книги / Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек

Решение бифуркационных задач длительнойустойчивости 191

Здесь к г = const, зависящая только от исходных данных. Как отмечалось, значение оэ=т1Е — Эйлерово напряжение. Так как рассматриваются условия (9.3.10), то можно интересоваться

Характерное время, соответствующее особой точке с усло­ вием (9.3.10), должно определяться из равенства Р, определяе­ мого из (9.3.21), и р*=Р7Ро*. Очевидно, что для Р* справедливо соотношение

1+(кгОт

Учитывая (9.3.21), получим уравнение для определения времени т*, при котором возможно неединственное продолже­ ние процесса согласно (9.3.10)

кг J 1+(кг1)т

Проиллюстрируем полученный результат графически. Верти­ кальная ось соответствует безразмерным нормированным значе­ ниям р и р* (рис.81). Тогда решение (9.3.23) можно Получить графиче­ ски, как пересечение графиков ле­ вой и правой части (9.3.23). На

рис.81 нанесены кривые pi, pi* и рг, рг* для двух разных материалов, ко­ торым соответствуют различные системы значений коэффициентов модели материала (9.3.1), входящих в ki и кг. Проекции точек пересече­ ния на ось времени дают точки T*I и т*г, соответствующие значениям т*,

192 Формализация критериальной оценки длительной устойчивости

при которых возможно неединственное продолжение процесса, согласно (9.3.10).

9.4. Решение бифуркационных задач длительной устойчивости процесса деформирования упруго-пластических элементов конструкций

Известно, что наведенная неоднородность, развивающая­ ся с течением времени, может сочетаться с деформационной не­ однородностью при нагружении, обусловленной свойствами пластичности. В этом случае имеет место проблема устойчивости в упруго-пластической области.

Начало развития теории продольного изгиба за пределом упругости связано с трудами ФЭнгессера, Ф .СЯсинского и Т.Кармана. С тех пор "теория приведенного модуля" нашла ши­ рокое применение в исследовании устойчивости многих конст­ рукций и вошла в научную и учебную литературу. Однако до последнего времени продолжается дискуссия в этой области. Наряду с "теорией приведенного модуля", отвечающей кон­ цепции Энгессера-KapiMaHa, получила развитие "касательно­ модульная теория", начало которой положено в статьях Ф.Р.Шенли, а детальное обоснование дано в работах В.Д.Клюшникова.

Однако, независимо от принятой концепции, здесь, при решении задач устойчивости за пределом упругости, предпола­ гается, что свойства материала, в частности характер диаграм­ мы деформирования, остаются неизменными при любом уровне нагружения в любой момент времени. Учет деградации физико­ механических свойств нагруженного материала с течением вре­ мени ставит проблему устойчивости в условиях развития наве­ денной неоднородности материала.

Таким образом, с позиций этих двух концепций имеют место два значения критической нагрузки: Рк^ - критическая нагрузка Энгессера-Кармана; Рш^ - критическая нагрузка Шенли. Различие между ними обычно невелико, что, в извест­ ной мере, снимает остроту соперничества этих двух концепций с

Решение бифуркационных задач длительной устойчивости 193

ветвляющееея решение, соответствующее концепции ЭнгессераКармана, отходит от исходного решения под прямым углом, то ответвляющееся из точки бифуркации решение Шенли не име­ ет такого ограничения.

Оценка длительной устойчивости конструкций в условиях развития наведенной неоднородности материала с позиций этих концепций даст также различные значения критического време­ ни потери устойчивости. Их расхождение по величине может быть весьма значительным, так как это связано с изменяющейся в широких пределах скоростью протекания процесса деградации физико-механических свойств материала в условиях агрессивных воздействий внешней среды.

Более того, рассматривая процесс деградации физикомехани'ческих свойств материала и процесс. деформирования конструкции, при оценке ее долговечности, как единый процесс во времени, необходимо изучение его непрерывного развития, в том числе и в послебифуркационные моменты времени, что при­

194 Формализация критериальной оценки длительной устойчивости

щих второму участку диаграммы. В дальнейшем предполагается, что деградация физико-механических свойств материала во вре­ мени t приводит к изменению параметров диаграммы дефор­ мирования, то есть Ес и Ек являются зависимыми от t (или от функций деградации).

В пределах упругости устойчивость стойки определяется Эйлеровой критической силой

“2al(l + Ек/Ео)

Для получения критической силы.по концепции Шенли,дос­ таточно вместо модуля упругости Ео в выражении (9.4.1) писать касательный модуль Ек:

Различие критических нагрузок (9.4.3) и (9.4.4) связано, как известно, с существенно различными предположениями, принятыми при их получении. Так, согласно концепции Энгес­ сера-Кармана, переход стойки из исходного состояния равнове­ сия в возмущенное происходит при неизменной продольной силе. По концепции Шенли, боковые возмущения происходят в про­ цессе возрастания продольной силы.

Решение бифуркационных задач длительной устойчивости 195

В условиях развития наведенной неоднородности свойств материала во времени действующая на стержень нагрузка Рф ос­ тается постоянной, ее величина в начальный момент времени должна быть меньше критического значения Ркр . Критическая нагрузка в этом случае зависит от времени Ркр ( t ) . Деградация физико-механических свойств материала приводит к снижению жесткосгных свойств конструкций. Устойчивость стержня теря­ ется спустя некоторый период времени Ц> , определяемый как критическое время потери устойчивости из условия Рф = Ркр (1щ>).

Для иллюстрации различных подходов к определению кри­ тического времени потери устойчивости воспользуемся упро­ щенной моделью стойки, изображенной на рис.82. Условие не­ изменной продольной силы при переходе стойки в возмущенное состояние равновесия, по концепции Энгессера-Кармана, пере­ ходит, в данном случае, в условие постоянства физико­ механических свойств материала. Следствием этого является ус­ ловие для определения tK-p в форме

Ek(tKp)Fb2

(9.4.5)

2al(l + Ek(tKp)/Eo)

В соответствии с концепцией устойчивости Шенли пере­ ход стержня в возмущенное состояние при постоянной продоль­ ной силе происходит, в процессе возрастания степени деграда­ ции физико-механических свойств материала. Это позволяет оп­ ределить "наиранний" момент времени, после которого воз­ можна реализация возмущенного со­ стояния. Рассмотрим возмущенное состояние стойки при возрастании степени деградации физико­ механических свойств материала (рис.84.).

Н а рис.84. рассмотрены четыре состояния системы. Состояние систе­ мы в данном случае идентифицируем положением опорных точек нижнего конца стойки (mi, nj). Первое из них (пи, ni) относится к случаю, когда внешняя нагрузка на стойку отсутст­ вует.

196 Формализация критериальной оценки длительной устойчивости

Второе (m2, П2> в рассматриваемый момент времени соот­ ветствует заданному уровню нагружения стойки силой Рф , меньшей, чем критическая нагрузка,и определенной степени де­ градации физико-механических свойств материала, произошед­ шей за предшествующие моменты времени. Допустим, что при Р- = Рф в процессе деградации физико-механических свойств мате­ риала опорных стержней стойки отклоненные состояния рав­ новесия становятся возможными, начиная с некоторого опреде­ ленного положения тэ, пз , причем положению т з, т соответ­ ствует уровень напряжений в опорных стержнях стойки ( точка А на рис. 82),определяемый значением параметра диаграммы де­ формирования Ес+ .

Допустим далее, что деградация свойств материала про­ должает расти. Это приводит к изменению параметров диа­ граммы деформирования, в частности параметра Ес . Исследуем возможность существования отклоненных положений стойки при значениях Ес+-ДЕс, где Д Ес - конечное приращение секущего модуля диаграммы деформирования за время Д t . Изменения параметров диаграммы деформирования при переходе стойки из исходного состояния равновесия (тз, пз) в возмущенное (пи, П4) приводят к укорочению стержней на Да (пи, щ)..что соответст­ вует возмущенному положению основания стойки при Ес+-ДЕс. Уменьшение силы сжатия левого стержня и увеличение состояния сжатия правого стержня определяются разными модулями (Ео - слева и Ек - справа) и, следовательно, дополнительные деформа­ ции стержней не могут быть одинаковыми. Отсюда следует, что отрезок Ш4 ,П4 не проходит через середину О отрезка (тз, пз) и происходит опускание точки О на величину Д а .

При потере устойчивости стойки и переходе точек (тз, пз) в

Решение бифуркационных задач длительной устойчивости 197

где ei и е2 - деформации опорных стержней, соответствующие исходному невозмущенному состоянию стойки. Дополнительные укорочения опорных стержней при переходе стойки в возмущен­ ное состояние составляют

где ф - угол поворота стойки при потере устойчивости. Дополнительные сжимающие усилия в стержнях равны

Сумма этих приращений должна быть равна нулю, так как общая сжимающая сила Рф остается неизменной во времени. То­ гда

где введено обозначение

Моменты приращений сил относительно точки О равны моменту внешней нагрузки Рф:

Из уравнений (9.4.10) и (9.4.12) находим оба кинематиче­ ских параметра ДГи Да :

198 Формализация критериальной оценки длительной устойчивости

Р* = v Рэ;

2 v

р ~ = :— Рэ; 1+ V

ДР = AEt(ei + ег)F.

Условие перехода стойки в возмущенное состояние, свя­ занное с разгрузкой левого стержня, имеет ви д :

Бифуркация исходного решения происходит при равенстве докритических суммарных деформаций е1=е2=екр , где екр - зна­ чение критической деформации.

Условие бифуркации исходного решения

где Р* - критическое значение в соответствии с концепцией Шенли. В условиях деградации свойств материала с течением време­ ни значение Р* зависит от времени:

9.5.Послебифуркациоиное нелинейноедеформирование

ипроблема долговечности элементов конструкций

снаведенной неоднородностью материала

Проследить за изменением отклонения верхнего конца стойки возможно, используя (9.4.13), (9,4.14) при введении оп­ ределенной идеализации в описание деградационного изменения диаграммы деформирования. Допустим, что с течением време­ ни изменяется угол упрочнения на диаграмме деформирования с

физико-механических свойств материала опорных стержней, а само условие (9.5.1) определяет ту границу для v , после которой возможна реализация возмущенного равновесного состояния стойки.

Поскольку условие (9.5.1) связано со значением критиче­ ской нагрузки Р* , отвечающей концепции Шенли, то найденный критический уровень деградации v\q> также связан с этой кон­ цепцией.

Критический уровень деградации, отвечающий концепции Энгессера-Кармана v^, , следует из (9.4.13) при условии ф « :