книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости
..pdf§4] |
ИЗУЧЕНИЕ ОКРЕСТНОСТИ ЗАМКНУТОЙ ТРАЕКТОРИИ |
101 |
|
а) |
к нечетное. Предположим, что |
(«о) = ак < 0. |
Тогда |
при s < «о
t ( « ) > 0 , т. е. f(s )> s,
а при s > «о
t|:(s)< 0 , т. е. f(s )< s.
Следовательно, всякая последующая точка на отрезке I бли же к точке Q (в которой замкнутая полутраекторпя Lo пере секает отрезок I), чем предыдущая. Так как по самому построе нию функции последования последующая точка соответствует значению t большему, чем предыдущая, то, принимая во вни
мание, что Lo — единственная |
замкнутая траектория, пересека |
||
ющая рассматриваемую часть отрезка без контакта Z, нетрудно |
|||
показать, что всякая |
отличная |
от L 0 траектория, |
пересекающая |
отрезок I достаточно |
близко к |
точке Q, при |
стремится |
к предельному циклу Lo. Предельный цикл Lo является у с т о й ч и в ы м ( н е ч е т н о - к р а т н ы м ) п р е д е л ь н ы м ц и к л о м (рис. 64, а) .
Если ф*($о)>0, то совершенно так же можно показать, что всякая траектория, пересекающая отрезок I достаточно близко
к точке Q, при t -*■ —°° стремится к предельному циклу Lo. Пре
дельный |
цикл |
Lo |
является |
н е у с т о й ч и в ы м |
( н е ч е т н о |
||||||||
к р а т н ы м ) |
п р е д е л ь н ы м |
ц и к л о м |
(рис. 64, б). |
от |
знака |
||||||||
б) к |
четное. |
Тогда |
при |
т. |
s ¥= s0 в |
зависимости |
|||||||
а„ = |
i|>ft(so) |
либо |
rj)(s)>0 , |
е. |
f(s )> s |
(если |
(«о)> 0 ), |
||||||
либо |
rj)(s)< 0, т. |
е. |
f(s )< s |
(если |
г|зСЯ) («о) < 0). Нетрудно |
пока |
|||||||
зать, что в случае, когда |
|
(so) > 0 , |
все |
траектории, проходя |
|||||||||
щие |
через |
точки |
отрезка |
I, |
соответствующие значениям |
s < so» |
стремятся к Lo при f-> +°°, а все траектории, проходящие через
точки отрезка I, |
соответствующие значениям |
s > So, |
стремятся |
||
к Lo при t -*■—°°, |
и наоборот, когда фи> (so) < |
0 |
(рис. |
65). |
|
Очевидно, в рассматриваемом случае (четное |
к) |
предельный |
|||
цикл Lo неустойчив. Однако часто предельный |
цикл |
этого типа |
102 |
ФУНКЦИЯ ПОСЛЕДОВАНИЯ |
(ГЛ. 5 |
называют полуустойчивым (четно-кратным), сохраняя термин «неустойчивый» лишь для цикла, к которому все достаточно близкие траектории стремятся при t -*■
3.Производные всех порядков от функции I|J(S) при s = so
равны нулю, т. е. при всех i |
i|J(i)(so) = 0. |
Тогда i|j(s) = |
0, т. е. |
||
функция последования имеет вид |
|
|
|||
|
|
S — S. |
|
|
|
В этом |
случае в се |
траектории, проходящие через достаточно |
|||
близкие |
к Lo точки, |
замкнуты |
(этот случай |
аналогичен |
случаю |
центра).
На рис. 61 и 62 даны диаграммы Ламерея для случая не четно-кратного предельного цикла (см. рис. 62) и четно-кратного предельного цикла (см. рис. 61).
Рассмотрение функции последования, в частности условий кратности замкнутой траектории, было проведено при опре
|
деленном |
выборе дуги без контакта. |
Однако |
|||
|
\можно показать, |
что эти условия не |
з а в и |
|||
|
с я т |
от |
выбора |
дуги без контакта и от вы |
||
|
бора |
параметра |
на этой дуге |
(при |
условии, |
|
|
конечно, что параметрические уравнения рас |
|||||
|
сматриваемых дуг являются |
аналитическими |
||||
|
функциями). |
|
|
|
||
Рис. 66 |
Далее, из проведенного исследования функ |
|||||
ции |
последования, в котором существенно ис |
|||||
|
пользовался тот |
факт, что функция |
последо |
вания является аналитической функцией, очевидно вытекает, что у системы с аналитическими правыми частями:
1 ) не может существовать бесчисленное множество предель
ных |
циклов, |
накапливающихся |
к |
||||
замкнутой траектории; |
|
зам |
|||||
2 |
) |
|
не |
может существовать |
|||
кнутая |
траектория |
такая, что вне |
|||||
(внутри) |
нее все траектории не зам |
||||||
кнуты, |
а |
внутри |
(вне) |
нее — зам |
|||
кнуты, |
т. е. |
не м о ж е т |
осуществ |
||||
ляться, |
например, |
случай, |
представ |
ленный на рис. 6 6 .
Указанные свойства могут быть сформулированы в виде следующего предложения.
Т е о р е м а |
1. Если у динамиче |
ской системы |
(А), правые части ко |
торой — аналитические функции, су ществует замкнутая траектория, то она либо является изолированной, либо все траектории в ее ок
рестности замкнуты.
8 5] |
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ |
103 |
Сделаем еще одно замечание, которое бывает весьма полез |
||
ным в ряде случаев. |
неустойчивый |
|
Пусть |
Lo — предельный цикл — устойчивый, |
(простой или сложный) или полуустойчивый. В любой достаточ но малой его окрестности, именно в любой такой окрестности, которая не содержит ни состояния равновесия, ни отличных от него предельных циклов, в с е г д а могут быть построены цик лы без контакта, как лежащие вне L 0 (содержащие L 0 внутри), так и лежащие внутри Lo (рис. 67).
§ 5. Аналитические выражения для коэффициентов функции последования. Характеристический показатель замкнутой траек тории. Аналитические выражения для коэффициентов а,- могут быть найдены методом, полностью аналогичным тому, которым находятся ляпуновские величины (см. гл. 3).
Пусть
* = <Р ( 0 . У = Ф (*)
— движение, периодическое с периодом т, соответствующее рас сматриваемой замкнутой траектории Lo. В окрестности Lo вво дится криволинейная система координат с помощью формул
а;= <р(м)+ гф(и),
(2)
у = ф (и) - пср (и).
Прямые и = const являются нормалями к замкнутой траектории Lo и, следовательно, не имеют контактов с траекториями, доста
точно близкими к Lo, |
а кривые |
v = const — замкнутыми |
кривы |
ми (кривая v = 0 совпадает с Lo)
(рис. |
6 8 ). |
Якобиан |
преобразо |
||||
вания |
(2 ) |
при |
у = 0 |
отличен |
от |
||
нуля4). |
|
|
|
|
|
от |
|
Функция последования на |
|||||||
резке |
нормали и = 0 |
может быть |
|||||
найдена |
совершенно |
аналогично |
|||||
тому, |
как |
это |
делалось |
в окре |
|||
стности |
фокуса. |
После |
перехода |
||||
в системе |
(А) |
к координатам и |
и i; и исключения t мы получаем
соответствующее системе |
(А) |
дифференциальное уравнение |
|
dv/du = Ф(п, v) = |
(3) |
= A i(u)v + A i(u)v2 + ..., |
4) Криволинейные координаты и и г? во многом аналогичны полярным координатам. Координата и циклическая.
104 |
ФУНКЦИЯ ПОСЛЕДОВАНИЯ |
[ГЛ. 5 |
Которое дает уравнение траектории в координатах и, v (урав нение замкнутой траектории LQ есть гг = 0). Выражение коэф фициентов А{(и) через функции Р(х, у) и Q(x, у) может быть найдено. В частности,
А (и) = Р'х (ф (гг), ф (гг)) + Q'y (ф (гг), ф (гг)) —
— [in (ф'“ (**) + ^ (“))]• (4)
Решение уравнения (3), удовлетворяющее начальным усло виям (0 , Vo)
v = f(u ; 0 , VQ),
является аналитической функцией vo и может быть разложено в ряд по степеням w
v = f (гг; 0 , v0) = аг(гг) v0 + а2 (и) v%+ . . .
Подставляя (ср. § 5 гл. 3) это выражение в уравнение (3), получаем тождественное равенство
(и) v0 + a2{u)vо + • • • = А (и) |
(и) v0 + а2 (и) v%+ . . . ) + |
+ A 2(u)(a1(u)v0 + a2(u)v%+ ... )* + . . .
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях vo, получаем рекуррентные уравнения для определения at(u):
ai(u) = A i(u)ai(u), |
|
|
|
|
|
d2(u) = A\(u)ai(u) + A 2(U) (ai(u))2, |
|
(5) |
|||
a3(u)= A x (и)a3(и) + 2 А (гг)а1 (гг)а2 (гг) + A (^ ) (ai(u) )2, |
|||||
Начальные условия для определения |
а, (гг) |
из этих |
уравнений |
||
мы получаем из очевидного |
условия |
/( 0 ; 0 , vo)^vo, |
откуда |
||
а,х(0) = 1, |
а{(0) = |
0, |
г > |
1. |
|
Функцией последования на отрезке гг = 0, очевидно, является функция
v = /(т; 0 , vo),
где т — период на замкнутой траектории. Возвращаясь к обо значениям § 4, мы можем написать
S = / ( T ; 0 , s) = f(s),
причем s = 0 соответствует замкнутой траектории L Q.
Далее,
а, = гг{(т) = /‘(0 )/г!.
S 5] |
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ |
105 |
|
Для первого коэффициента а \ |
мы получаем |
из уравнений (5) |
|
|
ai — a i СО = |
ехР |
|
или, принимая во внимание выражение (4) для A i ( u ) , |
|||
а1 = |
exp j [P 'x (ф(и), ф (и)) + Q'y (ф (и), ф(и))] du . |
||
Выражение |
О |
|
|
|
|
|
|
h = -J-J[ К (ф (и), Ф (и)) +Q'v (ф(и), Ф (и))] du |
|||
называется |
о |
|
|
хар ак тер и сти ч еск и м п о к азател ем |
зам к н у то й тр аек |
тории Ьо.
Очевидно, <Х1 = е*т, и, следовательно, предельный цикл устой чивый, если h < 0, и неустойчивый, если h > 0. При этом cti = 1
тогда и только тогда, когда & = 0, и только в |
этом случае |
(ai = 1) предельный цикл является сложным. |
|
Величина ai = е*т называется м у л ьти п л и к атор ом |
предельного |
ц и кла. |
|
Г Л А В А 6
НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
§ 1. Некоторые признаки существования и отсутствия пре* дельных циклов. В настоящей главе мы приводим некоторые классические приемы качественного исследования системы
х = * Р { х , у ) , y * = Q ( x , y ) . |
(А) |
Если удается исследовать состояния равновесия |
(что далеко |
не всегда является элементарной задачей, как мы увидим на ряде примеров), то далее для полного качественного исследова ния н е о б х о д и м о у с т а н о в и т ь н а л и ч и е ' и л и о т с у т с т в и е п р е д е л ь н ы х ц и к л о в и р а с п о л о ж е н и е с е п а р а т р и с . Как уже отмечалось, эта задача принципиально более сложная, чем установление характера состояний равновесия.
Мы приведем в настоящей главе приемы, позволяющие в не которых частных случаях давать ответ на вопрос о существова нии или отсутствии замкнутых траекторий (предельных циклов).
Напомним, что гладким циклом однократного пересечения на зывается простая гладкая замкнутая кривая С, обладающая следующими свойствами (см. § 2 гл. 2 ):
1) |
на кривой С не лежит |
ни |
одного |
состояния равновесия; |
2) |
во всех точках кривой |
С, |
кроме, |
быть может, конечного |
числа, траектории не имеют с ней касания и либо все входят внутрь области, ограниченной кривой С, либо все выходят из этой области.
Приведем простейшие признаки существования предельных циклов, основанные на рассмотрении циклов однократного пере
сечения. |
|
однократного пересечения, |
||||||
a |
Т е о р е м а 1. Пусть С — цикл |
|||||||
G — ограниченная |
им область, принадлежащая области опре |
|||||||
деления системы (А). Если выполняются |
следующие |
условия: |
||||||
1) |
все |
траектории, |
пересекающие С, |
при |
возрастании |
t входят |
||
в |
G; |
2) |
в области |
G имеется единственное |
состояние |
равнове |
||
сия |
О, являющееся |
неустойчивым узлом или |
фокусом', |
3) в об |
ласти G имеется лишь конечное число замкнутых траекторий системы, тогда число расположенных в G устойчивых предель ных циклов системы на единицу больше числа неустойчивых. {Следовательно, сугцествует по крайней мере один устойчивый предельный цикл.)
§ 2] |
СФЕРА ПУАНКАРЕ |
107 |
Приведем |
еще аналогичную теорему для кольцевой области. |
|
Т е о р е м а |
2. Пусть G — двусвязная |
область, ограниченная |
двумя циклами без контакта (циклами однократного пересече ния) С\ и С2, не содержащая состояний равновесия и имеющая
конечное число замкнутых траекторий. Если все |
траектории, |
|
пересекающие С\ |
и Сг, при возрастании t входят в |
G (выходят |
из G), то число |
устойчивых предельных циклов, |
расположен |
ных в G, на единицу больше (меньше) числа неустойчивых пре дельных циклов.
§ 2. Изучение поведения интегральных кривых в бесконеч ности. Сфера Пуанкаре. Во многих случаях черезвычайно полез ными для исследования вопроса о наличии замкнутых траекто рий являются сведения о поведении траекторий при удалении в бесконечность, т. е., так сказать, исследование «бесконечно удаленных» частей плоскости. В случае, когда правые части ди намической системы — многочлены, для этого используется ото бражение фазовой плоскости на так называемую «сферу Пуан каре», т. е. на сферу радиуса единица, касающуюся плоскости (х, у) в начале координат. Каждой точке (х , у) плоскости ста вятся в соответствие две точки сферы, лежащие на прямой,
Рис. 69 |
Рис. 70 |
проходящей через центр сферы и эту точку плоскости. На эква тор (большой круг, параллельный плоскости (х, у)) отобража ются бесконечно удаленные точки плоскости (рис. 69).
Интегральные кривые плоскости перейдут при этом в соот ветственные кривые сферы, причем седла, узлы и фокусы со храняют тот же вид.
Однако на сфере появятся новые особые точки, лежащие на экваторе. Часто это будут особые точки высших порядков. Орто гональная проекция нижнего полушария на плоскость, касатель ную к сфере, дает удобное окончательное отображение всей пло скости (х, у) на внутренность круга.
108 |
НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ |
1ГЛ. в |
|||
|
Пусть у системы |
(А) |
правые части Р{х, у) |
и Q{x, у ) — мно |
|
гочлены по а; и у. |
а:= |
1/z, у = u/z позволяет |
изучить |
особые |
|
|
Преобразование |
точки, лежащие на экваторе сферы Пуанкаре, за исключением тех точек, которые соответствуют «концам» оси у. Можно по строить плоскость, на которой z и и будут служить прямоуголь ными декартовыми координатами: это будет касательная пло скость к сфере, перпендикулярная плоскости (я, у). Ось и будет прямой, лежащей в плоскости экватора (параллельно оси у). Можно провести две такие плоскости. Направления осей z и и будут зависеть от расположения касательной плоскости (рис. 70)'.
Для исследования концов оси у нужно положить х = v/z, |
у = |
||||||
= l/z. В этом случае плоскость |
(Z,,T) |
будет располагаться парал |
|||||
лельно оси х. |
|
|
|
|
|
|
|
Преобразование |
х *= l/z, |
у *=u/z |
|
|
|||
|
|
|
|||||
приводит систему (А) к системе |
|
|
|
||||
d z |
|
|
|
|
|
UZ, |
(1) |
~dt |
|
|
|
|
|
||
или к уравнению |
|
|
|
(l/z, u /z) |
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
||
|
du |
|
P |
(l/z, u /z) |
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
Если привести правые части в |
системе (1) к общему знамена |
||||||
телю, то мы, очевидно, получим систему |
(п — наибольшая |
сте |
|||||
пень многочленов Р(х, у) |
и Q(x, у)) |
|
|
|
|||
d z |
_ Р * (г, и) |
d u |
Q* (z, и) |
^ |
|||
d i |
~ |
z n ' |
d t |
^ |
|
||
Вводя новый параметр |
|
dt/z”= dx, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
мы можем представить систему |
(2 ) в виде |
|
|
||||
dzldx = Р* (г, |
и ), |
du/dx = Q*(z, и) |
|
||||
(P*(z, и) и Q*(z, и), |
очевидно,— многочлены) или в виде одного |
||||||
уравнения |
|
|
Q * (z, и) |
|
|
|
|
|
|
d u |
|
|
|
||
|
|
d z |
Р * (z, и ) * |
|
|
|
|
Особые точки (на экваторе) |
находятся из уравнений |
|
|||||
Р*(0, u) = 0, |
(?*(0, |
и) = |
0, |
(3) |
|||
или (что то же) из уравнений |
|
|
|
|
|||
|
n |
|
Q (l/z, u /z) |
U |
|
(4) |
|
|
|
|
Р (l/z, u/z) |
0 |
|||
|
|
|
|
|
9 3] ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ В БЕСКОНЕЧНОСТИ 109
(второе из этих уравнений доопределяется при z = 0). |
Если вто |
рое из уравнений не удовлетворяется тождественно, |
то экватор |
сферы Пуанкаре есть |
интегральная кривая. |
Если Р(х, |
у), |
Q(x, у )— многочлены |
одинаковой степени, то |
координаты |
осо |
бых точек на экваторе находятся как корни уравнения |
|
||
#„(1, и ) ~ и Р п ( 1 , и ) = 0, |
|
|
где Qn ъ Рп — члены наивысшей степени в Q и Р. Каждый ко рень соответствует двум особым точкам на экваторе, располо женным диаметрально противоположно.
Всякая простая особая точка на |
экваторе есть либо узел, |
|
либо седло. |
Если |
Q и Р одинаковой степени, |
К р и т е р и й П у а н к а р е . |
||
то простая особая точка (z = |
0 , и = ио) будет седлом, если при |
|
изменении и от ио — е до ио + е выражение |
||
Р„ (1,в) |
“ |
переходит от отрицательных значений к положительным, и уз лом, если указанное выражение переходит от положительных значений к отрицательным.
§ 3. Примеры исследования в бесконечности [93]. |
|
||||||
П р и м е р |
1. Докажем |
наличие периодических решений у |
|||||
у р а в н е н и я Р э л е я |
|
|
|
|
|
|
|
|
x — h( 1 |
—ас2)х + х = 0 , |
Л > 0 . |
|
|||
Заменой х = у |
оно приводится к |
системе |
(на фазовой |
плоско |
|||
сти (х, у)) |
х = у, |
y = h ( i - y 2) y - x , |
k > 0 . |
(5) |
|||
|
|||||||
У системы (5) начало координат |
0(0, |
0)— состояние |
равнове |
||||
сия, которое, как нетрудно видеть, является: |
|
|
|||||
1 ) неустойчивым узлом при k |
2; |
|
|
|
|||
2 ) неустойчивым фокусом при 0 |
< h < 2 . |
|
|
||||
Проведем исследование |
бесконечно удаленных особых точек, |
т. е., спроектировав фазовую плоскость на сферу Пуанкаре, рас смотрим особые точки на сфере.
Полагая
X = 1/Z, у = u/z,
получаем
— z1(l — hu + и2) — hu3
Z = — UZ, и =
что можно записать в виде одного уравнения:
d z |
u z 3 |
d u |
г 2 (l — h u + |
и 2) + Аи3 |
( 6) |
|
но |
НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ КАЧЕСТВЕНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ |
[ГЛ. в |
||
Единственной |
особой точкой |
этого уравнения является |
точка |
|
и = О, |
z = 0. |
Она является |
сложной. Исследование ее |
можно |
упростить, если положить z *2 = v. Мы получаем уравнение
dv _ |
2U8> |
du |
v ( l — hu it2) + Ait3 |
Это точка рассмотренного в § 2 гл. 4 вида. Очевидно, мы имеем 1)
у = |
<р(ц) = —hu3 + . .., |
ф(м) = 2 /г2 и7 |
+ ... |
|
|
В силу теоремы 4 § |
2 гл. 4 особая точка (0, 0) |
уравнения |
(7) — |
||
седло. |
чтобы |
установить |
характер особой точки |
(0, 0) |
|
Для того |
уравнения (6 ), необходимо провести небольшое дополнительное
рассмотрение. Запишем, вводя |
параметр |
т, уравнение (7) |
в виде |
||||||||||||||
системы |
dv/dx = —2му2, |
du/dx = —v ( 1 |
— hu + и2) — hu3. |
|
(Т ) |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
Непосредственно |
очевидно, что |
v |
= 0 |
является |
интегральной |
||||||||||||
прямой системы (7'). Так как |
|
(0, |
0) |
имеет характер |
седла, |
то |
|||||||||||
прямая |
и = 0 должна состоять |
из точки (0 , 0 ) и |
двух |
полусе- |
|||||||||||||
паратрис. |
Установим, |
стремятся ли |
обе |
эти |
полусепаратрисы |
||||||||||||
к точке |
(0 , 0 ) при т -»-+«> |
(т->— °°) |
или одна |
стремится |
к |
||||||||||||
(0, |
0) |
при / с -*■+*», а |
другая |
при |
т - > —°°. Это |
позволит |
нам |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
установить, лежат |
ли |
две |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
другие |
сепаратрисы |
|
по |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
одну сторону от оси v = |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
одна — по |
одну, |
а |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
другая — по |
другую |
сто |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рону |
этой оси, |
что, |
как |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нетрудно |
видеть, |
суще |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ственно |
для |
решения |
во |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
проса о характере |
состоя |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ния |
равновесия |
на |
пло |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
скости (z, и ) . |
|
имеем |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
v = 0 мы |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d u / d x = |
— h u 3, |
|
|
|||
при |
и < |
|
d u / d x > |
0 , т. е. ось |
|
= 0 |
|
т. е. при и > |
0 |
du/dx < 0 ; |
|||||||
0 |
v |
составлена |
из |
двух |
со-полу- |
сепаратрис. Но тогда две другие полусепаратрисы, очевидно, не
пременно должны лежать по разные стороны оси v |
— О2). Эти |
|
полусепаратрисы стремятся к состоянию равновесия |
(0 , 0 ), ка |
|
саясь |
оси v = 0, так как в рассматриваемом случае |
это — един |
’) |
Здесь и играет, очевидно, роль х, & v — роль у. Д ля функций, введен |
|
ных в § 2 гл. 4, мы сохраняем те ж е обозначения. |
|
|
2) |
Иначе мы придем к противоречию с возможными на траекториях на |
|
правлениями. |
|