книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости
..pdf§ 12] |
ПРИМЕРЫ |
31 |
ную точку М (хо, уо), полярные координаты которой Исключая t — <о из (15), получаем
а(0- 0о) Р = Рое
(р0, 0).
(16)
Уравнение (16) дает, очевидно, все траектории системы (12). Если ро=5^0, эти траектории являются логарифмическими спира лями. При ро = 0 получается состояние равновесия 0 (0 , 0).
Первое из двух уравнений (15) показывает, что все траекто рии стремятся к состоянию равновесия О при t +°°, если а < 0
(рис. 9), и при <-*-—«>, если а > 0 (рис. |
10). Состояние равно |
весия такого типа, как в данном примере, |
называется фокусом, |
устойчивым в случае а < 0 и неустойчивым при а > 0 (точное определение фокуса будет дано в дальнейшем).
Рассмотрим уравнение
dx dy
— у-\-ах ~ х + ау ’
соответствующее системе (12). Оно очевидно является однород
ным. Интегрируя его |
(с |
помощью |
подстановки |
у/х — и или |
х/у = и), мы получим соотношение 18) |
|
(17) |
||
Х2 + |
j/2 _ ce2aarCtg (у/*) = 0 |
|||
ИЛИ |
у2 _ |
с e2aarCtg(x/v) = 0. |
(18) |
|
х2+ |
Первое из этих соотношений является общим интегралом си стемы (в смысле § 10) во всякой области, не содержащей точек осж.х (т. е. точек х = 0), а второе — во всякой области, не содер жащей точек оси у = 0. Однако ни одно из этих соотношений не является в строгом смысле слова общим интегралом системы
вобласти, содержащей точку О. «Целую» интегральную кривую,
18)Очевидно, что мы можем получить эти соотношения также из урав нения траекторий в полярных координатах, возвращаясь от них к координа
там х жу. |
' |
32 |
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ |
[ГЛ. 1 |
расположенную в такой области, можно получить, |
«склеивая» |
|
куски кривых (17) и (18). |
|
Рассмотрим интерпретацию в трехмерном пространстве. Как и в предыдущем примере, ось t является интегральной кривой си
стемы (12) |
в пространстве (х , у,Л). Остальные интегральные |
|||||||||||||
|
|
|
кривые |
расположены |
|
на |
цилиндриче |
|||||||
|
|
|
ских поверхностях, |
имеющих |
своими |
|||||||||
|
|
|
направляющими спирали (16), а обра |
|||||||||||
|
|
|
зующими — прямые, |
параллельные |
оси |
|||||||||
|
|
|
t. |
Эти |
интегральные |
|
кривые |
асимпто |
||||||
|
|
|
тически |
|
приближаются |
к оси |
t |
при |
||||||
|
|
|
t -*■+°°, |
|
если |
а < |
0, |
|
и |
при |
t -*■—°°, |
|||
|
|
|
если а > |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Отметим, что хотя формы траекто |
||||||||||
|
|
|
рий в примерах 3 и 4 при а < 0, b < 0 |
|||||||||||
|
|
|
и |
а < 0 |
|
(а > 0, Ь > 0 |
и |
а > 0 |
соответ |
|||||
|
|
|
ственно) |
существенно |
отличаются, |
но |
||||||||
Рис. |
|
11 |
в |
некотором |
смысле |
поведение |
.траек |
|||||||
|
|
|
торий в том и в другом случаях оди |
|||||||||||
наково: именно, в обоих примерах |
все |
отличные |
от |
состояния |
||||||||||
равновесия |
траектории |
при |
t -*■ +оо (или |
t -*■— °°) |
стремятся |
|||||||||
к состоянию |
равновесия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р |
5. |
|
—у , |
|
dy/dt = x. |
|
|
|
|
|
|
(19) |
||
|
|
dxldt = |
|
|
|
|
|
|
|
Эта система получается как частный случай системы (12) при а = 0. Решения, соответствующие начальным значениям хо, уо, to, имеют вид
х = х 0cos (t — t0) — уо sin (t — to),
y = x0sin(t— t0) + y Qcos(t— t0).
Непосредственной проверкой (или используя (20)) нетрудно убе диться, что
х2+ у2 = С |
(21) |
является общим аналитическим интегралом системы. Таким обра зом, в этом случае система имеет аналитический интетрал.
Траекториями системы, очевидно, являются состояние равнове сия О (0, 0) и замкнутые траектории — концентрические окруж ности с центром в начале (рис. 11). Решения (20), соответствую щие замкнутым траекториям — окружностям, являются периоди ческими функциями с периодом 2л.
Интегральными кривыми в трехмерном пространстве (х, у, t) являются ось t и винтовые линии, расположенные на круглых цилиндрах с направляющими (21). Шаг каждой винтовой линии равен 2л.
П р и м е р 6.
dxldt — ~х, dy/dt = у. |
(22) |
§ 121 ПРИМЕРЫ 33
Векторное поле изображено на рис. 12. Решение системы, соот ветствующее начальным значениям хо, уо, to, имеет вид
-(*-*•) „ „ А1- 1») |
(23) |
У = Уое |
|
Точка 0(0, 0)— состояние равновесия. |
|
Система имеет аналитический интеграл |
(24) |
ху = С. |
|
Интегральными кривыми являются при СФ 0 гиперболы |
(24) |
и при С = 0 — координатные оси х = 0 и у = 0. Каждая гипер бола состоит из двух траекторий (ее ветвей), и каждая из коор динатных осей — из трех траекторий (состояния равновесия О и
двух полуосей). Соответствующее разбиение на траектории ука зано на рис. 13.
Из выражений (23) очевидно, что траектории, являющиеся полупрямыми оси х (получающиеся из (23) при г/о = 0), стре мятся к состоянию равновесия при t -►+°°, а траектории, являю щиеся полупрямыми оси у,— при t -*■ —°°. Других траекторий, стремящихся к состоянию равновесия О, система не имеет.
Состояние равновесия такого типа, как у данной системы, назы вается седлом: Траектории, стремящиеся к седлу О, в данном слу чае четыре полуоси х = 0 и у = 0, называются сепаратрисами седла.
Траектории, сколь угодно близкие к точке сепаратрисы, стре мящейся к О при t -*■+°° (t -*■ —oo)t при неограниченном возра стании (убывании) t удаляются от этой сепаратрисы. Обратим внимание на то, что такое поведение траекторий, очевидно, ни в какой мере не противоречит теореме 5 § 7 (о непрерывной зави симости от начальных условий), так как эта теорема рассматри вает поведение близких траекторий только на конечном проме-
3 Н. Н. Баутин, Е. А. Леонтович
34 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ [ГЛ. I
жутке значений t. Нетрудно убедиться в том, что если взять за исходную траекторию сепаратрису, то для любого конечного про межутка значений t теорема о непрерывной зависимости от на чальных условий, очевидно, выполняется. Но при увеличении рассматриваемого промежутка величину г] (теоремы 5 § 7) нуж но брать все меньше и меньше.
Рассмотрение интегральных кривых системы (22) в простран стве (х , у, t) аналогично приведенному в предыдущих примерах, и мы его опускаем.
П р и м е р 7.
dx!dt= -— y — x{x2+ y 2 — 1), dyldt = x — y(x2 + y2 — 1). (25)
Полагая х = р cos 0, у = р sin 0 или р2 = х2+ у2, 0 = |
arctg{уlx ), |
|||||
найдем |
|
|
|
|
|
|
dt |
= 2 х ^ |
+ 2y -g - = |
2p2( l - p 2), |
|
||
|
dt |
dy |
dx |
|
|
|
|
dd |
|
|
|
||
|
|
х Ч Г - У - & |
|
(26) |
||
|
dt |
|
о |
9 |
|
|
|
|
|
x" + У |
|
|
|
|
|
|
= 2p2(l — p2). |
(27) |
||
Интегрируя последнее уравнение, получим |
|
|||||
Р2 |
1 _ |
Се |
20 ’ Р |
у |
Cg 20 ' |
|
|
|
Это — уравнение траекторий в полярных координатах. При этом р = 1, очевидно, является решением (27), соответствующим С — О, т. е. траекторией. Траектории, проходя щей через точку Л/0(ро, 0о), соответству
ет значение |
С — (pj — l) е2в°{ р^. Если |
|||||||||
ро > |
1, |
то |
С > 0, |
р > |
1; |
при 0 -*■+оо |
||||
Р -► 1 |
И |
р |
+ о о |
при |
0^-(1пС)/2. |
|||||
(Очевидно, |
при этом |
0 |
изменяется в |
|||||||
интервале |
|
(In C)j2 < |
0 < |
+°°.) |
Если |
|||||
ро < |
1, |
то |
С < 0 и |
р < |
1. |
Тогда |
р -►О |
|||
при 0 -►—“ |
и р-*- 1 при 0 |
+ 0°. От |
||||||||
сюда следует, что траектории системы |
||||||||||
имеют |
вид, |
указанный |
на |
рис. 14. Вто |
||||||
рое |
из |
уравнений |
(26) |
показывает, |
||||||
что если траектория проходит через |
||||||||||
точку М{ро, |
0о) при t = |
to, |
то 0 = 00 + |
|||||||
+ (£ — £о). |
|
Состояние |
|
|
равновесия |
|||||
0(0, 0), так же как в случае линейной системы |
(12) |
примера 4, |
является фокусом, причем неустойчивым.
Траектория р = 1, т. е. х2+ у2— 1 = 0 (в отличие от того, что было в примере 6), не окружена замкнутыми траекториями. Она
§ 13] |
ЗАМЕЧАНИЯ ПО ПОВОДУ ПРИМЕРОВ § 12 |
35 |
является |
и з о л и р о в а н н о й з а м к н у т о й т р а е к т о р и е й , |
и |
все траектории, проходящие через точки достаточно малой ее ок рестности, стремятся к ней при t -*■+°° 1Э). Такая замкнутая тра ектория называется п р е д е л ь н ы м ц и к л о м .
Несколько более сложные примеры, исследующиеся в основ ном непосредственным интегрированием, см. в [12].
§ 13. Замечания по поводу примеров § 12. Приведенные выше
примеры (на которых был также |
проиллюстрирован целый ряд |
|
указанных выше элементарных свойств системы (А)) |
являются |
|
примерами и с ч е р п ы в а ю щ е г о |
и с с л е д о в а н и я |
к а ч е с т |
в е н н о й с т р у к т у р ы р а з б и е н и я на т р а е к т о р и и , т. е.
и с ч е р п ы в а ю щ е г о к а ч е с т в е н н о г о |
и с с л е д о в а н и я |
д и н а м и ч е с к о й с и с т е мы . |
к а ч е с т в е н н ы м |
Точное определение того, что называется |
х а р а к т е р о м р а з б и е н и я на т р а е к т о р и и и к а ч е с т
в е н н ы м |
и |
с с л е д о в а н и е м д и н а м и ч е с к о й |
с и с т е мы, |
||
будет |
дано в |
следующем |
параграфе. Здесь мы опираемся пока |
||
лишь |
на |
непосредственно |
геометрически наглядные |
представле |
ния. С точки зрения качественного исследования знание точной формы траекторий не представляет интереса: мы уже подчерки вали это, указывая на одинаковое качественное поведение траек торий в случае узла или фокуса.
Однако существенный интерес представляют, например, зна ние числа состояний равновесия, факт наличия или отсутствия изолированной замкнутой траектории — предельного цикла, ход сепаратрис и т. д.
В приведенных примерах исчерпывающее качественное иссле дование разбиения на траектории удалось провести ввиду край ней простоты рассматриваемых динамических систем. Однако та кое элементарное и исчерпывающее качественное исследование, как правило, не удается провести в случае произвольной динами ческой системы вида (А).
Мы не можем рассчитывать получить элементарные выраже ния для решений и л и интегралов в случае произвольной динами ческой системы. Вследствие этого даже очень простые по виду динамические системы, имеющие интерес в прикладных вопросах, требуют для своего качественного исследования создания специ альных приемов. Примером этому может служить уравнение Ван- дер-Поля
х — К(1 — х2)х + х = О,
|9) На каждой траектории, лежащей вне предельного цикла, t изменя
ется от к о н е ч н о г о з н а ч е н и я (InС)/2 до |
оо. |
Это можно |
выразить, |
сказав, что при убывании t точка на такой траектории |
у х о д и т |
в б е с к о |
|
н е ч н о с т ь з а к о н е ч н о е в р е м я , так что |
траектории, лежащие вне |
||
предельного цикла, не являются целыми. |
|
|
|
3*
36 |
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ |
[ГЛ. 1 |
|
т. |
е. система |
|
|
|
х = у, у = 1(1 — х2)у — х, |
|
|
качественному исследованию которой |
было посвящено |
большое |
|
количество работ. |
вопрос об отыскании -регу |
||
|
Таким образом, естественно встает |
лярных методов качественного исследования динамических си стем или хотя бы о достаточно эффективных приемах такого ис следования, тем более что, как уже указывалось в § 11, даже в тех случаях, когда у рассматри ваемой системы существует ана литический интеграл (в смысле § 10) и найдено его аналитиче
ское выражение
F ( x , y ) = C, |
(28) |
вопрос качественного исследова ния разбиения на траектории,как правило, не делается тривиаль ным (в настоящее время не су ществует регулярных методов ка чественного исследования семей
ства кривых (28) даже в случае, когда F(x, у ) — многочлен). Поэтому представляется целесообразным отыскание методов
или приемов непосредственного качественного исследования си стемы (А) без предварительного нахождения аналитических вы ражений для решений.
Однако сначала естественно установить некоторые общие свойства разбиения на траектории. Укажем сначала следующий
весьма элементарный факт, являющийся, однако, весьма сущест венным для понимания основных свойств разбиения на траекто рии: в окрестности всякой «не особой» (отличной от состояния равновесия) точки «в малом» траектории ведут себя аналогично параллельным прямым (рис. 15). Это можно проследить на всех
§ 14] |
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАЧЕСТВЕННОЙ.СТРУКТУРЫ |
37 |
рассмотренных примерах (справедливость этого факта |
может |
быть доказана, например, на основании свойств пересечения тра екторий с дугой без контакта — см. гл. 2).
Поэтому по исследованию «в малом» мы не можем получить сведений о качественной структуре «в целом» (это иллюстрирует ся на рис. 16, на котором «в малом» в окрестности всех точек (в том числе,и являющихся состояниями равновесия) качествен ная структура одинакова, а «глобально»— различна).
'-Прежде чем переходить к более детальному описанию свойств качественного характера как отдельной траектории, так и всего разбиения на траектории в целом (которое приводится в следую щей главе), уточним понятие качественной (топологической) структуры разбиения на траектории.
§ 14. Математическое определение качественной (топологиче ской) структуры разбиения на траектории и качественного иссле дования динамической системы. Для того чтобы привести соответ ствующие математические определения, напомним прежде всего использующееся при этом понятие топологического отображения плоскости в себя (или в другую плоскость) или области в себя (или в другую область).,Топологическим отображением (или го меоморфизмом) плоскости (области) в себя называется взаимно однозначное и двусторонне непрерывное отображение плоскости (или области)20).
Если дана динамическая система (А), то она определяет (на плоскости или в рассматриваемой области плоскости) некоторое семейство траекторий, или, в другой терминологии, некоторое раз
биение на траектории. |
отображениях плоскости |
При всевозможных топологических |
|
в себя вид траекторий данной системы |
(А) может сильно изме |
ниться. Но некоторые черты разбиения на траектории остаются неизменными, или, иначе, т о п о л о г и ч е с к и и н в а р и а н т н ы ми: например, замкнутая траектория продолжает быть замкну той, незамкнутая — незамкнутой, остается число и взаимное рас положение замкнутых траекторий, состояний равновесия; остает ся неизменным характер состояний равновесия и т. д.21).
Уточнение понятия качественной картины фазовых траекто рий или, в другой терминологии, топологической структуры раз биения на траектории дается следующим образом.
О п р е д е л е н и е . Две топологические |
структуры, или, что то |
же, две качественные картины разбиения |
фазовой плоскости на |
20)Геометрические образы, которые могут быть получены друг из дру га топологическим отображением, называются гомеоморфными,
21)Отметим, что фокус и узел топологически тождественны, т. е. всег да можно указать такое топологическое преобразование плоскости в себя, при котором узел преобразуется в фокус и наоборот, геометрически этот факт совершенно нагляден.
38 |
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ |
[ГЛ. I |
траектории |
(или некоторой области плоскости на траектории), |
заданные двумя системами вида (А), называют тождественными, если существует топологическое (т. е. взаимно однозначное и не прерывное) отображение плоскости в себя, при котором траекто рии одной системы отображаются в траектории другой (при этом траектория отображается в траекторию как при прямом, так и при обратном отображении).
Это определение тождественности двух структур является кос венным определением самого понятия топологической структуры разбиения на траектории 22) .
Можно сказать, что под топологической структурой разбиения на траектории (или, что тоже самое, под качественной картиной фазовых траекторий) понимают все те свойства этого разбиения,
которые остаются инвариантными при всевозможных топологиче ских отображениях плоскости в себя. Примеры таких свойств были приведены выше.
Полное качественное исследование заключается в установле нии всех таких свойств. Очевидно, можно также говорить о не полном качественном исследовании. Такое исследование может, например, заключаться в установлении характера состояний рав новесия, установлении наличия хотя бы одной замкнутой траек тории и т. д. Естественным образом возникает вопрос о том, что
22) «Косвенными» определениями являются, например, также опреде ления функций, мощности множества и т. д.
§ 14] |
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАЧЕСТВЕННОЙ СТРУКТУРЫ |
39 |
нужно знать для полного определения качественной |
структуры |
разбиения на траектории. Этот вопрос для весьма широкого, в ос новном имеющего интерес для приложений, класса динамических систем рассматривается в гл. 2.
Качественное исследование динамической системы (дифферен циального уравнения) нельзя рассматривать как некоторый сур рогат количественного исследования, который заменяет отыска ние аналитических выражений для решения в том случае, когда это трудно сделать23).
Отметим, что качественное исследование динамической систе мы может оказать помощь при численном решении, так как оно может помочь сознательно, не вслепую разобраться в том, при ближенное вычисление каких именно решений представляет интерес.
На рис. 17, а приведены две непохожие, но топологически тождественные структуры, на рис. 17, б — две похожие, но топо логически различные структуры.
23) Знание аналитических выражений для интегралов, как уже указы валось, просто несколько изменяет задачу качественного исследования, но ни в какой мере не дает непосредственного ее решения.
Г Л А В А 2
ВОЗМОЖНЫЙ ХАРАКТЕР ОТДЕЛЬНОЙ ТРАЕКТОРИИ. ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ — БЕНДИКСОНА. ОСОБЫЕ ТРАЕКТОРИИ
Введение. В настоящей главе приведены те определения и предложения, на основании которых устанавливаются свойства траекторий системы
х = Р(х, у), y = Q { x , y ) |
(А) |
и свойства разбиения на траектории, являющиеся основными в вопросах качественного исследования. На основании этих пред ложений:
1)сформулировано, каков возможный характер отдельной траектории системы (А);
2)выделены некоторые особые траектории, знание взаимно
го расположения которых необходимо для определения каче ственной структуры разбиения на траектории;
3) дано понятие схемы динамической системы1).
Все предложения настоящей главы, позволяющие сделать весьма далеко идущие заключения относительно возможных свойств разбиения на траектории, заданного системой (А), фак тически являются следствием двух основных общих теорем — теоремы о существовании и единственности решения и теоремы о непрерывной зависимости от начальных значений, но при этом существенно опираются на тот основной элементарный факт, что простая замкнутая кривая делит плоскость на две области.
Во всех этих предложениях в качестве вспомогательного сред ства используется д у г а без к о н т а к т а и ц и к л без к о н
та к т а .
§1. Дуга без контакта. Пусть I — простая гладкая дуга2), целиком лежащая в области G, в которой определена система (А).
‘) Подробные доказательства всех приведенных в настоящей главе ут верждений, касающихся характера отдельной траектории (см. [12, 76, 134]). Об особых траекториях см. в [12, 81], а также в [63, 64, 154].
2) Простой гладкой дугой называется дуга, которая может быть зада на параметрическими уравнениями х = /(s), у = g(s), удовлетворяющими следующим условиям.
Функции f(s) и g(s) определены на некотором сегменте (отрезке) зна чений s, si ^ s ^ *2, и при этих значениях непрерывны и имеют непрерыв-