерность: большие экстремаль ные отклонения АЧХ от единичного уровня (т. е. боль шая погрешность аппроксимации) соответствуют более
широкой полосе пропускания, |
нуждается |
в строгом ис |
следовании и обосновании. |
|
|
Рассмотрим сначала АЧХ усилителя |
|
|
Л/ft (у \______ L1 +T ЛА\%1Л -Гf-... т-4- -Атпт*"'хт _ЛА (х) |
||
/KI W — ц . ВгХ + Я 2Х* + |
. . . + ВпХп |
В (X) ’ |
имеющую п— 1 экстремум и нормированную по полосе
пропускания на заданном уровне М (1)= с. Так как пас-
108
сматриваемая система устойчива, то в экстремальных точках с абсциссами xq всегда будет максимум при не четных q и минимум при четных. Покажем, что умень
шение одного или нескольких экстремальных отклоне ний приводит к уменьшению коэффициента В п. Прида дим коэффициентам B j приращения AB j так, чтобы от
клонения АЧХ в экстремальных точках уменьшились. Тогда для нечетных q получим:
A (Xq) V . |
A |
или, иначе,
2 Д В 5х1д> 0 . |
(3 -5) |
Для четных q будем иметь
2 A £ jX * (Z< 0 . |
(3-6) |
Неравенства (3 -5 ) и (3 -6 ) вместе с условием
2A5jX>o=0,
обеспечивающим требуемое отклонение в конце интер вала, можно представить в виде системы линейных урав нений:
—|—ДВ2Л*0 -j" •• • |
АВйХяо= 0; |
|
-j—ДВ$х*1 -j—... -j—ABfiXni — &\\ |
|
|
АВхХг“j- AB%X*2 |
ABnXn2== — 0>г\ |
| |
Д ^ 1 - ^ л _ 1 ~ |” ABzX*n- i ~ } ” |
•** - f “ Д B n X *n i = = ( — 1 ) я Л п _ 1 , |
j |
в которой все аг->0. Отсюда определяем |
|
|
АВп |
2(— \)n+Mn,k |
(3-7) |
|
где D — определитель Вандермонда п-го порядка. Раз
лагая его по элементам последнего столба, заметим, что все алгебраические дополнения Ап,н также являются определителями Вандермонда порядка п— 1. Нетрудно
установить, что если все элементы определителя Ван дермонда k-ro порядка упорядочены так, что *o>*i> .. *
... ^ Xfc, то
* (fe-1) sign £>*=(—: i) 2 .
109
Поэтому (3-7) можно переписать в виде
(л-1) (я—2)
лп |
S ( - !)«+* ( - 1) |
2 |
ak-r\An,kI |
— |
п ( п — I) |
~ |
|
|
(-1 ) 2 |
\D\ |
|
|
^ak-\ I ^n,k f |
||
|
= |
t o | |
• |
При любых ай_1>0 коэффициент В п получает отри-
дательные приращения. Значит, всякие изменения коэф фициентов B j, уменьшающие экстремальные отклонения
АЧХ от единицы, обязательно уменьшают старший коэф
фициент В п. Но характеристике вида (3-4) |
с наиболь |
|
шим коэффициентом В п соответствует АЧХ |
вида |
|
яд2 / у \ __ 1 |
~f~ ^ i* i ~1~ *«• “Ь GmXm\ |
|
' 1j |
1 + £>1*1 + ... + *Я1 |
|
с наибольшей полосой пропускания. Поэтому можно ска зать, что из всех АЧХ с отклонениями, не превышающи ми допустимых, равноволновые АЧХ позволяют полу чить наибольшую дважды нормированную граничную* частоту йщ. Будет ли соответствовать условие QiB= =макс -наибольшей граничной частоте в реальном мас штабе частот
2|в
2я__ ’
У в п
это вопрос, который должен решаться для каждой кон кретной схемы. Если уменьшение одного или нескольких
отклонений АЧХ приводит к сочетанию параметров схемы, 2л__
уменьшающему )/"Вп сильнее, чем уменьшается дважды
нормированная граничная частота, то полоса пропуска ния расширяется. Однако такие случаи весьма редки и наблюдаются тогда, когда в старший коэффициент изо бражения ПХ входит разность параметров коррекции. Оптимальность полученного решения проверяется по производным дсов/дДМэ, определяемым тем же методом, как и производные дтф/дВг.
3-2. ОПТИМИЗАЦИЯ ПУТЕМ СЖАТИЯ ОБЛАСТИ ОГРАНИЧЕНИЙ
Возможны три ситуации при синтезе параметров импульсного (широкополосного) усилителя.
1. В данной цепи реализуется ПХ (АЧХ) с заданны ми допустимыми выбросами (экстремумами) и она оп тимальна по критерию минтф (макссов)^
П О