книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях
..pdfX s h n - ^ t j P ; а м ^ а и ( Л
аЛ (Т1г) = |
^2 ((fljj + |
«2^2 2) Т)2 |
(jijj -f- ОпЯв"2)] X |
||||
X S h n — |
Vk; |
|
|
|
|
|
|
«32 = |
«31 (Чз); |
0 ,3 f a f ) = я Г |
[ ( < $ + |
o X |
,_2) X |
||
X т Г |
- |
Oigf + |
ап<1)Я,2,—2)] s h n - ^ - |
TJ21’; |
|
||
«34 — «38 (ч з *)« |
|
|
|
|
|
||
«41 (Чг) = |
*-2 (P l2 + |
Ои) 4 * ch * -J- Чг! |
«42 3 3 «41 (Чз); ' |
||||
«43 (ч^” ) = |
|
|
+ « l 2 ,)4 ^ , , c h n - ^ - |
4 ^ °; |
|||
«44 = « 4 3 |
(4 3 °). |
|
|
|
|
|
Для нахождения элементов характеристического опре делителя, соответствующего форме потери устойчивости второго рода, необходимо в выражениях (IX.8) поменять
местами ch я у |
4i и sh я ~j~ Чо Для третьего рода — поме |
|||||
нять местами ch л |
4i и sh я |
rjf, а также ch я -у |
г]}1’ |
|||
. |
h |
(1) |
, а Для |
четвертого |
#[. |
и |
и sn |
я — 4) |
рода — ch я -у ту ’ |
||||
. |
h ^ |
(и |
|
|
|
|
sh я у |
ту1. |
|
|
|
|
Выражения (IX.8) значительно упростятся, если считать,,
что тело сжато только вдоль оси ох1Ут. е. что 022= 0. Если в уравнениях (VI.24) и (IX.8) принять равными нулю все жесткостные параметры, соответствующие связующему, то получим характеристическое уравнение, соответствующее задаче об устойчивости полосы. Если в (VI.24) и (IX.8) по
ложить hll -*■ 00 и h(l)/l —>00, то найдем уравнение, соот ветствующее задаче об устойчивости границы раздела двух сред в виде полуплоскостей. Аналогичным образом можно получить характеристическое уравнение, соответствующее задаче о поверхностной неустойчивости полуплоскости.
Для тела с потенциалом гармонического типа следует применять решение в форме (VI.9).
201
§ 4. Представление решений для несжимаемого тела
Рассмотрим построение решений уравнения (III.68) при условии (II 1.103), которые удовлетворяют условиям перио дичности и симметрии, характерным для исследуемых форм потери устойчивости. Ограничимся решением типа (V.6), для других решений можно получить аналогичные резуль таты. Учитывая второе выражение (V.28), для формы поте ри устойчивости первого, второго, третьего и четвертого рода решение выберем соответственно в следующем виде:
|
|
= |
(л |
ch-^- г]2х2г -fB ch -^ - |
sin ~ |
xt; |
||
= (л(,>ch - f nM > + В(,)ch |
|
(IX.9) |
||||||
sin JLXll |
||||||||
|
%f = |
(л |
sh -J- гуси + В sh ■— risxjj sin ~ |
xx; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(IX. 10) |
- |
(л '^ с Ь - f « |
+ |
5 (,,c h - f r « > ) s i n - f jri; |
|||||
|
. h |
= |
|
sh -j- r}2% |
+ В sh |
т}3х8г) sin -j- xx; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(IX.11) |
|
^ |
(,)s h - f r$'x& + B (,,s h - f irfW jsin -ji. |
||||||
|
%i = |
(Л ch |
v\2xit + В ch-^- Т)з*2/) sin -j- xx; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(IX .12) |
X<” - |
(A * sh f |
п}пх$> + |
B(l> sh - f « |
> ) sin - f |
|
Постоянные для последующих слоев для всех четырех форм потери устойчивости выбираются так же, как и в § 2 настоящей главы. Необходимо отметить, что решения
(IX.9) — (IX. 12) записаны для случая, когда т)! и поло жительны и не равны между собой. Учитывая выражения (V.28), (V.31), (IX .1) и (IX.2), выводим граничные условия
на линии раздела, сформулированные для функций %t и Х(У:
202
|
|
+ o iW ) |
|
|
|
|
|
||
- ^ [ ( й + о М |
|
- ^ - х Г ^ х |
|||||||
х |
d |
v . |
|
|
°: |
|
|
|
|
"’J1r X‘i l ^а ,=h<D = |
|
|
|
||||||
^2 1|lcrl? + |
Л|Ои + |
ЛГ*ЛэОа +- I* 2 r t - |
|
||||||
■^2 (м-12 + |
2oU)] ^2 |
+ (022 + Л?р.12 ) “^2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fli ' х |
|
|
|
|
|
|
|
|
12,,fy' “ * r } 5 |
|
х |
т £ * х ^ = - л - |
*4, н |
|
|
(IX.13) |
||||
{ lC ° + Xiflii* + |
|||||||||
+ |
ЛГ2л |
М |
+ |
O £K T W |
- |
л Г Oil? + |
2eg»)] x |
||
X |
- ^ |
+ |
^ |
+ ^ |
^ |
J |
x |
|
|
X _4 > 5C},,14 ,= ^ |
= |
0; |
|
|
|
||||
|
|
x< l*2‘= - ft |
|
|
|
= |
0: |
||
Xa ' $ " x< I* — * “ |
^ |
" £ r X/(U Lfi»—* = °' |
Таким образом, для несжимаемого тела граничные усло вия на линии раздела, сформулированные для функций
и хГ\ имеют вид (IX.13), и решения для рассматриваемых форм потери устойчивости представлены в виде (IX.9) — (IX. 12).
§ 5. Характеристические определители для несжимаемого тела
Подставляя решения (IX.9) — (IX. 12) в граничные условия (IX. 13), в результате обычной процедуры получаем характеристические определители в виде (VI.24) при i, ] =
203.
— 1, 2, 3, 4. Запишем элементы характеристического опре делителя для формы потери устойчивости первого рода4
«и Ols) = |
M'is[(*-1 + ^ W |
) г | + |
Я|] ch |
hry |
|
||||
«12= «11 (Пз).- |
|
|
|
|
|
|
+ ^2If ] X |
|
|
«13(Г1^)) = — ^12[(^>1 + «2^12 |
|
) 4" |
|
||||||
Х с Ь я ^ -т # ’; |
аи = |
а13 (т^1’); |
|
|
|
||||
a 2i (т1а) = |
П А |
* {(а 22 + |
Я?р12) г]2 — [« и |
+ Я?Оц + |
|
||||
+ Я,|2^2Й2+ a2^i 2^г — ^i (Pi2+ 2а18)]}slm -y-Ti2; |
|
||||||||
a2= 02i (%); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«23(itf *> = |
W |
|
{(«S + « |
) |
г Г |
- |
|
||
- i ^ 4 x |
M |
4 |
* r 4 |
M |
4 |
< a r V - |
(1Х141 |
||
— Яс1’’ (и!г + 2а!г’)1) sh я -^у - |
^$ 1; |
|
|
||||||
«84= «S3( Л |
|
|
|
«з8= «31(’Пз); |
|
||||
«31('Пв) ~ |
’Пеsh Я — 'Пг» |
|
|||||||
«зз (ч4п) - |
4" |
sh я |
|
тЦ>; |
а34= а3(т^1*); |
|
|||
«41(71а) = ^2 |
Я ~[~ 71г> |
«48—«41(71з)> |
|
||||||
«43(712’) = |
— ^ |
ch я —у—Г)'1’; |
сс44 == а 43 (т^0). |
|
Для получения характеристических определителей, со ответствующих формам потери устойчивости второго, тре тьего и четвертого рода, следует выполнить замены, ука занные в § 3 настоящей главы. Там же указаны частные случаи, которые можно получить из рассмотренных задач для сжимаемого тела. Подобные частные случаи имеют ме сто и для несжимаемого тела.
Если считать, что в докритическом состоянии тело так же находилось в условиях плоской деформации, то в этом случае для заполнителя и связующего имеют место соотно-
204
шения (III. 104). Из этих соотношений и выражений (IX .1) получаем
|
|
|
|
%и в М” = А; |
A2i в |
*£’ = АГ1. |
(IX. 15) |
|||||
Учитывая |
выражения |
(IX. 15), |
запишем |
соотношения |
||||||||
(IX. 14) в следующей форме: |
|
|
|
|
||||||||
«11Ob) = |
Ы ( ^ + «Зри) |
+ |
А |
2] ch Я-у-Г12! |
|
|||||||
«12 = « ц |
|
("Пз)» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«13 ( т А |
= |
- |
Ц ® |
ЦА8 + |
С 2 2 Р 1 Г ') rjV»* + А .-2] х |
|
||||||
X ch |
|
|
V#h |
а и = |
ам (т^1*); |
|
|
|
||||
«21 (Лз) = |
Лг {(«и + |
AV12) Л2 — t«i? + |
А.2Оц + |
|
||||||||
+ ^_6«22 + |
«22А |
4 — А,-2 (р12 + 2а12)]} s h n -j- t]2; |
||||||||||
«22 :JE «21 (Лз)» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
«23 (Tl2 )) = |
Л21> {(«22 + |
|
) ‘П21> |
[ 0 , Г + А ^ }!1 + |
(IX. 16) |
|||||||
+А_6аг2>+ |
«мА-4 —А-2(р,|2)+ 2pW)]}sh n - * j- r $ ; |
|||||||||||
«24 = «23 (’Пз**); |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
«31 (Лг) — Лз sh я - у |
т|2; |
txM = |
сб31(Пз); |
|
||||||||
«33 (Л21*) = |
Л^ sh Я |
|
T]S,>; |
«34 = |
«33 (Лз *): |
|
||||||
«41 (Лв) = |
|
ch Я - J - Г)2; «42 = |
«41 (Лз)» |
|
|
|||||||
«43 ( № |
= |
— Ch Я ^ |
j - |
Т]21); |
а 44 = |
«43 (лз1*)- |
|
|||||
В случае упрощений для неогуковского тела согласно |
||||||||||||
выражениям (VI.15) и (VI.16) получаем |
|
|||||||||||
ап = |
- |
2р°А~4; |
оЦ’ ------2ро(,,А-4| |
|
||||||||
о22 = |
- |
2р°А4; |
аЙ» = |
- |
2р°<"А41 |
|
||||||
«и = |
«{г = |
0; |
Pi2 = |
— р°; |
pi2 = — Р0<1).' |
205
о» = 2С10+ Х~2р°; |
о ^ г С ^ + Х -у * ”; |
(IX.17) |
|
||
■ о З - а З ^ - О ; |
|
|
ай = 2с10 + х у ; |
= 2do) + ху<". |
|
Кроме того, согласно (VI. 18) находим |
|
|
|
lb з i# ’ = Я-2. |
(IX. 18) |
Поскольку ой = ог22<1), то из выражений (IX. 17) выво |
||
дим следующее соотношение: |
|
|
2 (С}{/ - С10) = X2 (р° - р0*1»). |
(I X. 19) |
|
Учитывая выражения |
(IX. 17) и (IX. 18), получаем соот |
ношения для определения элементов характеристического определителя в случае неогуковского тела:
« и - (2С10— X- : У >) ch я - j - ; а 12 = Х ~ 4 (2 С10—
—X2p°)ch я - у - Х - 2;
«^ ^ - ( г с ^ - х - у ^ с Ь л - ^ - ;
«м = - X - 4(2 C ft- X y < V h л - ^ Х " 2;
«21 = |
- |
(2С10- |
р°Х2) sh Л 4 - ; |
|
|
|||
« 2 2 = |
- |
Х~2(2С10— р°х-2 ) sh я |
Я,-2 ; |
(IX.20) |
||||
«23 — — Х—4 (2Ctt - |
|
|
|
|||||
р°"'Х*) s h n - ^ - ; |
|
|||||||
а 2* = |
— Х~ 2(2С|о — р ^ Х - ^ Ь л - ^ - Х - 2; |
|||||||
«з1 — sh n — ; |
«а* — X |
sh n -j-X ; |
|
|||||
|
* |
|
|
|
4—2 i |
|
о |
|
<Хзз = 5 п я —j— ; |
ссм ^л |
shn —p-A, |
; |
|||||
«« = |
c h n - j- ; |
а 48= |
сЬя-у-Х 2; |
|
|
|||
|
|
. |
ft<‘> |
|
|
, |
ftt*> |
. _2 |
«43 = — ch я —j —; |
«44 = — ch я —— X . |
2 0 6
Для одноосного сжатия (а& = 0) характеристические уравнения значительно упродаются, так как в этом случае имеют место соотношения (VI. 17). После ряда преобразова ний получаем характеристические уравнения для формы потери устойчивости первого, второго, третьего и четверто го рода соответственно в следующем виде:
[2 — Р (1 + |
Я,4))2 th a th а (,,Я“ 2 - |
4Я2 (I — Р)2 х |
|
||
X 1h а th а (” + |
р (1 — Я,4)2 th а (1) th « "‘Я-2 — |
|
|||
— Я-2 (1 + |
Я4)2(1 — P)2thct^- ? th a ,,,^“ 2 + |
|
|||
+ Р(1 — Я,4)2 th a th аЯ-2 + |
(1 + |
Я4 — 2р)2 х |
(1Х.21> |
||
X th а ЯГ2 th а (1) |
= 0; |
|
лЧИ |
|
|
а = я- |
сс(О |
/,(«) |
Р = |
|
|
п- |
с 10 |
|
[2 — р (1 + Я4)]2 cth a th а (1,Я-2 - 4Я2 (1 — Р)2 cth a th а (1) +
+ Р(1 —-Я4)2Шсс(1) th a (1^ “ 2 — Я_2(1 -J- Я4)2(1 - Р ) 2 х
X cth аЯ-2 th а |
(1,Я—2 + Р (1 — Я,4)2 cth a cth аЯ- 2 -{-' |
|
+ (1 + Я4 |
— 2p)2c th a \~ 2th a ;" = 0; |
(1Х.22> |
[2 — Р(1 -1- Я.4))2 cth a cth а (|'Я,-2 — 4Я2(1 - P ) 2c th a c th a <u+
+ Р(1 — ^ )2с1Ьсс(|>с1Ьсх(1,Я,-2—Л -2(1 -|-Я,4)2(1 - Р ) 2 Х
х cth аЯ~2 cth а'^’Я- 2 -J- Р (I —Я.4)2 cth a cth аЯ-2 -f- |
|
+ (1 + Я4 — 2Р)2сШаЯ- 2 сП]а(1) = 0. |
(IX.23) |
[2 — р (1 + Я4)!2 th a cth all)k~ 2— 4Я2(1 —Р)2 th a cthа (,) +
+ р(1 — Я.4)2сШ а,0 сШа(,,Я-2 — Я~2(1 + Я4)2(1 — р)2 х
X th аЯГ2 cth а <иЯ“ 2 + |
р (1 — Я,4)2 th a th аЯ~ 2+ |
|
+ (1 + Я4 — 2P)2th аЯ~2 cth а (,) = 0. |
(IX .24) |
|
Необходимо отметить, что для тела с потенциалом типа |
||
Муни характеристические |
уравнения (IX.21) — (IX.24) |
остаются в силе, только под величиной р следует понимать
величину р |
£|о Н- С |
Точные решения уравнений |
||
С|о + |
Сщ |
|||
|
|
207
(IX.21)— (IX.24) найти не представляется возможным за, исключением асимптотических случаев, поэтому для реше ния таких уравнений применялись численные методы и ЭВМ.
§ 6. Результаты решения характеристических уравнений
Характеристические уравнения (IX.21) — (IX.24) для четырех форм потери устойчивости исследовались числен
ными |
методами при |
помощи |
|
|
|
|
ЭВМ, Были получены решения |
|
|
|
|||
этих |
уравнений |
при |
р = 2; |
|
1 Y' |
J3=W0 |
5; 20; |
100 и h/h!" |
= 0 ,1 ; 0,5; |
|
|||
|
|
|||||
5; 10; 20;оо[4]. Результаты вы- |
0 , 9 |
|
V " " z e |
|||
числений частично приведены |
|
|
||||
|
|
|
0,8 п
\
0,7
¥
¥
0А |
/ |
|
‘ 0 |
0 , 9 5 |
1 ,9 0 Я й ‘" |
|
Рис. |
15 |
на рис. 14—19 в виде зависимостей корней уравнений
(IX.21) — (IX.24) от параметра п ~ 1) Для различных зна
чений параметров р и h/h{1). Кривые, соответствующие раз личным формам потери устойчивости, отмечены цифрами, совпадающими с номером формы потери устойчивости. Из рис. 14 и 15 следует, что для рассматриваемых компоновок
2 0 8
|
А |
|
|
/=100 |
|
0.9 |
>N |
||
|
h -ч |
|||
0.4 |
0S |
1г |
v р ,- 5 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
07
0,2 V
0.6
0.5
ЗА
0,95 /,90 7Th(,) О,АО 05 10 L5ithm I
Рис. 16 |
Рис. 17 |
гибкая форма потери устойчивости), причем длина волны формы потери устойчивости определяется длиной элемента конструкции. Для компоновок материала, соответствующих рис. 14 и 15, длина волны формы потери устойчивости соот ветствует максимуму значения корня уравнений (IX.21) — (IX.24). В рассмотренных примерах при всех значениях па
раметра р и hlHX) — 0,1; 0,5; 5 внутренней потери устой чивости (потери устойчивости структуры) не наблюдалось. Ниже приведены критические значения параметра Я, и зна
чения параметра волнообразования |
а<|) = я |
-у-<1) при р = |
|
= |
2; 5; 20 для тех случаев, когда |
возникала |
внутренняя |
14 |
3-1365 |
|
20Э |
потеря устойчивости (потеря устойчивости в структуре):*
р |
|
2 |
|
|
5 |
оо |
|
20 |
|
|
10 |
20 |
со |
10 |
20 |
10 |
20 |
оо |
|
^кр |
0.471 |
0,468 |
0,468 |
0,734 |
0,734 |
0,734 |
0,894 |
0,890 |
0,890 |
а<» |
0,200 |
0,200 |
0,200 |
0,350 |
0,350 |
0,350 |
0,200 |
0,350 |
0,350 |
Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы.
1.Внутренняя потеря устойчивости (потеря устойчивости
вструктуре материала) реализуется не при любых соотноше-
кает, когда менее жесткие слои значительно толще более жестких слоев (при малой концентрации наполнителя).
2. В случае существования внутренней потери устойчи вости результаты расчета совпадают для формы потери устойчивости с периодом, равным периоду структуры, и для формы потери устойчивости с периодом, вдвое большим пе риода структуры (формы потери устойчивости первого и второго рода). Критическая нагрузка, вычисленная по фор ме потери устойчивости с периодом структуры (форма по тери устойчивости первого рода), не больше критической нагрузки, вычисленной по форме потери устойчивости с периодом, вдвое большим периода структуры (форма по тери устойчивости второго рода).
210