книги / Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек
..pdfПостроение вариационного функционала |
141 |
||
dAU |
dAWdW |
1 |
(7.1.4) |
Аец=------- |
1------------- |
1— |
|
dx |
dx dx |
2 |
|
С учетом (7.1.4) вариация функционала П* примет вид:
|
* d26AW |
* SAW * "dSAU [ dSAWdW [ dAWdSAWM. |
|
srW JiM i |
•N22 -^ - + N H |
dx dx dx dx |
|
'• « f |
dx* |
v dx |
-Jf q,5AWds+p*8AU(l)=0,
(7.1.5) Возмущенные внутренние усилия запишем в виде сумм исход
ных усилий и их приращений:
Мп*= Мц+ АМц, N n^N ii+A N n, N22*=N22+AN22 |
(7.1.6) |
Исходные внутренние усилия Мц* , N22* , Nn* считаются из вестными, они получаются накапливанием приращений, получен ных на предыдущих этапах расчета, следуя модели наведенной не однородности .
Соотношения для приращений напряжений в модели наведен ной неоднородности имеют вид:
Дстц =Eijki Aew + Гу |
(7.1.7) |
где Буи — матрица констант "упругого эквивалента" материала с наведенной неоднородностью; Гу— слагаемые, учитывающие изме нение механических свойств нагруженного материала /224/.
Тогда
A M n=D m i^ А ~ > |
ANii=BiikkAekk+ANiP> |
(7-1-8) |
|
dx |
|
|
|
|
|
h |
|
г д е D i n i = i E i i n z 2 d z ; Внкк- |
\ E itkk d z |
A N i^Jradz . |
|
- ь |
-h |
-h |
|
Учитывая (7.1.8), получим выражение для приращений:
142 |
Построение вариационного функционала |
|
|||||||
|
|
|
|
|
лхт |
о AW л |
|
(7.1.9) |
|
|
|
|
AN21-УAN11+Р |
+А . |
|
||||
Здесь |
Вин. |
г. _ В2222В1111-В 1122В22 П. |
д _ ... |
_ |
|||||
у = - ^ ; |
(3 = |
----- |
:— -------------- |
|
, |
А = AN22P-YANnp . |
|||
|
Вин |
|
|
Впп |
|
|
|
||
Тогда вариация функционала П * |
примет вид: |
|
|||||||
_* „ |
d25AW |
_ |
d2AW d28AW |
( ........................ |
|
45AW |
|||
6П =ЙМп--- |
+D1111- |
|
2 ~ |
2 |
+\N 22+У AN,,+ А) —“ + |
||||
|
|
dx |
|
|
dx" |
dx |
|
|
|
AW 8AW |
( d5AU |
d5AW dW |
dAWdSAW^ |
|
|||||
R |
R |
+Nl,l |
dx |
+ .dx |
d x + dx |
dx J |
(7.1.10) |
-(q+Aq)8AWds+(p+Ap)AU(1)=0 ,
Вф ункционале П * м ож н о вы дел и ть ли н ей н ы е относи тельно
приращ ений слагаем ы е П и. нели н ей н ы е д П :
|
|
|
|
П * = П + А П |
|
(7.1.11) |
|
„ |
fr |
d25AW |
AW |
( dAU |
dAW dW') |
4Ir/l4 |
|
П |
= tf M u------ — |
+ N 2 2 — |
'+ N 11I — |
+ - |
. ]-qAWds+pAU(l); |
||
|
s |
dx |
R |
v dx |
dx |
d x J |
(7.1.12) |
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что первое слагаемое в (7.1.11) не играет роли при определении приращений перемещений, которые являются здесь ис комыми функциями. Действительно, варьирование и условие ста ционарности
5П = 0 |
(7.1.14) |
Построение вариационного функционала |
143 |
позволяют получить обычные условия равновесия для внутренних усилий исходного состояния:
8 i U |
, 0 ; ^ ^ i = 0 ; |
|
|
(7.1.15) |
|
dx |
|
|
|
8 A |
W * 0 ; ^ i + |
^ + - p ( N |
„ ^ ] + q = 0 |
(7.1.16) |
|
dx |
R dx V |
dx / |
|
Исходное состояние равновесно, следовательно, (7.1.15) и (7.1.16) тождественно удовлетворяются, поэтому условие стационар ности
5П* =0 |
(7.1.17) |
эквивалентно условию |
|
8ДП “ 0. |
(7.1.18) |
Отметим, что из (7.1.18) получается система определяющих дифференциальных уравнений в приращениях
6д и * 0; d4И и = о (или AN|) = -AP ); (7.1.19) dx
(7.1.20)
7.2. Построение вариационного функционала для пологих оболочек с наведенной неоднородностью
Конкретизируем вариационный принцип в случае больших пе ремещений пологих прямоугольных в плане оболочек на основе не линейной кинематической модели, учитывающей деформации попе речного сдвига. В этом случае выражения для приращений деформа ций имеют вид
144 |
Построение вариационного функционала |
Приращения деформаций срединной поверхности будут пред ставлены соотношениями:
|
1 (зди? зди° ади?адиз.здиззди5.эдизэди°| . |
|||||||
Деп=-------- ь------- 1-------------- н |
эх* axj |
•" |
“ КуДизоу-* |
|||||
J |
2^ axj |
axi ах; |
axj |
axj |
a x j) |
|||
|
|
A |
i f ади? |
A о |
|
(7.2.2) |
||
|
|
AEi3=2 U |
r |
AYi |
|
|||
|
|
|
|
|||||
Подставляя (7.2.1) |
в выражение для вариации функционала П* |
|||||||
и производя интегрирование по толщине оболочки, получим: |
||||||||
|
5 П* = Я NyбДеу+ \ |
МJ ( |
5xj |
- |
J р- бДи "dc - |
|||
|
|
s |
2 |
^ |
axi |
|
|
|
--M ij |
абду° 12а2б д и з | Э5АУ° |
+[ Q*-Q* |
5A£i3-q*5AU"ds, (7.2.3) |
|||||
|
dX j |
d x i d x j |
|
д х \ |
|
|
|
|
Через С обозначена та часть контура оболочки, на которой зада ны внешние контурные силы.
В этой главе для обозначений, связанных с кинематической ги потезой, в отличие от предыдущей главы, использован верхний сим вол ~ , так как символ * занят для обозначения возмущенных зна чений обобщенных усилий.
Подставляя (7.2.2) в (7.2.3) и группируя линейные слагаемые, получим выражение для функционала П :
|
ади? t эди?) | |
Гади? | эй? |эи? эди?) |
2П =IjNij] |
. ах, ах, J |
'л дх-, axi эх, эх, J |
Построение вариационного функционала |
145 |
|
-2NijkijAU?8ij+Mij |
аду- |
^ A y fl |
f d A y - ^ A U i ' dA rfj, |
|||||||
4 5xj |
|
|
-М |
|
|
|
|
д х\ J |
||
|
|
dxj ^ |
\ дх-} |
d x i d x j |
||||||
|
+( Q . - Q ,) ( ^ ° + ^ |
) |
_ 2qAUjds - J Pi8AUfdc. |
(7.2.4) |
||||||
Квадратичные слагаемые |
(и более высокого порядка) дают вы |
|||||||||
ражение для 5Д П : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28ДП =я |
д |
dxj |
U |
fo A u L e u L M M S ' |
||||||
s |
V. d x j |
J |
|
v |
Эх; |
|
dxi |
dxj |
dxi |
|
. . . |
. . , TTo. ,/TJ , ш \fd8дичали? |
эди5абди5^ |
||||||||
2ANij kу 8AUз5ij+(Nц+AN |
|
^ |
“ |
“ f —“ |
|
" |
||||
|
fд 8 А у ° |
д8Ау° |
|
- |
(абду° |
,Э»8Ди; |
|
|
||
|
|
8xi |
-M { - ^ |
d x i d x j |
dxi |
|
||||
+1 AQi-AQjll 8Ay° + asAuf! |
- 2Aq5AU3°d s-f Др;5Ди^с. |
(7.2.5) |
||||||||
|
|
axi |
J |
|
|
|
|
|
|
|
Напомним, что П + Д П = П * . |
|
|
|
|
|
|
||||
Заметим, что из |
выражения для вариации П следуют условия |
равновесия в полных функциях, которые должны тождественно удовлетворяться (или давать соотношения для невязки, как в главе
6): |
|
|
|
* |
5 Д и ^ 0 ;- > — -=0 |
|
|
|
|
|
dxj |
|
|
|
|
? (м г М к ) |
|
|
(7.2.6) |
8Г М );- 8Ду°*0;-> |
|
|
|
|
9xj |
= Q r Q i |
|
|
|
|
|
|
|
|
бД и^О ;- |
9*М,зМ |
■6ijkijNij+q+— |
au; |
|
N ij-r1 =0 |
||||
|
axi^xj |
axi |
a ^ |
3xj |
146 |
Построение вариационного функционала |
Варьирование АП дает систему уравнений в приращениях:
5AU“* 0 ^ — —^=0
|
5xj |
|
|
|
а(дму-ДМ у) |
|
|
5ДП=0;- 8Ду°*0,->—-— ------- |
—=AQ,—AQj . |
||
|
0Xj |
|
|
|
, |
д\ ДОг-ДСМ |
|
|
d2AMij |
I Vl |
Vv |
5Ди?^0, |
ex; |
5ijkijДЫу+Дч+ |
|
|
?Xi5xj |
|
|
|
Гд№, М +м^ |
+лм^ ] = о . |
|
A |
d x j |
d x j |
d x j J |
(7.2.7)
Таким образом, точное решение задачи в приращениях дает минимизация функционала ДП , вариация которого может быть пе реписана в следующей форме:
8ДП =ЯШ*6Деа+} №/ ^ |
^ |
+^ ^ |
1 |
+ |
|
s |
2 V dxi |
dxj |
oxi |
dxj |
J |
+ДМа8Д%#- ДМа8ДХц+ ( AQ| - Щ J 5Ду; - AqSAUjds- j Ap^AUj’dc ,
(7.2.8)
где введены обозначения:
аду-
дх}
7’I-°г 1 <1
axi ,
& ди° . |
_( »..о,эди' |
ДХ Г АХ#Ндх\3xj |
АуН Ау1+- дх\ |
Построение вариационного функционала |
147 |
На основе (7.2.8), как частный случай, может быть получен функ ционал для кинематической модели Кирхгофа-Лява.
При этом |
|
тогда |
|
|
(7.2.10) |
Чтобы из вариации ДП получить функционал, |
нужно выра |
зить приращения усилий через приращения деформаций, подставить их в выражение для вариации ДП, затем использовать геометриче ские соотношения в приращениях. Заметим, что обычно при числен ных реализациях не получают окончательную формулу для функцио нала,в перемещениях, так как она имеет громоздкий вид и не требу ется для программирования. Здесь для иллюстрации получим част ный случай в окончательном виде, упростив выражения для прира щений внутренних усилий и ограничиваясь гипотезой КирхгофаЛява. Запишем выражения для приращений внутренних усилий:
AMij=Sijki Aeki+Dijki AXki+AMjj; |
(7 2 11) |
ANij=Bijki Aeki+Sijki AXki+ANjj■
Здесь возможны упрощения: Sijki*^ (кососимметричные инте
гралы по толщине).
В этом случае функционал АП примет вид:
(7.2.12)
+2AMgАху+ 2ANgAejj2AqAU"ds2j Ap^AU^dc .
148 |
Построение вариационного функционала |
Возможна постановка нелинейной задачи в смешанной фор ме. Заметим, что
AefPijki(4Nki-AN£,).
При этом |
|
|
2ДП = Н Рш ANkiANij+Nij— |
^b + D iik i Дх8 ДХи + |
|
s |
OXj |
uXj |
+2ДМ5 Дх8 - 2ДЧди;<к - 2( APl8AU“dc .
Тогда, вводя функцию усилий F
^A F
ANki-5ki (v 2 AF- APki)~
dxicdxt
получим
AEij=Piikl^6k,(V2 AF“APk' b £ ~ ^ “ANb)
Здесь обозначено
|
|
V2(*> |
|
|
' Эх, 3x! |
APki |
— |
приращение контурных усилий; |
AF |
— |
приращение функций усилий. |
Тогда
(7.2.13)
(7.2.14)
(7.2.15)
(7.2.16)
2ДП = ЯРда(8и( у ^ - д р и) - £ | ;) ( г ^ Д Р - Д Р а) - ^ ;)+
+ 0№Дх,,Дхм+Nij |
M !j + 2МСдХи - 2AqAU?ds2JAPi8AU”dc. |
|
J |
OXi O X j |
C |
|
|
(7.2.17) |
Данный функционал соответствует нелинейной задаче в сме
шанной форме.
Метод Ритца в нелинейных задачах механики |
149 |
После того, как функционал П* построен и вариационный принцип доказан, можно применять процедуры построения прибли женного решения задачи вариационными методами (Ритца, Гаперкина, конечного элемента и их модификаций).
Для этого нужно конкретизировать П* для заданной конст рукции, системы нагрузок, геометрических и физических соотноше ний.
7,3. Метод Ритца в нелинейных задачах механики конструкций с наведенной неоднородностью материала
При решении упругих задач механики конструкций широко применяется метод Ритца для получения приближенных решений. В основе метода Ритца, как известно, лежит вариационный метод, по зволяющий свести задачу к минимизации некоторого функциона ла, представляющего собой энергию деформируемой системы. Неиз вестные перемещения аппроксимируются системой функций с неиз вестными коэффициентами при них. Условия минимума энергии да ют алгебраические уравнения для определения неизвестных коэффи циентов.
Для упруго-пластических задач метод Ритца не получил широ кого распространения. Причина здесь в том, что прежде, чем приме нять метод Ритца, нужно найти функционал, который бы обладал не обходимым свойством: минимум этого функционала должен дос тавляться точным решением задачи, для которой он построен, ины ми словами, нужно иметь вариационный функционал задачи. Для
упругих задач таким |
функционалом служит, например, функцио |
нал полной энергии. |
|
Для некоторых |
известных теорий пластичности имеются ва |
риационные функционалы, для которых доказан вариационный |
принцип. Заметим, что для каждой новой теории (системы гипотез) функционал надо строить заново и доказывать, что найденный функционал может быть применен для данной теории в вариацион ных методах. Для деформационной теории (теории малых упруго пластических деформаций) и теорий пластического течения некото рые результаты приведены в [37].
150 Построение вариационного функционала
Однако для деформационной теории в приращениях (искомы ми функциями являются не перемещения, а их приращения, сами пе ремещения накапливаются от шага к шагу по нагружению) вариаци онный принцип должен быть сформулирован заново. Теория наве денной неоднородности является в некотором смысле обобщением деформационной теории в приращениях, так как в процессе де формирования конструкции под действием нагрузки возможен также учет деградации и развития неоднородности механических свойств материала. При этом напряженно-деформированное состояние в точке материала зависит не только от уровня нагружения конструк ции, но и от степени деградации механических свойств ее материала. Таким образом, для конструкций с наведенной неоднородностью, описываемых в рамках теории наведенной неоднородности, задается не только закон деформирования материала (диаграмма деформиро вания), но и закон ее изменения под действием факторов, вызываю щих деградацию механических свойств материала. К числу таких факторов можно отнести, в частности, воздействие агрессивных сред на материал нагруженной конструкции. Деградация свойств мате риала учитывается с помощью введения деградационных функций в закон, описывающий диаграмму деформирования, и использования критерия объективной прочности. Система уравнений задачи до полняется кинетическими уравнениями для определения деградаци-
'онных функций.
Вслучае вырождения кинетических уравнений для функций деградаций (функции деградации - константы) теория наведенной неоднородности предельно переходит в деформационную теорию пластичности в приращениях.
Таким образом, вопрос о применении приближенных вариаци онных методов для задач с наведенной неоднородностью должен быть решен в рамках теории наведенной неоднородности: требуется получить вариационный принцип, построить функционал для кон кретной задачи, используя соотношения модели, и, наконец, усло вия его минимума в виде алгебраических уравнений для коэффици ентов.
В основу положим принцип виртуальной работы, совершае мой телом в возмущенном состоянии на виртуальных приращениях перемещений.
Формулировка этого вариационного принципа сделана ранее, где показано, что точные решения задачи о равновесии тела.с наве