книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях
..pdfдачи. Считая цилиндрические поверхности незагруженны ми, из выражений (VI.46) получаем при г = R + Л гранич ные условия для осесимметричной задачи:
Г п 0* |
а |
1 д 1 |
сп°1Э ( а , |
+ |
|
|
Х "й4~ )]"5ь ~Х==0, |
(VII.37) |
|
^йцД + |
(033Я.Г2— й13) -J^-J ~§Г^ — °* |
|||
Величины £?, atk> Р.-s и |
определяются так же, как и |
в предыдущем параграфе. Из всех возможных представле ний решения ограничимся одним в форме (V.15), имеющей для осесимметричной задачи вид
У меО; X = [Л^о/ (vkO + А%оКШ ) +
+ Л Й / Ш ) + А% оКШ )\ cos Y*8* (VII .38)
Подставляя решение (VII.38) в граничные условия (VII.37), после ряда преобразований получаем характери стический определитель в форме (VI.24) при i, / = 1, 2, 3, 4, где введены обозначения
«п (Л> I *£г)------(х -f- е) |
1It [£2 (к + |
®)] + |
||||||
+ (Й + |
* . ) '« . (* + «)]; |
|
|
|||||
«И = |
«11 ( |
Кц Kt £a)i |
«18 а «11 0 It Л £з)» |
|||||
«14 = |
«11 ( |
Kit К t Cs)> |
|
|
||||
«81(Л. Ы =• (й + |
Ш Л ГС. (* + *)]; |
(VII.39) |
||||||
«32= |
«81 ( |
^Ci» Sa)l |
|
|
||||
«83 = |
«31(Л, Сз)> |
|
«84~ |
«81 (-- Kit Сз)> |
||||
|
mnR |
; |
в — |
mnh |
|
|
||
х = — |
|
|
j . |
|
|
Обозначения для klt k2 к Ь1 остаются такие же, как и в выражениях (VI.47). Для нахождения элементов второй и четвертой строк необходимо соответственно в элементах второй и третьей строк заменить знак перед е на противо положный. Для других представлений решения результаты можно получить аналогичным образом.
171
Для тела с потенциалом гармонического типа выражения (VI 1.39) значительно упрощаются. , •
В первой части книги было показано, что при любой по становке для линеаризированных задач основные соотноше ния в случае сжимаемого тела можно представить в виде (11.40), а входящие в него величины определить из (11.42). Заметим, что в выражениях (11.42) <р, являются функциями алгебраических инвариантов тензора деформаций Грина. Здесь, в качестве иллюстрации, покажем, как выражаются функции <jpm при постановке задач в. форме В. В. Новожи лова. Для упрощения положим, что девиатор тензора обоб щенных напряжений и тензора деформаций Грина подобны,
т. е. со* = 0. В этом |
случае из выражений (1.109), (1.110) |
||||
и (1.116) получаем |
|
|
|
! |
|
Фх = ЗК* (<?, е{) е — 2G*(е, е,) е; Щ= 2G*(е, е,); |
ф3 = 0. |
||||
|
|
|
|
|
(VII.40) |
Из выражений (1.34) и (VI 1.40) выводим |
|
||||
ф, = гк* (-[- А , х |
4 - А - |
|
|||
- |
2G* (4- Ау, 4 V S A 2- A i ) |
4- Ау‘, |
|
||
|
V3 |
3 |
________' |
3 |
(VI 1.41) |
ф„ = |
2G* (4 " Ау, ~ У |
з А2 — л?) ; |
ф3= |
0. |
Таким образом, если заданы функции (1.116), определяю щие постановку задач в форме В. В. Новожилова при по добии девиаторов тензора обобщенных напряжений и тен зора деформаций Грина, то легко вычисляются функции фт (11.42), через которые выражаются коэффициенты линеари зированных соотношений. Аналогичная ситуация имеет ме сто и при других постановках.
§ 8. Полый цилиндр при осевой нагрузке (неосесимметричная задача)
Рассмотрим задачу предыдущего параграфа при неосе симметричной форме потери устойчивости. Считая цилинд рические поверхности незагруженными, получаем при г = = R ± h граничные условия в виде (VI.46). Величины
° / а . Pi* и a*i°j определяются |
так же, как и в параграфе 7 |
гл. VI и параграфе 6 гл. VII. |
Решение основных уравнений |
172
выберем в виде (V.15). Подставляя решение (V.15) и выде
ляя в АтПи А^„ множитель у, после ряда преобразований выводим характеристический определитель в форме (VI.24), где введены обозначения
«и (In+и У„) = |
2ЬупХ,!(х + |
е )-1 In+1 ICi (х + |
е)1 + 1 |
||||||||||
+ |
2Ьгп (п — I) (х + |
е)-2 / п[£х (х + |
е)]; |
|
|
||||||||
«ia s |
«и (— Кп+и к пу, |
|
|
|
|
|
|
||||||
«is(A«+i> Л»* Сг) = |
|
2 6 ^ (х -f- е) |
* X |
|
|
||||||||
X In+t К»(х + |
«)] + 1 $ + кг + 2Ь1П(п — \) X |
||||||||||||
Х (х + е)-2] /п[£»(х + |
е)|; |
|
|
|
|
|
|||||||
« 1 4 = |
« 13 ( |
^ И + t » |
К „ J j ) i |
|
|
|
|
||||||
|
|
^13(In+It /я* Сз); |
Кц s= 0tj8( |
*«+«• |
Cl)» |
||||||||
«31 (/„) = |
|
|
(х + |
е)~‘ /„ [£ (х + |
е)1; |
|
|||||||
« 3 2 = |
« 3 1 ( К п У > |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
«33 (/»+1. /«. С*) - |
(Й + |
Ш |
fn+i [£* (X + e)J + |
||||||||||
+ п(Й+ ^l) (x + 8)—I n l£a(x+ e)fc |
|
(VII .42) |
|||||||||||
«34 ~ « a s |
( |
^n+i> |
K H, £a)> |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
« 3 5 |
|
« 3 3 |
( ^ n + l i |
У/i» |
S s ) » |
« 8 8 |
“ |
« 3 3 ( |
/ С п + ь |
С з)» |
|||
Osi (/„+1, /„) =» 2£, (x + |
e)~> У/1+1 ISx (X + e)] + |
||||||||||||
'+ |
[2n (1 - |
n) (x + |
|
e)-2 - |
& I„ lb (x + |
e)l; |
|
||||||
«sas |
«5i( |
У\п+1> Kn)\ |
|
|
|
|
|
|
|||||
« » 3 |
(In+u In> Sa) ~ |
— 2n^j (X + |
e)-1 / « + |
1 [£ 2 (x "H |
|||||||||
+ |
e)] + |
2n (1 - n) (x + |
e)-2 /„ [£2 (x + |
в)]; |
|
||||||||
« 5 4 — « 5 3 ( |
K * + I > K „ , C2)» |
|
|
|
|
|
|||||||
« 6 5 |
|
« 5 3 |
(У/i+lf У/1» (>s)* |
|
— C(j3 (— УС/1-Н* |
Cl)» |
|||||||
x = |
/rat-~-; |
e = |
rrm -y-; |
ftx = (flu — 033^1 ^ « u 1; |
|||||||||
К — «is (Pis + |
«ззЯ-Г2) allVli1; |
|
|
|
|
||||||||
^ 1 |
— M"i2 ( « 1 3 |
+ |
Нчз) «TlVii1. |
|
|
|
|
|
|||||
|
Для определения элементов второй, четвертой и шестой |
||||||||||||
строк нужно |
соответственно |
в элементах |
первой, третьей |
1 7 3
и пятой строк изменить знак перед е на противоположный. Необходимо отметить, что задачи, приведенные в § 7 и 9 гл. VI и § 6 и 7 гл. VII, являются частными случаями на стоящего параграфа. Как и в § 6 гл. VII, выводим, что на торцах цилиндра выполняются условия (VII.35). Таким об
разом, при выбранном реше нии на торцах цилиндра в интегральном смысле выпол няются условия шарнирного опирания.
Аналогичные результаты можно получить и при дру гом выборе решения. Заме тим, что для тела с потенциа
лом гармонического |
типа |
|
выражения |
(VI 1.42) |
значи |
тельно упрощаются. |
|
|
На рис. 6 представлена за |
||
висимость |
е3 = 1 — К3 от |
величины R J R 2 —(R —h)/(R-\-h) при v = 0,3 для различных форм потери устойчивости в случае тела с потенциалом гармонического типа [78]. На оси абсцисс отложена вели чина 100^/^л.
** *
Внастоящей главе получены характеристические уравне ния для ряда задач сжимаемого трансверсально-изотропно го тела при произвольной форме упругого потенциала. Из этих характеристических уравнений можно найти изве стные частные случаи для конкретной формы упругого по
тенциала.
В работе [57] рассматривались пространственные и пло ские задачи в прямоугольной системе координат для тела с потенциалом гармонического типа. Числовые примеры не приводились, докритическое состояние считалось одно родным.
В работе [78] для тела с потенциалом гармонического типа исследованы пространственные задачи в круговой ци линдрической и сферической системах координат. Для задач в круговой цилиндрической системе координат рассмотрены числовые примеры, часть которых приведена в настоящей главе. Эти же примеры помещены в работах [33—35]. Сжа-
174
тие и кручение цилиндра для потенциала частного типа ис следованы в [43].
Вработе [90] рассмотрена устойчивость сферы под дей ствием поверхностей равномерной нагрузки. Материал изо тропный, потенциал общего вида, деформация неосесиммет ричная. Для шести различных случаев граничных условий получены в общем виде характеристические уравнения.
Вработе [98] исследована осесимметричная задача для полого изотропного цилиндра с потенциалом общего вида. Записаны различные представления решений и характери стические уравнения для различных соотношений между
величинами В случае ортотропных сжимаемых тел задачи в прямо
угольной системе координат рассматривались в работах [83, 89], где также исследовался вопрос о возможности по тери устойчивости при растяжении.
Г л а в а VIII
УСТОЙЧИВОСТЬ ОДНОРОДНЫХ НЕСЖИМАЕМЫХ ТЕЛ
Рассмотрим устойчивость однородных несжимаемых тел при однородном докритическом состоянии в случае дейст вия «мертвых» нагрузок. В общем случае тело будем счи тать трансверсально-изотропным, ось изотропии которого совпадает с осью оха. На уравнения состояния никаких ог раничений налагать не будем, кроме требования определен ное число раз дифференцируемости функций, входящих в уравнение состояния. Исследования выполним в прямо угольной и круговой цилиндрической системе координат используя решения § 4—6 гл. V. Полученные ниже харак теристики уравнения справедливы для сжатия и для растя жения.
§ 1. Полоса при одноосной нагрузке
Рассмотрим плоскую деформацию несжимаемого тела в плоскости ХуОХъ- Пусть полоса длиной / и шириной 2Л (0 <; < < /; —h С хг С +h) загружена вдоль оси ох:
о» 9*0; а З = о. |
(VIII.I> |
175
Принимая границы полосы (х2 — ±Л) незагруженными, получаем граничные условия при х2 = ±Л в виде (VI.11). Решение выберем в форме (V.6) при условии
А Г ^ А Г = ВГ = ЯГ = 0. |
(VIII.2) |
В решении (V.6) и (VIII.2) величины % и t]8 определяют |
|
ся из выражений (III. 103), величины а1к и |
— из (11.50), |
а а*° — из (III.86). Из решения (V.6), (VIII.2) и соотноше ний (V.28), (V.30) следует, что при хх = 0 и хг = I имеют место равенства (VI 1.2), следовательно, выполняются в ин тегральном смысле условия шарнирного отирания. Под ставляя решения (V.6), (VIII.1) и (VII 1.2) в граничные усло вия (VI.И), находим характеристические уравнения в виде {VI.24) при *, / = 1,2 для изгибной формы потери устойчи вости и для потери устойчивости с образованием шейки. В случае изгибной формы потери устойчивости элементы характеристического определителя имеют следующий вид:
«и(И2)= |
---fall |
^2^22-- ^2(Pl2 + |
+ 2ai*)l} »l2 shat)2;
«1 2
«2 2
= |
« 1 1 Ы ; |
« 2 1 (%) = ( ^ 2 + Я .2) ch 06T)2 ; |
(VI11.3) |
= |
«21 (%); |
a = Л -J-h. |
|
Для потери устойчивости с образованием шейки элемен ты характеристического определителя можно представить в форме
« и ('Па) = { ^'ilJ-i2r )2— fa n + ^ iflu -f- Я , 2h t a 22 — X
X (pi2 + |
2а12)]} т]2 ch at]2; |
|
(VIII.4) |
|
|
|
|
|
|
« и = |
« и |
(И з); « 2 1 Ы = № |
+ |
^ ) sh «Па.' |
«22= |
«21(И»)- |
|
|
|
Для |
других представлений |
решений типа (V.7), (V.8) |
и им подобных можно получить результаты аналогичным образом. Если в выражениях (VIII.3) и (VI11.4) устремить а -> оо, что соответствует сколь угодно толстой полосе, то находим характеристическое уравнение (VI.,12), соответст вующее поверхностной неустойчивости. Таким образом, при ходим к выводу, что в случае сжимаемого и несжимаемого тел потеря устойчивости сколь угодно толстой полосы име ет характер поверхностной потери устойчивости.
176
Для неогуковского тела (тела с потенциалом типа Трелоара) выражения (VIII.3) и (VII 1.4) значительно упроща ются. При этом имеют место соотношения (VI. 13) и (VI. 14). Ограничимся рассмотрением случая, когда в докритическом состоянии тело находится в состоянии плоской деформации и имеют место соотношения (II 1.104), (VI. 15) — (VI. 18). Подставляя эти выражения в (VI 1.3), получаем формулы для нахождения элементов характеристического опреде
лителя, соответствующего |
изгиб- |
|
|
||||||
ной форме потери |
устойчивости. |
|
|
||||||
Аналогичным образом |
поступаем |
|
|
||||||
для вычисления |
элементов харак |
|
|
||||||
теристического |
определителя, |
со |
|
|
|||||
ответствующего потере устойчивос |
|
|
|||||||
ти с образованием |
шейки. |
В |
ре |
|
|
||||
зультате получаем |
уравнение для |
|
|
||||||
изгибной |
формы потери устойчи |
|
|
||||||
вости |
|
|
|
|
|
о |
/ |
а |
|
(1 + |
Я4)2 sh аЯ—2 ch а — |
||||||||
Рис. |
7 |
|
|||||||
— 4^2ch o d -2sh a = |
0 |
|
|
||||||
(VIII.5) |
|
|
и потери устойчивости с образованием шейки
(1 + Я4)2 ch аЯ—2 sh a — 4Я2 sh аЯ—2 ch а = 0. (VI11.6)
Если в уравнениях (VI 1.5) и (VII 1.6) устремить а-*- оо, то находим уравнение (VI. 19) для поверхностной неустой чивости.
Необходимо отметить, что при исследовании тела с по тенциалом Муни (1.99) уравнения получаются в виде (VIII.5) и (VII 1.6), причем, как видно из этих уравнений, К Рне зависит от С10 (1.98) и См (1.99).
На рис. 7 [881 приведена зависимость ЯкР от параметра
a = л —, где кривая / соответствует изгибной форме по
тери устойчивости, а кривая 2 — потере устойчивости о образованием шейки.
Вычислим составляющую fmn вдоль орта уп вектора на-
пряжений на площадке, определяемой ортом /т в крити ческой состоянии, но отнесем вектор напряжений к едини це площади в недеформированном состоянии. В этом слу чае из выражений (1.49), (1.50) и (II.7) получаем
(VIII.7)
12 3-1365 |
177 |
Для |
неогуковского тела из выражений (VI. 17), (VIII. 1) |
|
и (VII 1.7) находим |
|
|
|
А = 2С10( Я - 7 Г 3). |
(VIII.8) |
Из выражения (VIII.8) и рис. 7 можно вычислить для |
||
каждого |
h |
соответствующее |
значения параметра а ~ л — |
критическое напряжение или критическую силу Р = hfn.
§ 2. Полоса при двухосной нагрузке
Рассмотрим задачу предыдущего параграфа при усло вии, что полоса загружена в двух направлениях (оц ф Ф 0; Ой Ф 0). Будем считать внешние нагрузки «мертвы
ми» (Pj = 0; Pi = 0). В этом случае из выражений (V.31) получаем граничные условия при х2 = ±Л:
|[°п 4* ^1аи + |
2^2Й22 + o ^ i 2Я2 — |
(fi13 -J- 2а13)] —р |
|||
|
+ |
+ 4 i„ ) ~ г \ |
х - 0; |
||
/I2 |
I |
„*° —к |
& |
,2 а» |
(VII 1.9) |
|
|||||
[(h |
+ 0 2 2 1 4 |
2 )-^ |
■**13r R * = “- |
Решение выберем в виде (V.6) и (VII 1.2). В этом решении величины т]2 и т]3 определяются из выражения (III.103),
величины aik и pift — из (11.50), а о*/ — из (III.86). Из ре шений (V.6) и (VII 1.2) следует, что при х, = 0 и х, = / выполняются в интегральном смысле условия шарнирного опирания. Подставляя эти решения в граничные условия (VIII.9), находим характеристические определители для изгибной формы потери устойчивости и для потери устой чивости с образованием шейки.
Для изгибной формы потери устойчивости и для потери устойчивости с образованием шейки элементы характери стического определителя имеют соответственно вид
a il(Tl2)— {(°22 + Л^Ри) т]2—[Ом + 1?\йп + и 2Я,|а22-|-
+ О22Я.1 |
Яг ^(Рхз |
2a13)])t]2sh ат)2; я 12= к Х1 (т]3), |
|
|
(VIII.10) |
“21("П ) = |
K^i + 022Р121) т)2 + Я,г] ch аг]й; |
178
С&22 — Otjl (Чя)* |
® |
^ |
|
|
|
||
ctn (Tla)== { ( ° 2 2 + |
Я2р12) ^ 2 — [Oil + Я?аи + Я| гЯ^а2а+ |
|
|||||
+ О22Я1 |
Яг — Яг(Ц1з + |
2а13)]}t]2char]2; |
а12= а ц (г]3); |
(VIII.ll) |
|||
«а (%) = K^-i'+О22И121) т)2 + Я^эЬ аг)2; |
a ^ p sa .,^ ). |
|
|||||
Аналогично |
можно |
полу |
|
|
|||
чить элементы |
характеристи |
|
|
||||
ческих |
определителей и при |
|
|
||||
другом |
представлении |
ре |
|
|
|||
шений. |
|
пример |
для |
|
|
||
Рассмотрим |
|
|
|||||
неогуковского |
тела. |
В |
этом |
|
|
||
случае имеют место соотноше |
|
|
|||||
ния (VI. 13) и (VI. 14). Если в |
|
|
|||||
докритическом |
состоянии те |
|
|
||||
ло находилось также в усло |
|
|
|||||
виях плоской деформации, то |
|
|
|||||
имеют |
место |
соотношения |
Рис. 8 |
Рис. 9 |
|||
(V.15) и (VI. 16). Подставляя |
|||||||
|
|
||||||
(VI. 15) и (VI. 16) в выражения |
|
|
(III.103), получаем значения корней в виде (VI.18). Под ставляя выражения (VI. 15), (VI. 16) и (V.18) в характери стические определители с элементами (V III.10) и (V III.ll), находим характеристические уравнения в виде (VII 1.5) и (VII 1.6) [581. В результате их решения получаем значения ЯкР, которые представлены на рис. 7. Следовательно, кри тическое удлинение полосы не зависит, а величина крити ческой нагрузки зависит от того, действует одноосная или двухосная нагрузка. Для определения критической на грузки из (VII 1.7) и (VI. 16) находим
— — Л/ц------Ноц Якр — — (2С10 + Якр р°) /гЯКр! ,у щ
•^2= — Йи = — /сГггЯцр1— — (2С10 -}- Я^рр°) /Якр1.
Для удельной критической нагрузки, отнесенной к еди нице плошали недеформированного и деформированного тел, соответственно получаем
Pi = |
— (2С10 -f- Якрр°)Якр; р2= —(2С10-[-ЯкрР0) Якр |
|
и |
.. |
(VIII.13) |
Pi — |
(2С10 Якрр°); р2 = — (2С10 |
Якрр°). (V III.14) |
12* |
179 |
В выражениях (VIII. 12) — (VIII. 14) введен знак «ми
нус» с той |
целью, чтобы при сжатии величины р\, р\, р„ |
||||
р2, 9*t и |
были положительны. № выражений |
(VIII. 14) |
|||
выводим |
ф |
Ро = Ро(^ч>— ^йр2)« |
(VIII.15) |
||
|
р* — р ] ~ ро; |
||||
В соотношениях (VIII. 15) через р0* обозначено значение |
|||||
критической нагрузки р\, |
когда pi = 0, т. е. |
при одно |
|||
осной нагрузке. Поскольку р\ |
0; р^ > |
0 и ро > 0, то из |
|||
соотношений (V III.15) следует, что р\ > |
pi. Таким обра |
||||
зом, нагрузка р2 оказывает |
стабилизирующее |
действие. |
Аналогичные результаты в рамках потенциала Муни об наружены в работе [58]. На рис. 8 и 9 показана зависимость
величин p2/pi и pi/po для различных значений параметра 2 h-j- [58]. Вывод о стабилизирующем действии р2 имеется также в книге [56].
§3. Прямоугольная пластина при одноосной нагрузке
|
Рассмотрим прямоугольную пластину (—Л |
х, |
+Л; |
|||||||
0 < |
< а; |
0 < |
х3 < |
Ь), |
загруженную |
вдоль |
оси |
ох3. |
||
В этом случае |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
аТ, ^ |
og = |
0; |
<&ф 0. |
|
(VIII. 16) |
||
|
Считая граничные поверхности xt = |
незагружен |
||||||||
ными, из выражений (V.38) и (V III.16) выводим граничные |
||||||||||
условия при х, = |
±Л, сформулированные для функций % |
|||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(flu — «а) |
|
+ |
[ — ач |
“н - Ц ' + |
|
|
||||
+ |
(2ри — ^Vis + |
аи) А + (И-13 + °зз^) ^ 2 |
J X |
|
|
|||||
Х |
дха |
-Х = <3; |
|
|
|
|
|
(VIII.17) |
||
|
|
|
а» |
|
|
|
|
|
||
1 |
* |
д> |
W |
|
|
X = 0; |
|
|
|
|
|
|
дх$ |
) |
|
дх1дх3дх3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0» |
^ + / Я,3А . |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx3dx3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 8 0