книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях

3. Критические значения параметра К и соответствую*

щее значение параметра волнообразования а(1> в случае существования внутренней потери устойчивости можно с достаточной точностью определить, заменив слои связую­ щего полуплоскостями.

Необходимо отметить, что эти выводы получены для ма­ териалов с потенциалами типа Трелоара и типа Муни при одноосном сжатии в условиях плоской деформации. Иссле­ дование же других случаев (другой тип упругого потен­ циала, двухосное сжатие и в условиях постановки более общей, чем плоская деформация) можно выполнить, ис­ пользуя результаты гл. II—V и IX. Кроме того, следует отметить, что выше рассмотрены только формы потери ус­ тойчивости с периодом, равным периоду структуры, и вдвое большим периодом. Возможно исследование форм потери устойчивости с другими периодами, а также привлечение теории Флоке для уравнений с периодическими коэффици­ ентами приведет к уточнению полученных выше результатов. Все же следует надеяться, что такое уточнение не может быть значительным, поскольку изменение длины волны формы по­ тери устойчивости не изменяет результат, полученный для формы потери устойчивости с периодом, равным периоду структуры, о чем свидетельствует второй вывод. Третий вывод интересен тем, что он позволяет свести задачу об устойчивости периодической структуры к задаче об устой­ чивости полосы (наполнитель), соединенной с двумя по­ луплоскостями (связующее). Как следует из приведенных числовых результатов, такая замена возможна во всем диа­ пазоне жесткостных и геометрических параметров, для ко­ торого возможно явление внутренней неустойчивости (по­ тери устойчивости структуры).

§ 7. Постановка пространственных задач. Возможные формы потери устойчивости

Исследуем слоистое пространство, состоящее из чередую­ щихся в направлении оси охя слоев связующего и напол­ нителя [2]. Все величины, относящиеся к наполнителю, будем отмечать индексом 1. Толщины слоев обозначим через 2h

и 2h0). Каждый из слоев наполнителя отнесем к системе

координат (MV, х 2(\ \ х щ’) , а каждый из слоев связующего — к системе координат ( х ц , Х21, х з ;); срединные поверхности

слоев совпадают соответственно с координатными плоско­

стями и хи О/Хи. Докритическое состояние бу -; дем считать трехосным однородным в виде (III.44). При этом

Выражения (IX.25) соответствуют случаю, когда вдоль осей охг и ох2 телу сообщено одинаковое удлинение и вдоль оси ох3 тело загружено постоянной нагрузкой. Строе­ ние материала представлено на рис. 13, а, если вместо оси ох2 ввести ось охя. Как и в предыдущих параграфах настоя­ щей главы, будем исследовать внутреннюю потерю устой­ чивости (потерю устойчивости в структуре материала), ког­ да волна длины формы потери устойчивости определяется не длиной образца или формой элемента конструкции, а соотношениями между геометрическими и механическими характеристиками слоев. Для решения задач необходимо построить решения уравнений (III.51) при условии (III.47) для сжимаемого тела или уравнений (II 1.51) при условии (II 1.90) для несжимаемого тела, причем эти решения долж­ ны быть периодическими по хя и удовлетворять условиям симметрии, свойственным данным формам потери устойчи­ вости. Рассмотрим формы потери устойчивости, изображен­ ной.на рис. 13, б, в, г, д. Поскольку для пространственных задач слои чередуются вдоль оси охя, классификацию форм потери устойчивости проведем по свойствам симметрии пе­ ремещений вдоль оси охя. Если указанные выше решения выбраны, то из условий непрерывности вектора напряжений и вектора перемещений на плоскости раздела сред

Ры Iх3[=-н — Рз/” 1^(1) _h(D;

212

получим однородную систему алгебраических уравнений, условия существования нетривиальных решений которой дает характеристическое уравнение. Величины, входящие в выражения (IX.26), определяются для сжимаемого тела из выражений (III.53) и (III.60), а для несжимаемого — из (III.89) и (III.96). Для осесимметричной задачи гранич­ ные условия (IX.26). значительно упрощаются и принима­ ют вид

Исследование осесимметричной задачи также значитель­ но упрощается. Это упрощение не уменьшает общности ре­ зультатов, так как в § 4 и 5 гл. VII показано, что при рас­ сматриваемом виде докритического состояния (II 1.44) решение неосесимметричной задачи в прямоугольных коор­ динатах (см. § 4 гл. VII) и решение осесимметричной задачи (см. § 5 гл. VII) дает для пластины совпадающие результаты, если сделать указанные замены. Аналогичное положение имеет место и для слоистого материала.

§ 8. Представление решений для сжимаемого тела

» . ч

Построим решение уравнения (III.51) при условии (II 1.47) для осесимметричной задачи, причем построенные решения должны удовлетворять условиям периодичности и симметрии, свойственным исследуемым формам потери устойчивости. Ограничимся представлением решений типа (V.17), для других решений можно получить аналогичные результаты. Учитывая третье выражение (V.9), для формы потери устойчивости первого, второго, третьего и четвер­ того рода решение выбираем соответственно в виде

£ 1 3

Замечания о выборе постоянных для других слоев, из­ ложенные в § 2 гл. IX, остаются в силе и для пространствен­

положительны и не равны между собой. При других соот­

Учитывая выражения (V.9), (V. 14), (IX.25) и (IX.27), получаем граничные условия на плоскости раздела, сфор­

мулированные для функций У-1 и ЗС;1’:

214

(IX.32)

Таким образом, для сжимаемого тела граничные усло­ вия на плоскости раздела, сформулированные для функций

X,- и yj \ имеют вид (IX.32), а решения для рассматривае­ мых форм потери устойчивости — вид (IX.28) — (IX.31). Заметим, что для получения всех величин для наполните­ ля необходимо во всех формулах гл. II—V поставить возле всех величин индекс 1.

215

§ 9. Характеристические определители для сжимаемого тела

Подставив решения (IX.28) — (IX.31) в граничные услон вия (IX.32), получим характеристические определители в виде (VI.24) при I, / = 1,2, 3, 4. Запишем элементы харак­ теристического определителя для формы потери устойчи­ вости первого рода:

— 1— a3*& rW J ch -^ --|-: а1я= аи (Q;

«1з(Й'’) = - p f i ’tf*- * X

Г^)+а^Г2-Й1),(0|1,)+аГ?(1У)

216

делителей, соответствующих формам потери устойчивости второго, третьего и четвертого родов, необходимое выраже­ ниях (IX.33) сделать замены, указанные в конце парагра­ фа 3 настоящей главы. Выражения (IX.33) значительно упростятся, если считать тело сжатым только вдоль осей oxt и ох2. Приняв в выражениях (VI.24) и (IX.33) все жестко^ стные параметры, соответствующие связующему, равными нулю, получим характеристические уравнения для задачи об устойчивости пластины. Если в выражениях (VI 1.24) —

(IX.33) положить х,е — ■-> оо и у.к -*■ «ж, найдем ха­

рактеристическое уравнение для задачи об устойчивости границы раздела двух сред в виде полупространств. Анало­ гичным образом можно получить характеристическое урав­ нение для задачи о поверхностной неустойчивости полупро­ странства.

§ 10. Представление решений для несжимаемого тела

Произведем построение решений уравнений (III.51) при условии (II 1.90) для осесимметричной задачи, когда по­ строенные решения удовлетворяют условиям периодично­ сти и симметрии, свойственным исследуемым формам поте­ ри устойчивости. Ограничимся представлением решений типа (V. 17), для других представлений решений можно полу­ чить аналогичные результаты. Учитывая третьи соотноше­ ния выражений (V.9) и (V.32), приходим к выводу, чтодля не­ сжимаемого тела решения для всех четырех исследуемых

217

Заметим, что для несжимаемого тела при рассматриваемом докритическом состоянии имеют место соотношения (II 1.88). С учетом соотношений (V.32), (V.36), (III.88) и (IX.27) на­ ходим граничные условия на плоскости раздела сред, сфор­

мулированные для функций %( и Х}1’:

Таким образом, для несжимаемого тела граничные усло­ вия на плоскости раздела сред, сформулированные для

функций %( и Х}'\ имеют вид (IX.34), а решение для рас­ сматриваемых форм потери устойчивости — (IX.28) — (IX.31), причем величины % и р{/ определяются из формул

218

(11.50), а т)? — их (III.90). Следует заметить, что с целью нахождения всех величин для наполнителя необходимо во всех формулах гл. II—V поставить индекс 1.

§ 11. Характеристические определители для несжимаемого тела

Подставляя решения (IX.28) — (IX.31) в граничные условия (IX.34), после ряда преобразований в результате обычной процедуры получаем характеристические опреде­ лители в виде (VI.24) при / = 1, 2, 3, 4. Приведем элемен­ ты характеристического определителя в случае формы по­ тери устойчивости первого рода:

219

Для нахождения элементов характеристических опре» делителей, соответствующих формам потери устойчивости второго, третьего и четвертого родов, необходимо в выраже­ ниях (IX.35) сделать замены, указанные в параграфе 3 на| стоящей главы. Выражения (IX.35) значительно упрощав

ются, если принять ag е= 0. Если в выражениях (IX.35) и (VI.24) принять все жесткостные параметры, соответст­ вующие связующему, равными нулю, получим характери­ стическое уравнение для задачи об устойчивости пластины.'

задачи об устойчивости границы раздела двух сред в виде полупространств. Аналогичным образом можно получить характеристические уравнения для задачи о поверхностной неустойчивости полупространства.

В качестве примера рассмотрим неогуковское тело при

условии озз == 0. В этом случае, учитывая выражения (VIII.29) и (III.30), выведем следующие соотношения для заполнителя и связующего:

Учитывая выражения (IX.35) и (IX.36), получаем харак­ теристические уравнения для неогуковского тела для формы

220