книги / Основы проектирования турбин авиадвигаделей

и (5.34) на R и воспользуемся для окончательной постановки задачи мето­ дом взвешенных невязок, применяя который к полученным уравнениям для произвольной весовой функции F ( R , Z ) будем иметь

ЭЭ*

1

Q s = — [ k — — + a i ( ^ - ^ o ) ] .

Если ф —точное решение уравнения (5.33) с граничными условиями (5.35), то невязки Qv и равны нулю в любой точке расчетной области. Вслед­ ствие осесимметричносги окончательное уравнение будет содержать пересе­ чение объема V и поверхности S с меридиональной плоскостью. Тогда d V = = 2nRdtl, dS = 2irRdT и уравнение (5.36) принимает вид

окончательно будем иметь

191

Уравнение (5.39) будет решаться методом конечных элементов. Для ап­ проксимации здесь, как и в случае задачи о течении потока в межпрофиль­ ном канале, используются изопараметрические элементы, построение кото­ рых осуществляется по восьми узловым точкам. Применяя зависимости, приведенные "в разд. 5.3 для уравнения (5.39), и полагая F (R ,Z ) = = Nf (г, Z ), получим

Суммируя по всем элементам, получаем глобальную матрицу и систему уравнений для всей рассматриваемой области. Используя приведенные в разд. 5.3 связи между глобальными и локальными координатами и про­ изводными, для элемента матрицы из уравнения (5.41) получим

192

Здесь b —коэффициент загромождения для каждого элемента, определяю­ щийся осреднением по восьми узловым точкам. Интегрирование проводит­ ся численно по квадратурной формуле Гаусса. Для правой части уравнения (5.40) ^в предположении изоэнтропичности потока соответственно имеем

Процесс решения полученной нелинейной системы дифференциальых урав­ нений можно записать в следующем виде:

где т —коэффициент релаксации, который, вследствие значительной нели­ нейности системы, для обеспечения сходимости итерационного процесса предполагается выбирать меньше единицы.

Практика проведения расчетов показала, что если поток в лопаточном венце турбины отклоняется от осевого направления больше, чем на некото­ рый критический угол a Kp(tgo:Kp > 1), то итерационный процесс решения системы уравнений (5.42) расходится, причем даже при очень малых зна­ чениях параметра т. Вследствие этого данную вычислительную схему необ­ ходимо исследовать на устойчивость. При исследовании сходимости релак­ сационного процесса используем простую одномерную модель. Для упро­ щения задачи рассмотрим течение несжимаемого потока (р = const) в соп­ ловом аппарате со = 0, выделив один произвольный элемент в области течения. Эта простейшая модель, тем не менее, позволит выяснить причину неустойчивости при ос > а кр. Для одного произвольного одномерного эле­ мента первое уравнение системы (5.42) принимает вид

193

ЬН bs

Для течения идеального газа в сопловом аппарате---- = 0 , -------= 0 и окон-

Учитывая, что

Ve = Vz tga;

Предположим, что найденное на л + 1-м шаге приближение удовлетворяет следующему условию:

Здесь и далее индекс z опускается. Приняв во внимание, что

Л

194

Из (5.42) и (5.44) имеем

Воспользуемся методом анализа устойчивости, предложенным Нейманом. Запишем погрешность в е-м элементе на п-ы шаге в виде суперпозиции гармоник

AF ” = G nexp(idk),

L =Nk A x .

Подставляя полученное выражение в (5.45), получим

(рис. 5.6) необходимыми условиями сходимости являются

R = \Ь | = \Ttg2aNR lN\ < 1;

Рис. 5.6. Годограф коэффициента затуха­ ния ошибки

195

<2= k l = I [l + r ( — - l ) N R-lN ] \ < 1 .

R

Из второго неравенства следует, что если

tg2 ос

т( —-------1)NR~1N > 0 ,

R

т.е.

tg2 a

> 1 ,

R

то \а\ может быть больше единицы для любого значения параметра г. При проектировании современных турбин углы отклонения потока от осевого направления и их радиус лежат в чрезвычайно широком диапазоне, причем чаще всего выполняется условие \а\ > 1. Последнее, естественно, приводит к отсутствию сходимости итерационного процесса. Поэтому для достиже­ ния его сходимости необходимо либо изменить схему самого процесса, либо преобразовать исходные уравнения таким образом, что сходимость будет достигаться и при используемой схеме. Второй путь представляется более естественным и надежным.

Преобразуем следующее выражение:

196

получим

В конечно-элементной постановке получим следующее уравнение:

Полагая F(R, Z) = Nj(ry Z ) , на каждом элементе в матричном представле­ нии будем иметь

[ * i < o { * } ( , ) = { / } w .

где

E

Соотношения для каждого элемента обычным образом объединяются в гло­ бальную матрицу для всей расчетной области.

В отличие от полученного ранее, уравнение (5.46) является универсаль­ ным, так как итерационный процесс нахождения его решения сходится для любых типов осевых газовых турбин. При решении аналогичной задачи для

197

После определения rj уравнение (5.47) решается для точки Л. Аналогичный

и вследствие наличия плотности как в левой, так и в правой части уравне­ ния (5.48), оно решается итерационно (например, методом Ньютона —Раф- сона). Уравнение (5.48) записано применительно к статору. Для элементов ротора аналогичное уравнение имеет вид

1

6. После нахождения плотности вычисляются элементы локальных мат­ риц K(j и вектора правой части /)*, которые затем объединяются в общую матрицу. Из-за сильной нелинейности получаемой системы уравнений после ряда итераций используется коэффициент нижней релаксации и последую­ щее приближение

на i + 1-й итерации, используемое для последующего приближения. Для оценки сходимости применяется тот же критерий, что и в случае расчета характеристик потока в межлопаточном канале.

199

Рис. 5.8. Геометрия проточной части ступени турбины, границы элементов ( — ) м рассчитанные линии тока ( --------)

VR = ~ [ Ь

Линии тока, полученные в результате расчета по описанному алгоритму, Представлены на рис. 5.8.

При формировании математической модели следует учитывать диссипа­ цию энергии при течении в межлопаточных каналах. Это, как правило, осу­ ществляется путем введения при составлении соответствующего програм­ много модуля информации о течении между лопатками, в частности данных для потерь и отклонения потока. Величина потерь может быть рассчитана численным методом при решении задачи о нахождении характеристик вяз­ кого течения в межлопаточном канале по какой-либо известной методике. Расчет вязкого течения должен быть выполнен с высокой точностью, так как результаты, получаемые при определении характеристик потока в ме­ ридиональной плоскости, сильно зависят от характеристик лопаток. В ряде случаев при оценке потерь и углов отклонения возможно применение суще­ ствующих статистических зависимостей. Кроме того, при наличии большого опыта проектирования лопаток в качестве первого приближения возможно и априорное задание коэффициентов скорости подобно тому, как это дела­ лось при расчете турбины по среднему диаметру.

Полный квазитрехмерный расчет предполагает, что расчет течения на одной из поверхностей требует знания параметров потока на другой, и общий процесс решения такой задачи, следовательно, является итерацион­ ным. В этом случае на каждой итерации при определении характеристик течения в межлопаточном канале граничные условия для вектора скорости на выходе из решетки профилей являются результатом расчета.течения в меридиональной плоскости. Наоборот, упомянутая уже информация о потерях и отклонении потока в межлопаточном канале необходима для решения задачи в меридиональной плоскости. Кроме того, при решении за­ дачи для плоского сечения лопаточного венца при таком подходе можно учесть еще и радиус кривизны поверхности тока, что позволяет получать

200