книги / Математические модели элементов интегральной электроники

ка их работы известна недостаточно полно или когда требуется провести качественный анализ работы схемы. Неизвестные коэффициенты выбранной аппроксимирую­ щей функции определяются из внешних электрических измерений характеристик прибора. Например, вольтамперную характеристику диода можно аппроксимиро­ вать кусочно-линейной функцией (рис. 1.2)

проектирование. Эта классификация предполагает по­ строение математических моделей трех типов.

Электрическая модель — модель, в которой исходны­ ми являются электрические параметры компонентов (коэффициент усиления транзистора, обратный ток, емкость р—я-перехода и т. п.), определяемые из внеш­ них электрических измерений компонентов. В большин­

Физико-топологическая *) модель — модель, в которой исходными параметрами являются геометрические раз­ меры областей компонентов и физические характери­ стики полупроводника (концентрация примесных атомов и ее зависимость от координаты, время жизни неравно­ весных носителей заряда, плотность поверхностных состояний, подвижность носителей и т. п.). Геометриче­ ские размеры определяются рисунком фотошаблона (или топологическим чертежом), а также толщинами слоев диффузионно-эпитаксиального профиля; физи­ ческие параметры определяются из соответствующих электрофизических измерений. В большинстве своем параметры этой группы приводятся в конструкторских чертежах на ИС.

Технологическая модель —модель, в которой исход­ ными являются параметры технологических режимов (температура и время диффузии или эпитаксии, ско­ рость потока газачюсителя, концентрация диффузанта, состав и температура травителя и т. п.). Эти параметры определяются с помощью соответствующей контрольнотехнологической аппаратуры; допуски на их значения содержатся в технологической документации.

В электрической модели искомыми выходными ха­ рактеристиками являются токи и напряжения на выво­ дах компонента. В физико-топологической модели в упрощенном варианте выходные характеристики —это электрические параметры компонентов I(T . е. исходные параметры электрической модели), в общем случае — токи и напряжения на выводах. Технологическая модель может быть трех степеней сложности, обеспечивая воз­ можность расчета либо физико-топологических параме­ тров, либо минуя эту стадию возможность расчета параметров приборов, либо, наконец, определения токов

физической теории и учитывают только основные эффек­ ты. Параметры этих ММ определяются из электриче­ ских измерений. Отличие электрической модели от фор-

В литературе иногда используется (в том числе в публика­ циях авторов этой книги) термин «структурная» модель. По-нашему мнению, этот термин юе совсем правильно отражает существо дела, а в ряде случаев может привести к путанице,

мальной состоит в том, что вид уравнений модели, или вид эквивалентной схемы, получается иа основании физической теории прибора, поэтому область действия такой модели значительно шире, чем формальной. Фи­ зические эффекты, которые не были учтены в упрощен­ ной теории, могут быть отражены в модели введением формальных коэффициентов и аппроксимаций. Напри­ мер, из диффузионной теории р—/г-перехода следует, что статическая характеристика диода описывается экспоненциальной функцией вида

фициент т отражает отклонение характеристик реаль­ ного прибора от теоретических.

Выражение (1.2) содержит два параметра /0 н /н, которые определяются из измерений вольт-амперных характеристик реального диода. Измеренные значения /0 и т отражают наличие не только диффузионного тока, но и влияние тока генерации-рекомбинации в р—п- переходе, токи утечки и т. д. (т. е. эффекты, которые не учитываются диффузионной теорией).

Электрические модели широко применяются для проектирования схем на дискретных элементах. Естест­ венно, готовые элементы удобно характеризовать систе­ мой электрических параметров (например, для транзи­ стора: нормальным и инверсным коэффициентами усиле­ ния, обратными токами и т. д.). Такие модели также используются для расчета ИС. В этом случае их пара­ метры определяются из измерений на специальных тестовых образцах или рассчитываются с помощью фи­ зико-топологической модели.

Ко второму типу относятся физико-топологические модели. Эти модели должны учитывать все основные эффекты, влияющие на работу прибора, так как они используются для проектирования самих полупроводни­ ковых компонентов, а не для аппроксимации характе­ ристик уже изготовленных приборов. Поэтому, как пра­ вило, физико-топологические модели значительно слож­ нее электрических. Например, физико-топологическая модель диода (одномерная, статическая, для низких

Н

уровней инжекции) имеет вид

Здесь цп, тл, [Лр, Тр — подвижность и время жизни элек­ тронов и дырок соответственно; Л — площадь р—п-\пере­ хода; ре, Шб — удельное сопротивление и толщина базы; pt —удельное сопротивление полупроводника с собст­ венной концентрацией /г*; d - - ширина р—п-перехода; LK—диффузионная длина; £/р_п— напряжение на р—п- переходе.

Выражения (1.3а) и (1.36) более точно по сравне­ нию с (1.2) описывают характеристику диода: диффу­ зионный ток (экспонента с показателем <рт), ток гене­ рации-рекомбинации (показатель 2срт)> сопротивление базы (1.36). Основным признаком, характеризующим эту модель как физико-топологическую, является то, что в качестве параметров она содержит геометрические размеры (Л, WQ, d) и электрофизические параметры (М-п, М-р , тп, тР) Lfl, рб, pi). ,При необходимости можно использовать более сложную модель диода, учитываю­ щую влияние профиля распределения примесей в р—п- переходе, поверхностную генерацию-рекомбинацию но­ сителей и т. д. Физико-топологические (структурные) ММ используются при разработке дискретных приборов и главным образом при проектировании монолитных ИС, так как этот процесс включает в себя и разработку всех

еекомпонентов.

Впрактике проектирования ИС применяются элек­

трические и физико-топологические модели разной сложности, а также их сочетания. Например, при изго­ товлении высокочастотных биполярных ИС режимы диффузии зафиксированы, в результате чего все типы схем имеют одинаковый диффузионный профиль. Следо­ вательно, часть параметров модели транзистора, зави­ сящих только от диффузионного профиля (удельные токи и емкости р—гг-переходов, коэффициент усиления

it т. д.), целесообразно определять из внешних электро ческих измерений на выводах транзистора.

Несколько особняком от электрических и физикотопологических моделей стоят технологические модели, в которых исходными являются па.рамет,ры технологиче­ ского /процесса. Например, глубины эмиттерного и кол­ лекторного р—«-переходов биполярного транзистора определяются следующими технологическими параме­ трами: количеством диффузанта, временем диффузии, температурой и т. д. Поскольку ход технологических операций определяется большим числом факторов, то для построения технологических моделей должны широ­ ко применяться статистические методы, позволяющие выделять основные факторы. Технологические модели могут быть применены как для анализа, так и для опти­ мизации технологических -режимов изготовления полу­ проводниковых приборов и ИС, а также для расчета исходных параметров физико-топологических моделей.

Разработка моделей этого вида находится пока еще в самой начальной стадии. До настоящего времени не создано ни одной модели, связывающей напряжения и токи на выходах транзистора с технологическими режи­ мами его изготовления. По существу, ведется лишь моделирование тех или иных технологических операций, т. е. построение неких «промежуточных» моделей, в которых искомыми являются структурные характери­ стики (толщины эпитаксиальных слоев, вид диффузион­ ного профиля и т. п.), которые сами в дальнейшем становятся исходными параметрами физико-топологиче­ ской модели.

Математические модели можно разделить на стати­ ческие и динамические. Статические модели отражают статическое состояние элемента при неизменных внеш­ них управляющих напряжениях и не учитывают его временное (переходные) характеристики. Динамические модели дополнительно отражают переходные процессы, происходящие в элементе, -при изменении во времени управляющих сигналов. В свою очередь динамические модели подразделяются на низкочастотные и высокоча­ стотные. Первые обычно применимы, когда скорость изменения управляющих сигналов значительно ниже скорости релаксации инерционных процессов, присущих самому полупроводниковому элементу. Высокочастот­ ные модели учитывают собственную инерционность

прибора. Кроме того, -различают модели для малого И для большого сигналов. Критерий «малости» сигнала может быть своим специфическим для каждого модели­ руемого объекта; как правило, для полупроводниковых приборов это условие выполняется, если амплитуды воздействующих сигналов не превышают значения срт- В моделях для большого сигнала часть параметров, та­ ких, как коэффициенты усиления по току, емкости р—п-переходов и т. д., зависят от электрического режи­ ма. В малосигнальных ММ эти параметры модели могут

учитываются происходящие в приборе процессы, модели делятся на одно-, двух- и трехмерные. Например, в со­ временных планарных транзисторах физические процес­ сы, происходящие в базовой области, носят ярко выра­ женный двухмерный характер вследствие эффекта вы­ теснения тока эмиттера в периферийные области.

При повышении степени интеграции полупроводни­ ковых ИС геометрические размеры компонентов по­ стоянно уменьшаются, поэтому применение двух-, а в некоторых случаях и трехмерных моделей компонен­ тов становится необходимым.

Заметим, что вопрос о .степени сложности »и детали­ зации используемой модели зависит от типа решаемой задачи. На практике существует иерархия физических моделей (это относится к электрическим, физико-топо- логическим и технологическим моделям), где каждая последующая модель является более точной и учитывает большее количество эффектов. Появление вычислитель­ ных машин с высоким быстродействием и большим объемом памяти позволяет применять более точные модели, 4TOt в свою очередь, влечет за собой повышение точности и качества проектирования полупроводниковых приборов и ИС.

1.2. Исходные уравнения

Расчет полупроводниковых приборов и компонентов ИС заключается в выборе параметров исходного полу­ проводникового материала с необходимыми электрофи­ зическими свойствами, параметров профиля примеси,

ростями 'генерации (gn) н рекомбинации (г„). Уравне­ ния (1.5) и (1.7) являются уравнениями для плотности токов электронов jn и дырок jp. Плотность тока содер­ жит две составляющие: дрейфовую (qn\inE) и диффу­ зионную (qD„&n). Вектор плотности полного тока j (1.8) равен сумме векторов электронного jn и дырочного jp токов и тока смещения jCMУравнение Пуассона (1.9) устанавливает связь между изменением электрического поля и зарядом.

Система уравнений (1.4) — (1.9), являясь достаточно общей, справедлива для макроскопических процессов. Она не учитывает влияния магнитного поля и неодно­ родностей полупроводникового материала (возможные нарушения и дефекты кристаллической решетки и т. д.). Приведенные уравнения справедливы при анализе про­ цессов в полупроводниковых приборах с размерами диффузионных областей не менее сотых долей микрона, градиентами концентраций легирующих примесей не более 1024 см-4 (для Si и Ge), при плотностях тока через

боты по расчету полупроводниковых приборов и компо­ нентов ИС.

В общем виде граничные условия, необходимые для решения системы уравнений (1.4) —(1.9), формулируют­ ся следующим образом:

1) На свободной поверхности полупроводниковой структуры нормальные составляющие электронного и дырочного токов определяются процессами поверхност­ ной .генерации-рекомбинации. Действительно, если по­ верхность не соприкасается с каким-либо проводником, то полный ток через нее равен нулю. Следовательно, потоки электронов и дырок к поверхности должны быть равны числу рекомбинирующих носителей, т. е. превы­ шению скорости рекомбинации над скоростью гене­ рации:

= (L1°)

где 0 — нормаль к рассматриваемой поверхности.'

Нормальная составляющая электрического поля (при отсутствии у дайной поверхности внешних источников