книги / Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек
..pdfВариационные принципы |
Ш |
Гл ава 5. Вариационные принципы
втеории наведенной неоднородности
5.1.Вариационные принципы
вмеханике нелинейно-деформируемых систем
Для построения теории деформирования конструкций, в основе которой лежит модель наведенной неоднородности, сформулируем вариационные принципы, которые придадут построенной теории за
вершенный вид и позволят строить решения конкретных задач |
с |
|
помощью использования вариационных уравнений |
и получить |
определяющие уравнения теории в виде дифференциальных систем уравнений.
Любой другой способ получения определяющих уравнений теории не может быть предпочтительнее, так как вариационная фор мулировка построена на фундаментальных принципах механики и позволяет получить зависимости с вполне ясным физическим смыс лом.
За основу примем принцип виртуальной работы (другое назва ние - принцип возможных перемещений).
Отметим, что вариационная формулировка широко использу ется в тех случаях, когда принцип виртуальной работы сводится к ■' принципу стационарности потенциальной энергии: среди множества всех допустимых состояний истинное состояние равновесия характе ризуется стационарностью потенциальной энергии. В частности, этот принцип широко применяется в линейной и нелинейной теории упругости.
Применение вариационных принципов в теориях пластично сти связано с определенными трудностями: необходимо найти функционал, минимум которого существует и доставляется точным решением задачи о равновесии тела. Такие вариационные постанов ки задачи применяются гораздо реже, чем в упругих задачах.
В физически нелинейных теориях статики закон связи тензоров напряжений и деформаций постулируется в следующем виде:
tfjj “ <Jij(e lI>e 12>,,,>e33)> U- 1>2,3 . |
(5.1.1) |
112 |
Вариационные принципы |
|
|
|
Обычно существуют обратные зависимости |
|
|
|
ejj =ей(о,1,с|2>...,о3з), |
ij=l,2,3 |
(5.1.2) |
Когда деформации достаточно малые, а функции связи напря жений и деформаций достаточно гладкие, зависимости (5.1.1) можно разложить в ряд по степеням еш и сохранить столько членов ряда, сколько считается необходимым. В частности, отсюда можно полу чить кубическую параболу, которая часто используется, если нели нейность не сильно выражена, или линейную связь напряжений и деформаций (закон Гука):
а ii Г " е kl • |
(5.1.3) |
Для изотропного материала а1|1П - изотропный тензор четверто го ранга.
Кроме соотношений (5.1.1). задаются геометрически нелиней ные зависимости деформаций от перемещений в точке тела
2еу = --- L +--- ' |
+ ^Uk 3Uk |
ij.k=l,2.3 |
(5.1.4) |
dXj dXj |
ax; ax3 |
|
|
На участке границы 5, заданы граничные условия в напряжени ях в виде:
•5w+ -^ k}a^, = FK. |
(5.1.5) |
где 7], - направляющие косинусы внешней нормали к поверхности;
Fk - поверхностные силы, отнесенные к единичной площади недеформированной поверхности.
На участке границы St заданы условия в перемещениях:
U, =Uf , |
(5.1.6) |
где (J* - заданные функции координат. Массовые силы, отнесенные к единичному объему, обозначим: Р, (i=l,2,3).
Вариационные принципы |
113 |
|
Тогда принцип виртуальной работы для такого тела имеет са мый общий вид:
IJJoij5eiJdv-JJfPi8Uidv-flF i5Uids=0 |
(5.1.7) |
||
v |
v |
S |
|
Принцип гласит:
Если тело, определенное зависимостями (5.1.1 )-(5.1.6) нахо дится в равновесии, то есть выполняются уравнения
д_
+ Pk =0; ij=l,2,3, (5.1.8)
<9Xj
то на допустимых виртуальных перемещениях SU, (допустимые - значит удовлетворяющие геометрическим условиям на S2) будет вы полняться (5.1.7) и обратно: из (5.1.7) и геометрических условий на
.Sj следуют уравнения равновесия и граничные условия на 5,. Рассмотрим функции, описывающие физические соотношения
(5.1.1). Если эти функции такие, что величина c^de^ - полный диф ференциал, то, значит, существует функция состояния А(е„,е12,...,ез3) такая, что
dA = CTjjdejj |
(5.1.9) |
Известно, что условием существования такой функции являют |
|
ся условия |
|
_ JL = |
(i, j, m,п = 1,2,3). (5.1.10) |
Зе,н» |
|
выполняемые для всех сочетаний индексов.
В частности, для линейных зависимостей (5.1.3) требование (5.1.10) равносильно такому
(5.1.11)
При этом
114 |
Вариационные принципы |
А - называется плотностью энергии деформации. Когда плотность энергии деформации существует, то существует энергия деформа ции.
Известно, что при малых деформациях плотность А положи тельно определена.
Если функция энергии деформации для физически нелинейного тела существует, то принцип виртуальной работы (5.1.7) может быть представлен в виде
5 JJJА(Uj )dv -jjf Pj oUjdv-lf Fi6Ulds=0 , |
(5.1.12) |
где A{U,) получено из A{%) с помощью (5.1.4).
Отметим, что вид функции A(e.t) всякий раз надо получать за
ново, он зависит от вида (5.1.1).
Выражение (5.1.12) - принцип стационарности энергии для неконсерватнвных сил. Если для внешних нагрузок существуют потен циальные функции Y(ev) и Z(er)
8Y = -Pj 5Uj и 8Z = -F,8Ui,
то вместо (5.1.12) имеем
(511 = 0 |
(5.1.13) |
где
П = Ш A(U,)dv+ (JJY(U;)dv+ JJZ( U ; )ds .
V V S
Здесь П - полная потенциальная энергия системы, которая явля ется функционалом от перемещений. Перемещения рассматриваются как варьируемые независимые переменные, удовлетворяющие гео метрическим граничным условиям.
Заметим, что стационарное значение положительно определен ного функционала (закон Гука) - это минимум функционала. Он су ществует и достигается только на равновесных состояниях.
Принцип виртуальной работы |
115 |
5.2. Принцип виртуальной работы для тела с наведенной неоднородностью
Рассмотрим два различных распределения напряжений: исход ное ау и возмущенное ст*у , различающихся на величину Асту и со ответствующих двум состояниям S n и Sn+I инкрементальной тео рии.
Пусть, согласно инкрементальным соотношениям, делается пе реход из исходного состояния в возмущенное, для чего определяются
возмущения (приращения) {дсгу.Деу}, соответствующие прираще
ниям внешних нагрузок APj,AF; и приращениям параметра внешне го процесса, соответствующим АФ„„ которые создают приращения параметра АЯ. Приращения JДоу,Аеу}должны быть найдены из ус ловия равновесности состояния Sn+, .
Сформулируем принцип виртуальной работы для тела с наве
денной неоднородностью. |
|
|
1. |
Пусть уравнения состояния материала описываются соотно |
|
шениями |
|
|
|
= ^ук1Дек, +Фы • |
(5.2.1) |
2. |
Геометрические соотношения сформулированы в прираще |
|
ниях в нелинейном виде |
адик адук |
|
|
адик |
|
|
axj |
. (5.2.2) |
|
axj axj |
Допустим здесь, что нагрузки консервативны и что массовых сил нет (отметим, что учет внешних массовых сил не представляет затруднений).
Уравнения равновесия в состоянии S п удовлетворяются для
суммарных напряжений шага S п : |
|
на V |
(5.2.3) |
116 Вариационные принципы
На участке границы ^ выполняются условия в напряжениях
( ^ +8ki)0ij’11=Fk• |
<5-24) |
где Fk - поверхностные силы, отнесенные к единице площади в не* деформированном состоянии 5п.
На участке границы S, выполняются условия в перемещениях
Uj = Uf на S2 (5.2.5)
Пусть заданы приращения внешних факторов к текущему их уровню и делается переход в состояние S,,*,, где тело должно нахо диться в равновесии. Для этого необходимо определить приращения
{Дсту,Дев} к текущим {<ту.еу}.
Чтобы тело в состоянии Sn+I находилось в равновесии, необ
ходимо выполнение принципа -виртуальной работы для возмущенно го состояния Jajj+Aa^ejj+Aejj|,при этом варьировать можно вместо
U, ч-AUj только AUj.
Так как при варьировании по АИ; 8(еу + Де#) = 8Деу, имеем
б П‘ = Ш oJSAeydv - й F*8AU jds = 0. |
(5.2.6) |
|
v |
si |
|
Здесь F^SAuj— элементарная работа, совершаемая внешними поверхностными нагрузками в возмущенном состоянии на виртуаль ных приращениях перемещений; аубДец— элементарная виртуаль ная работа внутренних сил в возмущенном состоянии CTJ, совершае мая на виртуальных приращениях перемещений бДец
Отметим, что функционал (5.2.6) не имеет аналогов ни в де формационной теории пластичности, ни в теории пластического те чения. Причина этого в том, что все соотношения модели наведен ной неоднородности, несмотря на использование гипотез деформа ционной теории пластичности, построены в приращениях (или в скоростях), но не аналогичны линейным зависимостям для скоро стей в теории течения.
Теорема о вариационном принципе |
117 |
В случае модели наведенной неоднородности условие стацио нарности (5.2.6) функционала П* не связано со стационарностью по тенциальной энергии (как в упругих задачах) и не гарантирует достижение функционалом П* экстремума на допустимых прираще ниях перемещений (удовлетворяющих геометрическим связям).
5.3. Теорема о вариационном принципе для тела с наведенной неоднородностью
Точное решение задачи в приращениях о равновесии тела с на веденной неоднородностью физико-механических свойств материа ла доставляет функционалу П*, заданному в (5.2.6), минимум на множестве допустимых полей приращений перемещений.
Докажем сформулированный вариационный принцип. Сопоставим два состояния нагруженного тела с наведенной не
однородностью: исходное и возмущенное, отличающееся от исход ного плотностью рассеянных микроповреждений материала. Исход ное состояние S п характеризуется распределением напряжений сту, возмущенное состояние ст’ отличается от исходного на величину
Ат у, которая характеризует формулировку проблемы построения
уравнений состояния в приращениях. Функция состояния |
А при |
этом определяется следующим образом: |
|
8А = ay бДеу + ЛетубДеу • |
(5.3.1) |
Ее существование в теории наведенной неоднородности обес печено свойствами уравнений состояния. Для исходного напряжен но-деформированного состояния S п, следуя построению уравнений состояния, справедливо
|
Sij = tay, |
Х>0 , |
(5.3.2) |
|
где Sy, Gy - компоненты девиатора |
напряжений |
и деформаций Sy = |
||
сту - стбу , £у= еу - ебу; |
ст=сту/3; е= еу/3 — |
средние напряжений и де |
||
формаций; бу — |
символ Кронекёра. |
Согласно гипотезам, для |
||
средних напряжений и деформаций |
ст и е: |
|
118 Вариационные принципы
|
|
о = З К е , |
|
|
|
(5.3.3) |
где К |
— коэффициент объемного сжатия материала. |
|
|
|||
Обозначая |
|
|
|
|
|
|
получим: |
S = xr, — >0 |
|
|
(5.3.4) |
||
|
|
с1Г |
|
|
|
|
Выражая компоненты тензоров |
и e,j |
через компоненты |
||||
девиаторов Sy и &у , |
из (5.3.1) получим с учетом (5.3.2), |
(5.3.3) и |
||||
свойств девиаторов напряжений и деформаций: |
|
|
|
|||
|
5А = sijб(лец) + Asijfi(eij) + 9Кей( Де) + 9КДе5(Ле). |
(5.3.5) |
||||
Здесь ASJJCучетом (5.3.21 выражается следующим образом: |
||||||
|
|
ДБу ~ л.ДС|| |
Длр.ц |
|
|
|
Для получения |
52А произведем вторичное |
варьирование |
||||
(5.3.5) |
с учетом обозначений (5.3.4). После несложных преобразова |
|||||
ний получим: |
|
|
|
|
|
|
S2 А = 9К (8Де)г + ~ |
|г 25ДяиБйЕ®-(еийДс«)2] - |
р ~ |
(е®5Аеу)2. |
Выражение в квадратной скобке
всегда неотрицательно по неравенству Буняковского для конечных сумм.
Производная
следуя введению S и Г.
Теорема о вариационном принципе |
119 |
Вследствие этого, вторая вариация
62А>0,
что и требовалось доказать.
Минимум этот достигается на тех приращениях {Лст^Деу},
досуммировав которые к текущим {оц,еу}, получим равновесность
возмущенного состояния |oJ,e* J, так как 8П* =0.
Для формулирования условий равновесия в виде краевых задач нужно получить выражения для 8Деу через геометрические соотно
шения, при этом следует варьировать лишь приращения перемеще ний, для освобождения от производных от приращений перемещений использовать формулу Грина для интегрирования по частям, затем собрать коэффициенты при независимых вариациях приращений пе ремещений. После этого нужно использовать, что в состоянии S п
(сГц,еу} уравновешены с внешними факторами, то есть выполняются
уравнения равновесия. Оставшиеся слагаемые при вариациях при ращений перемещений дадут определяющие дифференциальные уравнения в приращениях и граничные условия на границе, где зада ны условия в напряжениях.
Следует отметить, что доказательство опирается на выпуклость зависимости Б(Г) на всем интервале деформирования, что является некоторым ограничением.
Отметим, что в доказательстве мы нигде не опирались на гео метрические соотношения, это позволяет заключить, что вариацион ный принцип справедлив для любых конструкций с заданной моде лью деформирования материала. Также можно утверждать, что по лученный вариационный принцип инвариантен относительно преоб разования координат. Конкретизируя геометрию тела и подставляя геометрические соотношения в уравнение (5.1.1), можно получить вариационное уравнение для заданной конструкции, материал кото рой подчиняется модели наведенной неоднородности. Определяю щие уравнения вытекают из вариационного принципа как условия стационарности. В ряде случаев, а именно когда приходится решать концептуальные вопросы, вариационная формулировка предпочти
120 |
Вариационные принципы |
тельнее рассмотрения системы определяющих уравнений в виде сис темы дифференциальных уравнений по ряду причин:
•инвариантность функционала относительно преобразования координат: получив функционал в одной из систем, нужно только выписать инвариантные величины в другой системе, а затем при менить варьирование;
•вводя дополнительные условия, можно преобразовывать функционал к эквивалентной задаче, если она решается проще ис ходной (в данном конкретном случае). Задачу минимизации с до полнительными условиями можно решать, применяя процедуру множителей Лагранжа для сведения задачи с ограничениями к за даче на абсолютный экстремум:
•можно применять специальные методы для приближенного решения, основанные на вариационных формулировках: метод Галеркина, метод Ритца. метод конечного элемента.
Если метод Галеркпна допускает и постановку для краевых за дач определяющих уравнений, то для корректного применения мето да Ритца необходимо обоснование в виде полученного выше доказа тельства, подтверждающего правильный выбор функционала, ми нимизация которого дает решение.