книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

но, накладывает определенное огранпченпе на возможные у гру­ бых систем состояния равновесия п замкнутые траектории4), а также на поведение сепаратрис седел. Подчеркнем, что огра­ ничения, которые требование грубости накладывает на рассмат­ риваемые динамические системы, таковы, что онп выделяют об­ щий случай. Другими словами, всякая наперед заданная динами­ ческая система, вообще говоря, является грубой, в то время как

Следующие параграфы посвящены формулировке необхо­ димых и достаточных условий грубости и некоторым дополни­ тельным рассмотрениям, которые для этого необходимы. Для

В рассматриваемом случае аналитических правых частей си­ стемы (А) бесчисленное множество состояний равновесия воз­ можно лишь в случае, когда правые части имеют общий множи­ тель. Но тогда можно рассмотреть сколь угодно близкую вместе со своими производными аналитическую систему, у которой правые части уже не имеют общих множителей, откуда и будет следовать справедливость теоремы 1 .

При более общих предположениях относительно правых ча­

у системы (А) может существовать бесчисленное множество корней и в том случае, когда Р(х, у) и Q(x, у) не имеют общего множителя. В этом случае всегда можно взять сколь угодно близкую к (А) систему (А) с аналитическими правыми частями, не имеющими общего множителя.

Таким образом, у грубой в G системы все состояния равно­ весия изолированные.

4) Эти ограничения являются ограничениями аналитического характе­ ра и при этом типа неравенств, а не равенств (см. § 1 0 настоящей главы).

5) Развернутые доказательства приводимых в настоящей главе пред­ положений см. в [3, 13, 144, 26].

Р'ЛХ0’Уо) Р1(Х0'У0)

А (*< и Уо) =

а = Р'Х (х, у) + Qy (х , у).

Теор_ема 2. Если система (А) является грубой в замкнутой области G, то у нее не может существовать в U состояния рав­ новесия, для которого

А (жо, уо) = 0.

Действительно, условие А (ад, Уо) = 0, очевидно, означает, что изоклины Р(х, у) = 0, Q(x, у ) = 0 в их общей точке Q(XQ, уо) не просто пересекаются, а имеют кратную общую точку. Тогда оче­ видно, всегда найдется измененная система (А), у которой сколь угодно близко от точки О существует более одной общей точки, что противоречит грубости системы.

Из теоремы_2, очевидно, следует, что если система (А) явля­ ется грубой в G, то в G могут существовать только простые со­ стояния равновесия.

Состояния равновесия, возможные в грубой системе, будем называть грубыми состояниями равновесия.

Т е о р е м а 3. Простые состояния равновесия, у которых А > 0, а Ф 0 , и у которых Д < 0 (г. е. простые состояния равновесия типа «узел», «фокус» и «седло»), являются грубыми (см. [12, 13]).

Отметим, что доказательство этой интуитивно очевидной тео­ ремы хотя элементарно по идее (строится топологическое ото­ бражение области, содержащей состояние равновесия системы

(А) на область, содержащую близкое состояние равновесия си­ стемы (А)), но довольно кропотливо.

Как мы видели в § 5 гл. 3, возможно еще также простое состояние равновесия, у которого Д > 0 , о = 0 (т. е. у которого характеристические корни чисто мнимые). Это состояние равно­ весия рассматривается в следующем параграфе. Мы увидим, что оно является негрубым.§

§ 3. Состояние равновесия с чисто мнимыми характеристичен сними корнями. Состояние равновесия с чисто мнимыми харак­ теристическими корнями, как было указано в § 5 гл. 3, может быть изучено после перехода к полярной системе координат пу­ тем рассмотрения функции последования г = /(г0), построенной, например, на оси х. Рассмотрение такой функции последования для систем, близких к данной, т. е. построение функции после­ дования

г —/(го)

(см. гл. 5), является грубой.

На диаграмме Ламерея (см. гл. 5) грубым предельным цик­ лам, очевидно, соответствуют простые точки пересечения кривой s = /(s) с биссектрисой s = s. Если s = f (s) — функция последо­ вания системы (А), достаточно близкой к (А), то в силу требо­ вания близости производных от правых частей систем (А) и (А)

всегда существует только одна точка пересечения кривой s = f(s)

Следующая теорема аналогична теореме 4 настоящей главы.

Т е о р е м а (о рождении предельного цпкла из сложного предельното цикла).

Если Ь0— сложный (к-кратный при к > 2) предельный цикл

Мы будем говорить, что предельные циклы системы (А), су­ ществование которых доказано в теореме, «рождаются» из пре­

Следующая теорема, дающая необходимые условия грубости динамической системы (А), непосредственно вытекает из двух предыдущих.

Теорема_9. Если система (А) является грубой в области U, то в области G не может существовать замкнутая траектория с характеристическим показателем, равным нулю.

7) Обратим внимание на то, что при этом близость производных функ­ ций f(s) и f(s), вытекающая из близости производных от правых частей

систем (А) и (А), существенна.

Действительно, при отсутствии требования близости производных функ­

прямой s = s имеет любое данное число общих точек с этой прямой.

е) Доказательство этого предложения может быть проведено приемом, отличным от данного в [3, 13, 26].

I. В замкнутой области U могут быть только грубые состоя­ ния равновесия, т. е. такие, для которых действительные части корней характеристического уравнения отличны от нуля. Это требование может быть сформулировано еще так: в области G

не может быть состояний равновесия х = х0, у = уо, для которых:

рактеристический показатель не равен нулю. Это требование может быть сформулировано еще и так: в области U не может быть периодических движений

£ = Ф(t), y = ^(t) [<р(*+ т) = ф(г), ф(г + т) = ф(*)],

для которых

т

h = 4*J[р * (ф (*). Ф (*)) + Q v (ф (*). Ф(*))] d t = 0.

о

III.В области G не может быть сепаратрис, идущих из седла

вседло.

Всилу этих условий в грубой системе возможны особые тра­

бые) предельные циклы, сепаратрисы седел, в одну сторону стре­ мящиеся к узлу, фокусу или к предельному циклу или при не­ котором значении t выходящие из замкнутой области &.

Предельными траекториями в грубых системах могут быть только состояния равновесия и предельные циклы (см. следствие из теоремы 1 0 ).

Сформулируем еще следующую теорему, непосредственно вы­ текающую из необходимых условий грубости.

Т е о р е м а 11. У грубой в замкнутой области U системы мо­ жет существовать только конечное число предельных циклов.

Необходимые условия I—III являются также достаточными для грубости системы вида (А). Именно, имеет место

Доказательство теоремы состоит в фактическом построении для всякой измененной системы (А), достаточно близкой к си­ стеме (А), такого топологического отображения области G в себя, при котором траектории системы (А) отображаются в траекто­ рии системы (А) и соответствующие друг другу точки находятся на сколь угодно малом расстоянии друг от друга.

148 ГРУБЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 8

Воспользовавшись введенным пространством R A, можно сформу­ лировать теорему 13 в следующей геометрической форме.

Если динамическая система (А), соответствующая точке М пространства R A, является грубой, то и все точки некоторой окрестности точки М соответствуют грубым динамическим систе­ мам (с той же качественной структурой).

Отсюда очевидно следует, что грубые динамические системы заполняют области пространства динамических систем. Однако можно доказать еще более сильное утверждение. Будем рассмат­ ривать в пространстве динамических систем всевозможные систе­ мы, как грубые, так и негрубые. Тогда справедлива следующая

являющуюся грубой.

Из этой теоремы очевидно вытекает, что грубые системы всю­ ду плотны в пространстве динамических систем.

Таким образом, грубые системы можно рассматривать как наиболее простые, наиболее многочисленные динамические систе­ мы в соответствующем пространстве динамических систем. Дей­ ствительно, грубые системы выделяются условиями типа нера­ венств, и поэтому их естественно рассматривать как общий случай.

В гл. 7 целесообразность введения понятия «грубости дина­ мической системы» оправдывалась естественными соображения­ ми, касающимися свойств динамических систем, описывающих реальные задачи. Однако в силу указанных свойств грубых си­ стем это понятие естественно возникает также в силу внутрен­ ней математической необходимости 11).

§8 . Понятие грубости при более общпх предположениях

относительно правых частей динамической системы. Мы рас­ сматривали выше динамические системы, правые части кото­ рых — аналитические функции. Однако понятие «грубости дина­ мической системы» может быть введено совершенно так же и в случае, когда относительно правых частей Р(х, у) и Q(x, у) рас­ сматриваемых динамических систем сделаны более общие пред­ положения.

Наиболее общим — возможным по самому смыслу понятия грубости — является требование наличия у функций Р(х, у) и

" ) М о ж н о п р о в е с т и д а л е к о и д у щ у ю а н а л о г и ю м е ж д у г р у б ы м и д и н а м и ­ ч е с к и м и с и с т е м а м и и ф у н к ц и я м и о д н о й п е р е м е н н о й , и м е ю щ и м и т о л ь к о п р о ­ с т ы е к о р н и , а т а к ж е к р и в ы м и , н е и м е ю щ и м и о с о б е н н о с т е й (о с о б ы х т о ч е к ), р а с с м а т р и в а ем ы м и в к о н е ч н о й ч а с т и п л о с к о с т и . Э та а н а л о г и я я в л я е т с я , в ч а с т н о с т и , в е с ь м а п л о д о т в о р н о й д л я в ы р а б о т к и э ф ф е к т и в н ы х м е т о д о в к а ­ ч е с т в е н н о г о и с сл е д о в а н и я .

ше, функции Р(х, у) и Q(x, у) предполагаются определенными в ограниченной замкнутой области G). При этом вывод необхо­ димых условий фактически не изменяется12) п не изменяется также доказательство теорем 13 п 14.

С другой стороны, можно определить грубость динамической системы, предполагая правые частп рассматриваемых динамиче­ ских систем аналитическими (или имеющими непрерывные част­ ные производные до порядка т) при другом определении бли­ зости динамической системы. Именно, можно считать близкими динамические системы (А) и (А), у которых близки не только сами функции и их производные первого порядка, но и все соот­ ветствующие производные до порядка т. Это, очевидно, означает, что мы рассматриваем пространство, точками которого являются динамические системы с аналитическими правыми частями, в ко­ тором расстоянием между двумя точками М и М — одной, соот­

150 ГРУБЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 8

Пространство динамических систем с введенным здесь опре­ делением расстояния между точками (динамическими система­

ми) будем обозначать через RA -

Две динамические системы, близкие в смысле определения, данного в § 1 , очевидно, могут не быть близкими при и > 2 в смысле данного здесь определения.

Нетрудно убедиться, что и при данном здесь определении близости динамических систем при т > 2 необходимые и доста­ точные условия грубости те же, что и сформулированные в § 6 ,

и, так же как и в случае пространства RAI грубые динамиче­ ские системы заполняют области в соответствующем простран­ стве13). Справедливы также теоремы 13 и 14.

До сих пор мы рассматривали при том или другом определе­

динамических систем, т. е. по отношению к некоторому подмно­

жеству пространства динамических систем (ЯА или RA )- Таким понятием относительной грубости мы воспользуемся при выделе­ нии простейших негрубых систем (см. следующую главу), так

зрения такой классификации негрубых систем консервативные

грубости более высокой, чем любая конечная степень негрубости.

Таким образом, в пространстве RA (или R A ) консервативные системы являются с точки зрения такой классификации чрезвы­ чайно «редкими» системами.

Однако мы можем, рассматривая класс консервативных (или гамильтоновых) систем, ввести понятие грубости системы отно­ сительно этого класса. Таким понятием (без термина «грубость») фактически пользовался Пуанкаре.

Отметим еще также, что введение понятия грубости естествен­ но не только при рассмотрении дифференциальных уравнений. Так, например, рассматривая вопрос о топологии аналитической кривой

______________

13) Большой математический интерес представляет также рассмотрение динамических систем, правые части которых — многочлены данной фикси­ рованной степени п. В этом случае динамические системы естественно рас­ сматривать на с ф е р е П у а н к а р е (см. гл. 6). Пространством динами­ ческих систем является в этом случае проективное пространство коэффици­ ентов многочленов, стоящих в правых частях. Мы не останавливаемся, од­ нако, на этом случае ввиду отсутствия здесь законченных результатов.