книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях
..pdfпотери устойчивости первого, второго, третьего и четвер того рода соответственно:
[Р(ЯГ3 + Я?) — 2ЯГ3]2 thcath Л г 3 — 4ЯГ3 (1 — Р)*th ю X
X th (о,1) + |
р (ЯГ3 — Я?)2 th сй,,) th (о(1,ЯГ3 — ЯГ3 (ЯГ3 + |
|||
+ Я3)2 (1 — Р)2 th шЯГ3 th (o(I»ЯГ3 + |
Р(ЯГ3 — Я?)2 th ш th ыЯГ3+ |
|||
+ (ЯГ3 (1 — 2Р) + Я3]2 th юЯг3 th со(,) = О; |
||||
|
я |
го |
л» |
(IX.37) |
|
eft |
|||
« = |
х* -р-; |
«т' = к |
р = |
^-ю |
[р (ЯГ3 + Я?) — 2ЯГ3]2 cth со th « " V 3 —
— 4ЯГ3 (1 — Р)2 cth to th ю'0 + р (ЯГ3 — Я?)2 х
X th (о(,) th <o‘V 3 — Я3 (ЯГ3 + Я?)2 (1 — Р) х X cth мЯГ3 th <о(|,ЯГ3 + Р (ЯГ3 — Я3)2 х
X cth tocth (оЯГ3 + [ЯГ3(1 — 2р) + Я3]2сШмЯГ3 х X thw(1) = 0;
[Р (ЯГ3 + Я?) — 2ЯГ3]2 cth со cth to(1,ЯГ3 —
_ 4ЯГ3 (1 —Р)2 cth со cth (о(1) + р (ЯГ3 — Я?)2 х
X cth w(,) cth со<1,ЯГ3 — Я-3 (ЯГ3 + |
Я?)2 (1 —Р) х |
X cth ©ЯГ3 cth о),0ЯГ3 + Р (ЯГ3 — Я?)2 х |
|
X cth м cth оЯГ3 + 1ЯГ3 (1 — 2р) + |
Я3]2 cth йЯ? х |
X cth |
= 0; |
|
|
[Р (ЯГ3 + |
Я?) - |
2ЯГ3]2 th CDcth С0(1,ЯГ3 — 4ЯГ3 (1 — |
|
—Р)2 th tocth (й,|) + Р (ЯГ3 — Я3)2 cth (о(1) х |
|||
X cth (о(1,ЯГ3 - |
ЯГ3 (ЯГ3 + Я?)2 (1 - р)« th «ЯГ3 х |
||
х |
cth (о(,,ЯГ3 + |
Р (ЯГ3 - Я?)2 th со th соЯГ3 + |
|
+ |
[ЯГ3(1 — 2Р) +Я3]2thG ^r3cth<o<') = 0. |
(IX.38)
(IX.39)
(IX.40)
221
Заметим, что в уравнениях (IX.37) — (IX.40) в качес1 ве неизвестной величины введено Aj — удлинение вдол; оси oxlt которое согласно соотношений (III.88) связано ■ удлинением вдоль оси охя. Уравнения (IX.37) — (1Х.4( остаются в силе и для материала с потенциалом типа Муни только в этом случае под величиной р, входящей в уравне ния, следует понимать величину р, определяемую из форму лы (VI.37). Таким образом, для тел с потенциалом типа Тре= лоара и типа Муни пространственная задача о внутренней неустойчивости слоистого материала при равномерном сжа тии в плоскости слоев сводится к решению уравнений (IX.37) — (IX.40). Получить точное решение этих уравнен ний за исключением асимптотических случаев не представ-i ляется возможным, поэтому для их решения применим чи-j сленные методы и ЭВМ.
§ 12. Результаты решения характеристических уравнений
Характеристические уравнения (IX.37) — (IX.40) для четырех форм потери устойчивости исследовались числен ными методами при помощи ЭВМ. В результате были полу чены решения этих уравнений для р = 2; 5; 20 и 100, а
также h/h{l) = 0,1; 0,5; 5; 10; 20 и оо [21. На рис. 20—25 при ведены частично результаты решения характеристических уравнений (IX.37) — (IX.40) в виде зависимости корня А,
от параметра ©О) = xfe h О) для различных значений пара
метров Р и Л/Л<*>. Кривые, соответствующие различным фор мам потери устойчивости, отмечены цифрами, совпадающи ми с номером формы потери устойчивости. Из рис. 20—23 следует, что для рассматриваемой компоновки материала возможна потеря устойчивости структуры (внутренняя не устойчивость), так как кривые, соответствующие формам потери устойчивости первого и второго рода, имеют макси мум, который лежит выше кривых, соответствующих фор ме потери устойчивости третьего и четвертого рода. Из рис. 24—25 следует, что для рассматриваемых компоновок материала невозможна внутренняя неустойчивость (потеря устойчивости структуры), хотя кривые, соответствующие форме потери устойчивости второго рода, и имеют макси мум, однако этот максимум лежит ниже монотонных кривых,
222
соответствующих форме потери устойчивости первого рода. При этом будет происходить потеря устойчивости по фор ме, длина волны которой определяется геометрическими параметрами элемента конструкции. В случае существова ния внутренней неустойчивости длина волны формы потери устойчивости соответствует максимуму значения корня уравнений (IX.37) — (IX.40).
В рассмотренных примерах при всех значениях р и h/W>— = 0,1; 0,5 и 5 внутренняя
потеря устойчивости не возникала. Полученные числовые результаты позволяют сделать следующие выводы.
1.Внутренняя потеря устойчивости (неустойчивость в структуре материала) реализуется не при любых компо новках материала. Она возникает, когда менее жесткие слои значительно толще более жестких слоев (при малой концен трации наполнителя).
2.В случае существования внутренней неустойчивости результаты расчета для форм потери устойчивости с перио дом, равным периоду структуры, и с периодом, вдвое боль шим периодом структуры (формы потери устойчивости пер вого и второго рода), совпадают или отличаются незначи-
223
тельно. Критическая нагрузка, вычисленная по форм* потери устойчивости с периодом структуры (формы потере устойчивости первого рода), не меньше критической на* грузки, вычисленной по форме потери устойчивости с nei риодом, вдвое большим периода структуры (форма потери устойчивости второго рода). <
3. Критические значения параметра ^ и соответствую-i щие значения параметра вол-1 нообразования со»1» в случае существования внутренней не-» устойчивости (потери устой-.
Рис. 22
чивости структуры) можно с достаточной точностью опреде лить, заменив слои связующего полупространствами.
Замечания об уточнении выводов, изложенные в парагра фе 6 данной главы, остаются в силе и для пространственных задач. Кроме того, следует отметить, что характеристиче ские уравнения (IX.37) — (IX.40) можно получить непо средственно из уравнений (IX.20) — (IX.24), если в по-,
следних заменить К — ЯГ2/3; а — ю и а*1*— ю(1>.
224
** *
Результаты, изложенные в настоящей главе, могут быть использованы для объяснения механизма разрушения ар мированных материалов. Одним из выводов в этом направ лении является то обстоятельство, что прочность при сжа тии армированных материалов определяется сдвиговой же
сткостью |
связующего, |
так как |
происходит |
в основном |
||||||
|
|
|
|
|
потеря устойчивости по из- |
|||||
0,6 V |
|
|
|
гибной форме. |
|
|
|
|||
|
|
|
Необходимо отметить, что |
|||||||
|
к |
* 5 |
исследования |
данной |
главы |
|||||
|
|
|
не исчерпывают |
вопроса об |
||||||
|
Д |
|
|
устойчивости |
слоистых |
тел |
||||
|
|
|
даже |
для |
упругого |
тела. |
||||
0.7 |
|
|
Следует разработать теорию |
|||||||
|
Л |
|
|
|
Л, |
|
|
Р=го |
|
|
0,6 |
|
|
|
|
/ / |
S |
|
h _г |
|
|
|
Г |
/ |
|
|
0,65 |
|
|
h<”~s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0.5 |
|
|
|
/2 |
|
|
|
|
||
/ |
L |
|
0,75 |
|
|
|
|
|||
0,< |
|
|
|
0,65 |
5.4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
L |
|
|
|
0,55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.3
0. 2,
0,05 0,95 1,65 2,75 x Kh w
й
0,45 |
|
0,35 |
1 |
|
0,5 1.0 1,5 X,hm |
Я
Рис. 24 |
Рис. 25 |
поверхностной неустойчивости слоистых материалов, не устойчивости материалов с искривленными слоями, а также задачи при различных нагрузках для слоистых тел Q уп ругими потенциалами различных типов.
Устойчивость слоистых материалов при точной поста новке для малых и больших докритических деформаций рас сматривалась в работах [2, 4, 7, 13].
225
Г л а в а X
УСТОЙЧИВОСТЬ волокнисты х СЖИМАЕМЫХ И НЕСЖИМАЕМЫХ ТЕЛ
Внастоящей главе рассмотрена устойчивость сжимаемых
инесжимаемых тел, армированных волокнами. Исследова ния выполнены для тел, армированных одним, двумя волок нами, конечным числом волокон, бесконечным рядом оди наковых волокон и двоякопериодической системой волокон. Во всех случаях матрицу (связующее) будем считать беско
нечным телом, наличие внешней границы может быть учте но без принципиальных затруднений.
§ 1. Постановка задач. Возможные формы потери устойчивости
Рассмотрим связующее (матрицу), армированное волок нами (наполнителем) кругового поперечного сечения радиу
са R„. Оси волокон примем прямо |
|
|
||||
линейными и параллельными оси |
|
|
||||
ох8. Все величины, относящиеся к |
|
|
||||
наполнителю, будем |
отмечать ин |
„ |
А<р |
|||
дексом 1 |
и индексом, |
соответству- |
||||
ющим номеру волокна, если волок |
А |
|
||||
гя |
|
|||||
на имеют разные механические и |
& &' Y 9 P |
|||||
геометрические параметры. В плос |
Р |
|
||||
кости поперечного сечения с цент |
|
|||||
2Rq |
|
|||||
ром поперечного сечения |
каждого |
|
||||
Рис. 26 |
||||||
волокна |
свяжем местную |
прямо- |
||||
угольную (х1|7, х2(7) и полярную (г„, |
|
координата |
||||
6?) системы координат (рис. 26). Связь между |
||||||
ми запишем в виде |
|
|
|
|
||
|
rqexp iQ„ = Rqpexp t'<p9p + |
rpexp t'0p. |
(X.1) |
Будем считать, что армированное тело загружено толь ко вдоль оси оха. В этом случае приближенно примем, что докритическое состояние является однородным и характери зуется следующими величинами:
аЗ-< >ЗУ -<> 3= .оЖ > = 0; |
«2-АО; |
о Я ’-йО; |
Ц - Х & |
4 ? - * , |
I * '2» |
226
Таким образом, отличными от нуля будут только нор мальные напряжения по площадкам, нормаль "к которым совпадает с осью охя. Заметим, что соотношения (Х.2) точ но выполняются для несжимаемого тела, так как выраже ния (II 1.88) имеют место независимо от уравнения состоя ния. В связи с этим рассматриваемая постановка точная для несжимаемого и приближенная для сжимаемого тела. Пред полагая, что между волокнами и матрицей осуществлено полное сцепление, на поверхности раздела сред потребуем выполнения условий непрерывности вектора усилий, и век тора перемещений:
Рг |
~ |
|
I д=яд' |
Рв [/у=л9 ~ |
р *л |
|
|
I |
Рз |
= |
P^ 1',=V |
mi |
(Х.З) |
|
. (I) I |
, |
||||
u r \rq=Rg — |
U'-9 |
|
«О Ifg=Rg — |
Ub |
|
|
|
|
“s |
= |
U^>\r^=Ra’ |
|
|
Кроме того, примем, что потеря устойчивости волокон происходит вдали от торцов, в связи с чем тело в направле нии оси ох3 будем считать бесконечным. Заметим, что в гра ничных условиях (Х.З) составляющие поверхностных сил и перемещений в матрице, стоящие слева, необходимо вы числять в местной <у-й системе координат, связанной с ^-м волокном. Это замечание относится также и к левым частям граничных условий (Х.4) и (Х.5).
Для сжимаемого тела, учитывая выражения (V.9), (V-13), (Х.2) и (Х.З), получаем граничные условия на q-й поверхности раздела сред, сформулированные для функ ции ф, X, ф<‘>? и х(,)?:
,ru |
drq |
rq |
|
d% |
a ( |
' |
9 |
._ . 1. |
|
|
'1 |
|||
И \ |
rQ |
dr4 |
|
|
Pl3+ |
CT33^I 2 |
|
& |
|
+ |
On |
|
|
dxl |
|
|
|
||
d |
1 |
d |
|
W<1 |
15* |
227 |
_<l) |
/ 1 |
|
д |
, |
1 |
52 |
\ |
, |
° П |
. А |
( д + |
|
|||
|
|
|
|
|
|
+ 1 к ) |
|
|
« + « . , 1 ' |
|
|||||
. |
И ^ + Рэз^ М д |
|
5* \1 |
д |
„Ц)91 |
|
|
||||||||
+ |
|
|
|
efi> |
|
|
д 4 |
) |
J |
дх3 |
Л |
|
|
|
|
|
|
|
^ |
+ |
}0 |
|
l q |
+ |
'г2 |
|
|
|
|
||
27tl|Xla - ^ — |
Л(? |
двддх9 Х 1д=Ид ~ |
XU |
1^2.9 X |
|
||||||||||
X ( |
|
01 |
|
I - |
1__ 5 |
|
| |
1 |
|
<У |
\ уОЫ |
|
|
||
\ |
|
Ъ?, |
+ |
* |
* , |
+ |
,2 |
^ |
j T |
V* R< |
|
||||
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
q~Kq |
|
|
|
|
|
|
•п |
|
|
|
|
|
|
|
|
<hi |
•Д + |
(X.4) |
||
|
|
дВддх3 п lr9= ^ + |
|
|
Ois + ihz |
|
|||||||||
|
*Q. |
П |
л1з |
d2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+ |
«зэ*1 |
|
|
|
Хк = ^ “ |
|
л, x |
|
|||||||
|
|
flis + ^is |
&» |
) 5л, |
|
|
|||||||||
x ”V«* |
'‘""’ I v ' . + |
l 'l W |
. ^ |
|
|
|
4 |
|
|||||||
|
° |
T |
^ |
r |
2- ° l ljg |
|
* |
-\ |
|
» |
X<W|, |
|
|
||
|
|
°I2, + I*fik |
|
|
j |
drq |
|
'rq~Rq |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
л, |
50, |
^ 1 ,= ^ , |
drgdx3 X l,« - R« — |
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
. xpWo| |
|
_ |
d* |
y(i>, | |
|
|
|
||||
|
Л , |
5 0 , |
* |
|
1л,=Л0 |
0Лadx3 |
|
rQ'~K0’ |
|
|
|||||
|
|
|
|
l'<7= / ? <7 |
|
5 г ^ л 3 |
|
|
|
|
|
||||
"длГfg ¥ k'q=—^QR7 + 7 Г |
50,0*3 x Ir^R,' |
|
|
|
|||||||||||
_ |
a |
лтК')91 |
|
. |
|
l |
62 |
|
|
|
|
|
|||
|
drq |
|
Irq^Rq'r |
Гa |
50,5*3■x,u*|r = v |
|
|
||||||||
^ + f ^ [ ° llA + |
+ |
A |
2) " § " ] * k=*< = |
|
228
Аналогично для несжимаемого тела из выражений (V.32), (V.35), (Х.2) и (Х.З) получаем граничные условия на по верхности раздела сред:
2fi« drq |
I |
|
0 |
МП |
4- I Uiof - |
|
* |
+ |
1 х |
|||
гч |
|
00, |
" |
|
L Ч |
|
К |
|
'* |
|||
|
д |
+ |
\ |
J C A + |
(Pl2 “~ ^ Р 131Д + |
(Pl3 + |
|
|||||
Л |
а»-. |
|
||||||||||
|
|
|
Щ 1 |
|
|
д |
|
I |
|
|||
+ |
|
|
а* |
1 |
а |
«I |
_ |
2(112.,- |
|
|
||
Оэд^)1 Г |
Г ® Г |
^ |
|
а* |
dr, |
|
г. |
|
||||
|
д |
|
|
|
|
А |
( - |
|
1 |
3 |
+ |
|
|
|
|
|
R |
+ |
|||||||
* |
т в г v |
n |
|
|
|
дг1 |
|
г, |
дгд |
^ |
||
, . - K(J |
|
|
|
|
|
|
l |
d* |
\ л- (ui2.<7 — |
- f T " |
«г |
Г |
Т |
*«/ |
+ • в - ч - ч г }
д + Ыз., +
I'v=V
J__ L |
02 |
■ |
П |
|
н |
|
1 I-2 |
ае2 |
v |
■ |
|||
Q |
|
/ |
|
|
ff=Rq
18 Эг, /-, ^
.<!> |
|
5 + |
1 |
аа V |
(Х.5) |
/ _ J L . + |
-; |
|
|
|
|
) |
|
|
|
||
! (А12,9 |
|
' |
* |
* ? Г |
|
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
||
X * |
1г,=К, |
|
|
|
|
1 |
& |
|
|
|
|
pis V |
50^3 |
|
|
|
|
х S r |
4 |
|*1"* V ^ & |
" 4'"‘V * « + |
|
229
— - Я Г - Л |
----- Г ^ —x l |
|
= |
|||||
ТЧ |
^ 9 |
r„=R„ |
<>rQdxs rq=R q |
|
||||
|
|
Г9Г^Я |
|
|
а2 |
|
|
|
|
|
, 1jr(*>9| |
|
|
|
|
||
|
двп |
|
<TRQ |
|
дг„дх3 * ”V v |
|||
d |
W \ R - ^ |
- X |
\ |
*rq~^q |
dfg |
|||
dr. |
rq—Rq |
дОддх% |
|
|||||
' |
д2 |
. у(1|*| |
. |
|
|
|
|
|
Й0„а^ |
л |
\'q=Rq' |
|
|
|
|
Таким образом, учитывая выражения (Х.2), необходимо построить решения уравнений (III.51) при условии (III.47) и (III.50) соответственно для сжимаемого и несжимаемого тела. Эти решения должны удовлетворять условиям затуха ния «на бесконечности», так как в силу постановки задач связующее (матрица) рассматривается как бесконечное тело. Длина волны вдоль оси ох3 формы потери устойчивости оп ределяется как длина волны, которой соответствует мак
симум на кривой Ка = кя (у), где к — параметр волнообра- D
зования к = я у (R — характерный радиус поперечного
сечения волокон; I — длина волны вдоль оси ох8 формы по тери устойчивости). Будем предполагать, что все волокна теряют устойчивость с одинаковой длиной волны вдоль оси ох3. Если отказаться от этого предположения, то в решениях следует выделить интеграл Фурье или ряды Фурье по переменной х3, в результате чего решение существенно усложнится.
В произвольной системе координат любую из действи тельных функций (решение исходных уравнений), харак теризующую форму потери устойчивости, можно предста вить в следующем виде:
+м
/ (г, б, *3) = 2 lfn(Уг) cos у*, + fn (У) sin Y*8] exp Ш0; fie—OO
_____ (X-6)
y = - j- l f-n (yr)- Т Ш |
(Y/-)S S /„(Yr)i |
1 т /0зэ Im /0 = 0.
2 3 0