книги / Основы проектирования турбин авиадвигаделей

Полюсное расстояние лемникасты Л1

Случай (tg</?)min > tg<розначает, что при заданном значении угла отгиба 5 профиль построить нельзя и, следовательно, нужно уменьшить 5 или увели­ чить угол выхода р2к- Перейдем к рассмотрению случая (tg</?)min < tg</>< < (tg<£) max* Угол a i определяется из уравнения (6.1). Подставим в него выражение для р т^ и Ртп иполним

/-

Vco$— (Утп ~ a i)

----------------------------- = cos i// + sini//ctg0.

Г ~ 2

V cos — (yTs - Oil)

Это уравнение приводится к виду, характерному для кубического урав­ нения

2

при v = tg ~ ( у т

38

а= (b*sm\p —fl*cosi//)2sinM ;

b= (b*sini// —A * COSI/ / ) 2COSM — [2fl*Z?*cos2i/' + + (д*2 —b*2) sin2ip] sinM —a*2;

c= (a*sini// + b*cosi//)2sinM — [2tf*Z?*cos2 ф + + (a*2 — b*2) sin 2 1// ] cosM + 2a*b*;

d= (a*sini// + Z?*cosi//)2cosM —b*2.

211

Здесь

я* = 1 + tg^ + tgy y Tg ; b* = tgyTg - tg

2

M = _ (7rg - yT n ).

По действительному корню уравнения (6.7) найдем значение а г :

2

OLI = 7 r ft------arctg^ . 8 3

Полюс определяется как точка пересечения радиусов-векторов для точек ^8 и Т ц :

У о х ~ У т п - № т п (* O i ~х ти У>

УО 1 ~ У т а = ( х О г - * Г 8 ) .

а полюсное расстояние рассчитывается из уравнения (6.6). Параметры то­ чек сопряжения Т10 и 7\

утю =Утп ~ к т105 >

Уту = Ут10 ~ к т1 (Ут10 ~ У г 2 )

(01 при 7 Гг = 0 ,* - — .

Угол заострения передней кромки зависит от многих величин и точно опре­ делен быть не может. Путем подбора величины угла заострения добиваются совпадения полученной максимальной толщины профиля ст (или его пло­ щади) с заданной. В этом случае оценка значения а?! проводится по следую­ щим зависимостям

4(ст —2R i )

“1 = — ;----------

либо

F

Для осуществления возможности проектирования наружных контуров плоских параллельных сечений лопаток с различными законами распреде-

212

ления кривизны вдоль спинки в настоящем методе вводятся коэффициен­ ты сопряжения первой и второй (KTiQ) и второй и третьей (К т ) лемнис­ кат. Эти коэффициенты определяют положение точек сопряжения Т10 и Ти а следовательно, длину участков различных лемнискат и выбираются при задании исходных данных для проектирования. Так, например, при

* Т 2 ~ Х Т 3 — R i < x > s y T 2 >

Ут2 = УТ3 + ^isin Ут2\ х т3 = S — Ri —R 2I

Ут3 = \/(b — Ri —R 2) 2 —XJ 3 ;

X T 4 = X T 3 + ^iCOS7r4 ;

Ут4 = У Т 3 ~ R is in r r 4

при уТа = 7 Гг -c o j.

Координаты точки Tl0:

x T l 0 = x O 1 + P .T 10<*>WT 10 ;

УТю = УО1 + P r 10sin^7’io>

гдеPj-ю = '4 iV/cos j ( r r 10 - “i);

Кривизна лемнискаты Jll в точке T10

Для определения параметров лемнискат Л2 и ЛЗ применяется следую­ щий метод. Так как кривизна.#/ в точке Т10 равна кривизнеЛ2 в той же точке, то имеет место следующее соотношение:

213

Требуя, чтобы кривизна линии спинки нарастала монотонно до точки Ту, из соотношения (6.13) получим, что а2 < Тту Полагая а2 = най­

дем полюсное расстояние лемнискаты Л2 из зависимости (6.12). Коорди­ наты полюса 272:

х 0 2 = х Т у о - Р Т у о ^ ^ Т ю >

У о г = У т хо ~ Р Т у о s i n ^ , o •

ХТ\ = х 0 2 + PT 1C0S$T1>

УТх ~ У 0 2 + P7’1sin^7’1 >

1Ту + 1 а г

'Рт у

214

По известным точкам Т х и Т2 и их параметрам y Ti и у Тг находятся пара­ метры лемнискаты ЛЗ (таким же образом, как рассчитывались параметры лемнискаты Л1)

b

то следует уменьшить а2, определить А 2, как показано в формуле (6.12), ^повторить расчет для Л2. Уменьшение а2 проводится до тех пор, пока не выполнится условие <pmin < < <ртах . Подставив в зависимость (6.7) вмес­

расчет, начиная с определения параметров лемнискаты Л1. Если же К р ^ < < K pj^, то уменьшением а2 следует добиться выполнения равенства

Kpfj ^Крт^.

Параметры лемнискаты Л4, описывающей корыто профиля, находятся так же, как и параметры Л1. Пределы угла наклона секущей

215

_ У Т 4 - У Т 6 > (tg</>) max, как и дляЛ19свидетельствует о том, что в райо-

ХТ4 ~ ХТ 6

не выходаой кромки имеет место прямолинейный участок, и полюс

Л4 находится на касательной к точке Ть. При этом а4 =Ут6 —— ^ = a min>

а точка сопряжения Т5 прямой и Л4, являющаяся одновременно полюсом Л4, определяется в результате решения системы из двух уравнений

УТ5 ~ У Т 4 = ( t g * ) m a x ( * r s

Ут5 ~Ут6 = tg(Ут6 ~ — ) ( ХТ5 ~ ХТ6)•

Полюсное расстояниеЛ4:

РТа

А 4 =

— ; в этом случае необходимо или увеличить хорду профиля или уменьшить

Ь

ширину решетки. При выполнении неравенства, задающего область опреде­ ления лемнискаты (tg^)min < tg<^ < (tg^)max, параметры Л4 находятся путем решения уравнения (6.7).

Определение основных характеристик профиля и межлопаточного канала

После определения параметров лемнискат Л1, Л2, ЛЗ, Л4, описываю­ щих наружный обвод профиля, вычисляют основные характеристики про­ филя и межлопаточного канала. К этим характеристикам относятся:

площадь профиля (если в исходных данных задается его максималь­ ная толщина);

максимальная толщина (если в исходных данных задается его пло­ щадь);

параметры окружностей, вписанных в межпрофильный канал. Рассмотрим алгоритмы определения каждой из этих величин.

Соединив соседние характерные точки на профиле, получим много­ угольник (рис. 6.6), площадь которого равна сумме площадей входящих в него треугольников. Площадь каждого из треугольников определяется через координаты его вершин:

216

Рис. 6.7. К определению максимальной тол­ щины профиля

y l9 у2 — параметры точек,ограничиваю­ щих участок 7-й лемнискаты. Площадь треугольника

5 д / = — [ О 0 . - x 2) ( y t - у 2) - ( * , - х 2) ( у 0 . - у 2) ] ,

где X i , у 1 , х 2>У2 —координаты точек, ограничивающих участок /-й лемнис­ каты. Например, для лемнискаты ЛЗ имеем

Если в исходных данных задается площадь профиля, то угол заострения пе­ редней кромки соь обеспечивающий ее величину, определяется методом последовательных приближений. Первое приближение в этом случае выби­ рается в соответствии с формулой (6 .8 ), а второе осуществляется по фор­ муле

1,3F — 2R , - Ъ

( « 1 ) 2 = (со,)

1.3(F) , - 2Я, - Ъ

где (F) t - значение площади профиля по первому приближению. Итера­ ционный процесс осуществляется следующим образом:

(COQ;- (CQ1) / _ 1 (*>*- (Л /_ 1

Диаметр и положение максимальной вписанной в профиль окружности определяется через ее точки касания (рис. 6.7). Касательные, проведенные в точках С и К соответственно к спинке и корыту, образуют с прямой СК прямые углы, так как точки С и К являются точками касания вписанной в профиль окружности максимального диаметра. Следовательно, у с = ук =

—7 , где у — параметр спинки и корыта в точках С и К, а также угол, обра­ зуемый секущей СК с осью х. Координаты точек С и К определяются из решения систем уравнений

218

X c =X0 . + PCC°SiPc ; XK =XO 4 +PK COS'PK >

^

tg* =

XC ~ XK

где j — индекс лемнискаты, на участке которой лежит точка С. Диаметр максимальной вписанной в профиль окружности

Cm = V (* C - * JC) 2 + ( У с - У к ) г ■

Координаты ее центра

хо = хк + -COS7;

I

УО ~УК + -------- sin?-

2

При подборе профиля по величине максимальной окружности первое приб­ лижение для со! выполняется по формуле (6.8), а второе —по зависимости

Ст - 2*1

(a>ih = (о ^ )!

(Cm b - 2R I

где (Ст ) ! - значение диаметра максимальной окружности по первому приближению. В дальнейшем уточнение угла заострения входной кромки производится по итерационной формуле

(Wl ),• - (COi),-.,

(W l),4 (a>i),-+ [Ст - (Cm)j]

(c m)i (Cm)i- 1

Расчет параметров окружностей, вписанных в межпрофильный канал, выполняется следующим образом. На корыте соседнего профиля, отстоя­ щего на величину шага решетки t по оси Y выбирается несколько точек (K t) с координатамих к .} у к . (/= 1,2,..., п ) , затем определяются парамет­

ры окружностей, вписанных в образуемый канал и касающихся корыта

219

Рис. 6.8. К определению геометрических ха­ рактеристик межлопаточного канала

в указанных точках. Выбор точек про­ изводится по их параметрам. Задавая ук найдем координаты искомых то­ чек, пользуясь уравнением лемнис­ каты:

xKt = х 0 4

Укх = * +Уо« +PKjsintPKr

а параметры Л4 (а4, А 4, х о 4, Уо4) определены при расчете корыта. Дня вписанных в канал окружностей очевидна справедливость соотношения (рис. 6.8)

220