книги / Математические модели элементов интегральной электроники
..pdfЭлемент эквивалентной схемы
R'B и = \ /g r3 и.
R’8 C= l/g '3 C
С'зп
с з с
^си = 1/Яси
и
ga (w)
/с//*с
1
Крутая область
V [ * ,g o < l - 6 s)].
bago/coo
--- &3go/<Oo
l / f e o )
-*>/№ £• « о ( 1 - Е 2) ]
^ o ( l - | ) / ( l + / W )
Я'з нСга н = RTз сС'з с
1 - Е 2
0 < £ < 1
Пологая область |
Пояснения |
2£/[5СдЦрэ2 (С/3 — ^/о)]
ооi = \ — Vc/(V 3 — V«)
VaCflZL |
g , - W3ZC„ (у з _ у о) |
|
0
со
со
Н*рэСд^ (U3 — Uо)
L ( 1 + /сот')
Ш
15р.Рэ (t/ з — t/o )
1
0
6 , = 3 |
5 J |
Ь * = - | - ( 1 + 2 | > - 3 ^ )
t>3= - | - ( - ^ + 362- s 4)
/ с — ток стока
/*с — значение тока на границе крутой и пологой областей
4.5. Двумерный анализ
Улучшение традиционных и применение новых тех нологических методов изготовления МДП ИС позволяет уменьшить геометрические размеры активных областей и повысить степень интеграции МДП ИС. Уменьшение длины канала повышает удельную крутизну и быстро действие приборов. Уже в настоящее время, используя метод двойной диффузии [4], получают МДП-транзи-
сторы с |
1 мкм. |
|
|
|
Для приборов с малой длиной канала предположе |
||||
ние об одномерности становится неверным |
(в частности, |
|||
нарушается |
условие плавной |
аппроксимации |
канала — |
|
допущение |
5 в § 4.1). Для |
исследования |
и |
описания |
характеристик таких приборов необходимо использовать модели, учитывающие двумерный характер распределе ния потенциала в активной области. Точные двумерные модели также необходимы для определения области применимости одномерных моделей и для соответствую щей коррекции последних.
Общая система уравнений (см. гл. ,1) для стационар ного случая в нормированном виде имеет вид
Ь (х] у) = - |ip {grad [р (х, у)] + р (х, у) grad [у (х, $]}.
J, (*, у)= jln {grad [я (х, 0)] - |
(4.133) |
||
|
|||
— л (*. у) grad [? (х, у)]}, |
(4.134) |
||
d i V TP= |
— ^(X , У), |
(4.135) |
|
d |
i v f n = |
7 ( x f у), |
(4.136) |
V*?= |
я - p - \ - N , — Nл, |
(4.137) |
где концентрации электронов, дырок и примеси отнесе ны к tii (п=п/щ; p= p/pi и т. д.); все напряжения и по тенциалы нормируются к величине температурного по тенциала фт. Подвижность электронов и дырок норми руется к значению Do/фг»
где £)« = /.1д/{?«(); /, = 1 А/см1; Ьл= |/ ‘*пе0'рт/ (qni); ~jp=
= /р//«; in = /п//«; F— нормированное значение скорости рекомбинации,
Для решения этой системы уравнений необходимо задаться граничными условиями. Идеализированная структура МДП-транзистора, используемая при двумер ном анализе, приведена на рис. 4.32. Граничные условия могут быть получены из следующих соображений [27].
1. На EI и HJ, предполагая, что АВ и CD много меньше, чем EEi и ННi, справедливо соотношение
Щ д у — д п / д у = д р / д у = 0. |
(4.138) |
2. На металлических контактах EF, GH, IJ известно значение потенциала, равное значению приложенного
В Н Hi |
7 |
Рис. 4.32. Идеализированная структура МДП-транзи- стора.
напряжения. Кроме этого, на границе с металлическими контактами суммарная плотность заряда равна нулю
Р (* . У) = 0 |
(4.139) |
и выполняется условие термодинамического равновесия
Ъ р = 1. |
(4.140) |
Из уравнений (4.139) и (4.140) определяются граничные значения концентраций Я, р.
3. На электроде затвора ВС известно значение по
тенциала ф=/73.
4. На границе раздела диэлектрик — полупроводник FG нормальная составляющая тока равна току поверх ностной рекомбинации, определяемому по формуле /= =Л(рй—1), где А зависит от плотности центров поверх ностной рекомбинации. Кроме того, на FG можно запи-
243
сать граничное условие для нормальной составляющей электрического поля
ед (д<р/дх)\л — €„ (д<?/дх) \n = f (<Р), |
(4.141) |
где f (<?) — нормированное значение плотности заряда по верхностных состояний, которое в общем случае зависит
от поверхностного потенциала <р.
Систему уравнений (4.133)—'(4.137) можно привести к более удобной форме. Для этого представим концен трации электронов и дьгрок в виде
п (*, У) = а (х, у) exp у, |
р (х, у)= Ъ(.к, у) ехр (— <р) |
|||||||
и подставим |
(4.133), (4.134) |
в |
уравнения |
|
(4.135), |
|||
(4.136). Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
_д_ |
( |
* i D * + i k’ |
^ ' W ) = ‘ |
|
|
|||
дх |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
т=- уН*Ре |
|
|
|
- |
* ■ |
) |
{ 4 т |
|
дх \ |
~ £ ) + т г (” " |
|||||||
|
ду |
д*<р |
ае' |
6е“ ф+ |
ЛГа- ^ д . |
|
|
|
|
дх* |
дуг |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Система (4.142) включает в себя три дифференциаль ных уравнения в частных производных эллиптического типа. С граничными усло виями, перечисленными вы ше, эта система уравнений описывает двумерные ста ционарные процессы в актив ной области МДП-транзи-
стора.
|
|
Для численного решения урав |
|||||
|
|
нений (4.142) целесообразно исполь |
|||||
|
|
зовать |
метод сеток, |
предусматри |
|||
|
|
вающий |
представление производ |
||||
Рис. 4.33. |
Узел двумерной сет |
ных по координатам в разностном |
|||||
виде. |
Если рассматриваемую об |
||||||
ки. |
|
||||||
|
ласть (рис. 4.32) |
покрыть сеткой и в |
|||||
|
|
||||||
|
|
ее узлах |
(рис. |
4.33) |
производные |
по координатам заменить разностными выражениями, то каждое из уравнений (4.142) заменится системой алгебраических уравнений, порядок которой равен количеству узлов. Например, первое уравне ние для узла с координатами i, j заменится следующим разностным:
"'+*■/ (Jcriw+i/a.i«'r' 4’,/*'/ ) + . '( - ^ i r«/-i/2./e‘Pi_1/2', ) +
+ «•/+' |
/+ M-A1, /+'/2) -Ot.l [AJ |
d ^ +W, y |
<+ W + |
||
+ н™_|Л/ ' |
|
|
?ir/+l/2 |
, |
|
I/2,/>+"^7' ("W,’/it. /+1/2,c |
“Г |
||||
|
+ |
Р-ЯС„/—l/2e‘ |
: sij, |
(4.143) |
|
где h2t = |
Ы 0hi - f Лг _ ,)/2; An- = Л/_ ,/Af; |
m2/ = |
от/ (от/ -f от/+ 1)/2; |
отг^ = от?*—J/OTJ; /ii-ь Л« — шаги сетки по координате а: соответственно влево и вправо от узла i, /; m,-_i, mj — шаги сетки по координате у
соответственно вниз и вверх от узла /, /; (pi+t/z,i= (cpf+i.j+cp*,i)/2. Таким образом, получаем три системы линейных алгебраических уравнений, при этом порядок каждой системы равен количеству узлов сетки. Заметим, что если задаться распределением потенциа
ла ф в рассматриваемой области, то значения коэффициентов a(xt у) и Ь(х, у), связывающих концентрации электронов и дырок с потен циалом, можно определить из первых двух уравнений системы (4.142) , которые являются линейными относительно а и Ь. Если же известны коэффициенты а и Ь, то распределение потенциала можно определить из уравнения Пуассона (третьего уравнения в системе (4.142) ). Эти соображения легли в основу алгоритма решения, пред ложенного в [27] и включающего в себя последовательное решение следующих задач.
1. Задаемся начальными значениями ср, а, Ь во всех узлах сетки.
2. Подставляя ср в систему разностных уравнений (4.143) и ана логичную систему, соответствующую второму дифференциальному уравнению в (4.142), определяем коэффициенты а и Ь.
3.Подставляя эти коэффициенты в уравнение Пуассона, опре деляем новые значения потенциала^.
4.Сравнивая новые значения ср с предыдущими, проверяем усло вие сходимости итерационного процесса. Если максимальное прира
щение ср"на очередном шаге итерации становится меньше заданного, то задача считается решенной; в противном случае переходим к бло ку 2 и делаем следующий итерационный шаг.
При численном решении системы уравнений с помощью ЭЦВМ
возникают |
трудности представления больших |
чисел, связанные |
||
с ограничением разрядной сетки вычислительной машины. |
||||
Домножнм уравнение |
(4.143) |
на'коэффициент |
е4^ е ~ ч>|’11 = 1 и |
|
заменим'выражение я л /е” ?/,/_на |
яг,/. В результате получим систему |
|||
уравнений |
относительно |
п и у |
_ |
|
|
Я*+Ы. hzi |
Pni+lJ2.je |
|
+ |
*«->•/ |
|
J + |
|
, |
- |
Г^ 7 7 |
./+1/2е |
/-*!,/+i)/al . |
+ |
|
/+ 1 I мг! |
J ^ |
+ л^ - 1 [ о т ^ ™ / - 1/2
+ i «^№.«./+1,2* |
+ ^ t./_ j/2e |
1_^ /,/2I = « ./• |
(4.144)
Аналогичные преобразования произведем во второй системе уравне ний. В результате оказывается, что показатели степени в экспонен-
Рис. 4.34. Двумерные рас пределения потенциала (о), дырок (б) и электронов (в) в активной области МДГ1транзнстора.
циальных членах будут содержать разности между потенциалами в соседних узлах, которые значительно меньше самих потенциалов.
Для решения уравнения Пуассона, являющегося нелинейным дифференциальным уравнением, в 1[27] предложено использовать ме тод кваз'илине^ризации. Если на (р+1)-м шаге_итерации приращение
потенциала Дср = ср<р +1)—ср<^>, то для малых Д<р можно приближенно записать
|
(1 + Of). |
|
|
Используя эту |
аппроксимацию, сведем уравнение |
Пуассона |
к линей |
ному относительно Д<р: |
|
|
|
с?2Ду д2Ау |
|
|
|
ду* |
-— « (П + Р) = П— р -f Nа— Мд — ~а^2 |
ду*~' |
|
|
|
|
(4.145) |
Для решения |
систем уравнений (4.144),. (4.145) |
можно использовать |
итерационные методы, например, метод последовательной верхней релаксации (28]. Нахождение решения требует от 50 до 200 итера ций [28].
Используя разностные аппроксимации уравнений (4.142), можно построить двумерную модель МДП-тран зистора с сосредоточенными параметрами, включающую
рассмотренные |
в |
гл. |
1 эле |
|
|
|
|||
менты |
проводимости |
для |
|
|
|
||||
электронов |
и дырок |
(кото |
|
|
|
||||
рые |
отражают диффузию и |
|
|
|
|||||
дрейф носителей) |
и так на |
|
|
|
|||||
зываемые «элементы реком- |
|
|
|
||||||
бинациии», «элементы Пуас |
|
|
|
||||||
сона» |
и др. |
двумерного |
|
|
|
||||
С |
помощью |
|
|
|
|||||
анализа |
можно |
получить |
|
|
|
||||
распределения |
-потенциала, |
|
|
|
|||||
концентраций электронов и |
|
|
|
||||||
дырок |
в а-ктивной области |
|
|
|
|||||
МДП-траизистора |
(резуль |
|
|
|
|||||
таты расчета даны на рис. |
|
|
|
||||||
4.34). Двумерный анализ так |
Рис. 4.35. Зависимость концен |
||||||||
же |
позволяет |
исследовать |
трации дырок |
от координаты |
|||||
эффекты растекания носите |
в обедненной |
области |
отсечки: |
||||||
лей в обедненной области от |
/ _ д ВуМерныЛ |
анализ; |
2 — аппро |
||||||
ксимация. |
|
|
|||||||
сечки |
у стока МДП-транзи- |
|
|
|
|||||
стора |
(эти эффекты определяют выходную 'проводимость |
прибора в пологой области характеристик). Сравнение результатов, численного анализа с результатами, полу ченными по приближенной модели для пологой
области характеристик в § 4.3 (4.60) —(4.62), приведено на рис. 4.35. Видно, что обе кривые удовлетворительно согласуются между собой.
На рис. 4.36 приведены примеры распределения по верхностного потенциала по длине канала. Вследствие
двумерных эффектов зависимость q>(i//L) является функцией длины канала L (в одномерном случае это
О0,ц 0,8J/L
Рис. 4.36. Распределения |
по |
Рис. |
4.37. |
Экспериментальные |
|
верхностного потенциала |
по |
(ООО) |
и |
рассчитанные |
с по |
длине канала. |
|
мощью |
двумерной модели |
(-------- ) |
|
|
|
выходные |
характеристики |
МДП- |
|
|
|
трапзнстора. |
|
распределение практически не зависит от L). Для при боров с малой длиной канала необходимо также учиты вать составляющую тока сквозного обеднения, обуслов ленного также двумерными эффектами.
Выходные вольт-амперлые характеристики МДП-
транзистора с 1 = 5 мкм; дгд=900 A; Z=100 мкм; £/п=О, полученные при помощи двумерной модели, приведены на рис. 4.37 (расхождение с экспериментальными кри выми не превышает 5%).
В заключение отметим, что непосредственно приме нять двумерные модели для электрического расчета МДП ИС нецелесообразно ввиду их громоздкости. Дву мерные модели позволяют установить связь между фи зико-топологическими параметрами прибора и его элек трическими характеристиками. При анализе схем для описания выходных характеристик МДП-транзистора можно использовать одну из аппроксимаций, рассмо тренных в § 4.3, например, аппроксимацию (4.101) — (4.103); коэффициенты же аппроксимации для приборов
с короткими каналами (в которых проявляются двумер ные эффекты) следует определять из сопряжения аппроксимирующих характеристик с характеристиками не одномерной, а двумерной физико-топологической мо дели МДП-транзистора.
По главе можно сделать следующие выводы. Физико-топологические модели МДП-транзистора,
используемые при проектировании как отдельных при боров, так и МДП ИС, должны учитывать следующие физические эффекты, определяющие точность моделиро вания в реальных режимах работы МДП ИС: зависи мость поверхностной эффективной подвижности от про дольного и поперечного электрических полей; влияние заряда обедненного слоя подложки; виляние паразит ных сопротивлений истока и стока; температурную за висимость характеристик. Наиболее точными статиче скими моделями МДП-транзистора являются физико
топологические |
модели, описываемые уравнениями |
(4.47) —(4.52) и |
(4.55) —(4.64). Эти модели можно при |
менять при моделировании МДП-транзисторов с корот кими (L> 3 мкм) каналами в широком диапазоне изме
нения управляющих напряжений |
(от 0 до 40 |
В) и |
температуры (от—60 до -И25°С), |
т. е. их можно |
вклю |
чать в автоматизированные программы, предназначен ные для анализа широкого класса МДП ИС.
Динамическая модель МДП-транзистора включает модель активной области прибора, дополненную пара зитными сопротивлениями и емкостями, отражающими его внешнюю область. Наиболее точные модели актив ной области получаются при использовании метода возмущений (4.79) и метода заряда (4.94). Эти модели учитывают нелинейность внутренних емкостей и их следует применять для анализа быстродействующих МДП ИС с малыми нагрузочными и паразитными емкостями. При расчете схем, изготовленных по стан дартной технологии, приемлемую точность обеспечивает модель с усредненными (по режимам) емкостями (4.97).
При машинном проектировании МДП ИС оптималь ным является использование как физико-топологиче ских, так и электрических моделей. Первые применяют ся для расчета по физическим характеристикам и топо логии ИС электрических параметров Uo, ky rj, go отдель ных входящих в схему МДП-транзисторов, а вторые —
для электрического расчета качественных показателей (логических уровней, помехозащищенности, потребляе мой мощности, времени задержки и т. д.) самой схемы. Такой подход позволяет значительно сократить затраты машинного времени. В качестве электрической модели для статического тока МДП-транзистора целесообразно использовать уравнения (4.101) —(4.103) или (4.116) —г (4.123). Электрические модели также применяются для приближенного анализа МДП ИС и сравнения различ ных схемотехнических решений. Затраты машинного времени могут быть сокращены за счет использования различных по сложности и точности моделей на разных этапах проектирования: начиная от достаточно простых при выборе принципиальной схемы и ориентировочном расчете параметров (длины и ширины канала) МДПкомпонентов и кончая более точными при окончатель ном машинном расчете параметров [23].
Физико-топологические модели для МДП-гранзисто- ров с короткими каналами (L < 2—3 мкм) должны учи тывать двумерный характер происходящих в приборе процессов. Такие модели основаны на решении основной системы уравнений (4.133)—'(4.137), описывающих про цессы в полупроводнике; они используются для коррек ции электрических параметров одномерных моделей, применяемых при электрическом расчете схем.
Глава 5
РАЗНОВИ ДНОСТИ У Н И П О ЛЯРН Ы Х Э Л ЕМ ЕН ТО В
5.1.МДП-транзистор с ионно-легированным каналом
Впоследние годы технология ионного легирования все шире внедряется в массовое производство полупро водниковых приборов и ИС. Одной из основных обла стей применения технологии ионного легирования (ИЛ
технология) является создание цифровых МДП ИС с ионно-легированными каналами (ИЛ МДП ИС). Простота управления и отличная воспроизводимость ИЛ процесса дозволяет точно регулировать значения поро говых напряжений МДП-транзисторов и создавать низ копороговые схемы, совместимые с ТТЛ и ДТЛ ИС, МДП ИС с обедненными нагрузками (в которых нагру