книги / Функции комплексного переменного и их приложения. Ч. 1
.pdfграничные точки, могут принадлежать множеству, а могут и не принадлежать ему.
Если множество М содержит все свои предельные точки, то такое множество называют замкнутым. Из любого множества М можно получить замкнутое множество М , присоединив к М все его предельные (граничные) точки. Множество М называют замыканием множества М.
Если множество F c M является замкнутым в М, то его дополнение M\F является открытым множеством в М. Если же множество G cz М открыто в М, то множество М\ G замк нуто в М.
Под кривой на плоскости С будем понимать непрерывное отображение у : Т -> С промежутка Т действительной оси в комплексную плоскость С.
Если Т = [а,р] - отрезок, то точки А = у(а) и В =у(р) бу
дем называть соответственно начальной и конечной точками кривой. Изменить направление обхода кривой можно, заменив отображение у(t) отображением y(-t) , заданным на отрезке
[ - р ,- а ] .
Под к р и в о й на расширенной плоскости С будем понимать отображение промежутка Т действительной оси в С , непрерыв ное относительно сферической метрики.
Отображение у : Т -> С можно представить в виде
у(0 = x(t) + iy{t) , где функции действительного переменного x(t)
и у(0 определены на промежутке Т. Уравнение вида
z = y(0, t e T
называют комплексным уравнением кривой. Если у(/) = *(0 + + iy(t), то комплексное уравнение кривой можно преобразовать в параметрические уравнения этой кривой на комплексной плос кости:
* = х(0,
У = У(.0,
Две кривые, заданные уравнениями z = y,(7) , /е[а,,р,] и г = у2(т), т е [ а 2,Р2], считают равными, а отображения у,
и у2 - эквивалентными, если существует действительная функ ция t - S(i), т[а2,Р2], непрерывная и возрастающая на отрезке
[а2,Р2] , такая, что S(<х2) = а, , 5(р2) = р, и у,(5(х)) = у2(т),
т е [ а 2,Р2]. Переход от одного отображения к другому, эквива лентному исходному, представляет собой замену параметра кривой.
Для любой кривой АВ с начальной точкой А и конечной точкой В параметр можно выбрать так, что он будет меняться на отрезке [о, 1 .
В самом деле, если кривая АВ определена как отображение
У: [а,р]-> С |
то можно заменить это отображение эквива |
лентным ему |
отображением У|(т) = у(5'(т)), где / = £(т) = |
= а + ( Р ~ а ) т . |
|
Если двум различным значениям tx и /2 параметра кривой у(г) соответствует одна и та же точка комплексной плоскости (Z), т.е. у(/,) = у(<2) и /, * t2, то эту точку называют точкой са мопересечения кривой АВ, заданной уравнением z = у(г),
1е [а >Р] •
Кривую, не имеющую точек самопересечения, называют кривой Жордана (простой кривой).
Если у замкнутой кривой нет других точек самопересече ния, кроме начальной (конечной) точки, то эту кривую называ ют npooibiNoaMi^yTMMjramy^
Пример 2.3
а) Кривая, заданная уравнением z = /sinf |
t - |
п п |
|
2 ’2 ’ |
|||
|
z = -i |
||
это отрезок мнимой оси, соединяющий точки |
и г = / |
||
(рис. 2.7, а). Кривая имеет направление от точки z = -i |
(началь |
ная точка кривой) к точке z = / (конечная точка кривой). Урав
нение этой |
кривой можно записать в виде z = i t , t е [- l,l] или |
z = i(2t - 1), |
t e [0,1]. |
^ 7 А ^7
|
(Z) |
(Z) |
|
|
|
/ “ |
|
i ~ |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
0 _Т |
х |
0 _Т |
х |
|
|
а |
|
б |
|
|
|
|
|
Рис. 2.7 |
|
|
|
б) Кривая, заданная |
уравнением |
z = isint, |
Я |
З я |
|
/е |
2 |
||||
|
|
|
|
2 |
представляет собой тот же отрезок мнимой оси, проходимый дважды: сначала от точки z = -i к точке z - i , а затем от точки z = i к точке z - - i (рис. 2.7, б). Хотя эта кривая и кривая из примера 2.3 (а) определяют одно и то же множество на плоско сти (Z), мы имеем две различные кривые, так как ни одно пред ставление первой кривой не может быть сведено к представле нию второй заменой параметра.
в) Кривая, заданная уравнением z = у(0 = cosr + isin/,
te[ 0,2тс], - это окружность |z|=l, проходимая против часовой стрелки. У кривой совпадают начальная у(0) = 1 и конечная
у(27с) = 1 точки (рис. 2.7, в).
Кривую АВ, заданную уравнением z =JC(0 + iy{t) , t e Г
называют гладкой, если существуют производные x\t) и / ( / ) , непрерывные на промежутке Г и в его концах, одновременно не обращающиеся в ноль, т.е.
*’=*'(/)+ /> '(0 * 0 , t еТ
Так как вектор { x{t)\y\t)} задает направление касательной
к кривой, то гладкость кривой означает, что в каждой ее точке можно провести касательную, которая непрерывно поворачива ется при движении точки М по кривой АВ (рис. 2.8, а).
Рис. 2.8
Кривую называют кусочно-гладкой, если ее можно разде лить на конечное число гладких участков. Кусочно-гладкая кри вая во всех точках имеет касательную, кроме, быть может, ко нечного числа точек, в которых существует предельное положе ние касательной слева и справа. Эти исключительные точки кривой называют угловыми (рис. 2.8, б - угловой точкой являет ся точка М).
Множество на расширенной комплексной плоскости назы вают линейно связным, если любые две его точки можно соеди нить кривой, все точки которой принадлежат этому множеству.
Определение. Множество D точек расширенной комплекс ной плоскости называют областью, если это множество откры тое и линейно связное, т.е.:
1)все точки D являются внутренними;
2)любые две точки области D можно соединить кривой, целиком лежащей в D.
Область D называют ограниченной, если существует такой круг К = {Zе С : | z |< R} , что D c K Все точки комплексной
плоскости по отношению к данной области D можно разделить на три класса:
-точки самой области (они же внутренние точки области);
-граничные точки области;
- внешние точки области (не принадлежащие области и не являющиеся граничными точками области).
Множество всех граничных точек области D составляет границу этой области.
Область D, объединенная со своей границей, представляет собой замкнутое множество D , которое называют замкнутой областью.
К. Жордан (1838-1922) показал, что любая простая замкну тая кривая на плоскости делит плоскость на две не пересекаю щиеся области: первая не ограничена, ее называют внешней по отношению к кривой (внешность кривой), а вторая ограничена, ее называют внутренней по отношению к кривой (внутренность кривой). Для обеих этих областей кривая является границей.
Область D комплексной плоскости (Z) называют односвяз ной, если она обладает следующим свойством: для любой замкнутой кри
вой, лежащей в D, внутренность этой
кривой также целиком принадлежит D (рис. 2.9). Область, не обладающая указанным свойством, называют мно госвязной.
В дальнейшем будем рассматри вать только такие области, границы которых состоят из конечного числа кусочно-гладких кривых и изолиро ванных точек.
Пусть на комплексной плоскости (Z) даны простые замкну тые кривые С15С2,...,Сл, причем кривые С2,...,С„ попарно
не пересекаются и все лежат внутри С1. Множество точек плос кости, расположенных внутри С] и вне С2,...,С„, представляет собой многосвязную область D, границу которой составляют контуры С1?С2,...,СЛ. При этом контур С] называют внешней
границей |
многосвязной области, а совокупность контуров |
С2,...,Сп - |
внутренней границей многосвязной области. Об |
ласть D указанного вида часто называют л-связной. «Дырки» в многосвязной области могут вырождаться в точки, т.е. вместо каких-либо контуров С, могут рассматриваться изолированные
точки (точка С3 на рис. 2.10).
Рассмотрим множество Е с С , состоящее из комплексных чисел, и условимся, что z может иметь в качестве значения лю бое комплексное число из множества Е. В этом случае будем на зывать z комплексным переменным, а множество Е —его обла стью изменения. В этом пункте кратко остановимся на том, ка ким образом можно задавать множество точек на комплексной плоскости, рассматривая эти множества как области изменения комплексного переменного. Познакомимся с уравнениями неко торых кривых в комплексной форме и с построением множества точек z е С , удовлетворяющих заданным условиям. При этом при изложении материала будем пользоваться символами, при веденными в перечне основных обозначений в начале пособия.
Множества, которые описываются комплексными уравне ниями и неравенствами, часто удобно строить исходя из про стой геометрической интерпретации заданных уравнений и не равенств. Если такой подход реализовать не удается, то необ
ходимо |
проанализировать заданные уравнения и неравенства |
||
и |
по |
возможности упростить |
их. Затем можно перейти |
к |
соотношениям, связывающим |
действительные переменные |
|
х = Rez |
и у = lm z . Такой переход в ряде случаев позволяет по |
лучить удобную геометрическую интерпретацию заданных со отношений.
Проиллюстрируем это положение на конкретных примерах.
Пример 2.5. Установить множества точек на плоскости С. удовлетворяющих следующим условиям:
а) Re (iz2) < 2; б) | z - l | < | z - / | ;
в) | z - 2 | - | z + 2 | >3 ;
г) |
arg(z ~i)<~; |
|
|
|
4 |
|
|
д) |
a r g z > | z | . |
|
|
а) Полагаем z =x + iy |
Тогда |
iz2 =i(x2 + 2ixy- у 2) = |
|
= - 2 xy +i(x2 - у 2). Следовательно, |
условие Re (iz2) < 2 эк- |
Бивалентно |
неравенству |
|||
-2 х у < 2 |
или х у > - 1. Это |
|||
условие |
определяет |
мно |
||
жество |
точек, |
располо |
||
женных |
между |
ветвями |
||
гиперболы ху = - 1 |
Соот |
|||
ветствующая |
этому |
мно |
жеству часть комплексной плоскости (Z) на рис. 2.13 выделена (штриховой ли нией отмечена та часть границы множества точек, которая этому множеству не принадлежит).
б) Множество точек, заданное неравенством | z - 1 1< | z - / 1,
можно установить из геометрического смысла неравенства. Де ло в том, что | z - 1 1- расстояние между точками z и 1, а | z - i | - расстояние между точками z и
Известно, что на плоскости геометрическим местом точек, равноудаленных от двух заданных точек z, и z2, является пря мая, которая проходит через середину отрезка, соединяющего
точки, |
и перпендикулярна этому отрезку. В данном случае |
|||||
z, =1, |
z2= i . Точки, находящиеся на этой прямой удовлетворя |
|||||
ют условию | z -11=1 z - / | , ее уравнение х = у |
Нас же интере |
|||||
|
суют |
точки |
z, |
располо |
||
|
женные |
ближе |
к |
точке |
||
|
z = 1, |
чем к |
точке |
z = /. |
||
|
Значит, |
множество, |
удов |
|||
|
летворяющее |
|
условию |
|||
|
| z —11< | z —/ 1, |
имеет вид |
||||
|
{z = х + iy : у <*}. |
|
||||
|
На рис. 2.14 искомое |
|||||
|
множество выделено. |
|||||
|
в) |
По |
условию ра |
|||
|
ность |
расстояний от точ |
||||
|
ки z, |
принадлежащей ис |
комому множеству, до точек z, = 2 и z2 = -2 должна быть не меньше чем 3. Напомним, что множество точек z, удовлетво ряющих условию | z - z, | - 1z - z2 | = 2а, представляет собой
ветвь гиперболы с фокусами z, и z2, причем ту, которая ближе
к |
фокусу |
z. |
Итак, множество точек, для которых |
| z - 2 | - | z + 2| = 3, |
представляет собой левую ветвь гиперболы |
||
с |
фокусами |
в точках z, = 2 и z2 = —2 , действительной полу |
осью а, определяемой из равенства 2а = 3, и расстоянием с = 2 каждого из фокусов до центра гиперболы в начале координат.
Уравнение этой гиперболы
где а = — ; b - л!с2 - а2 = |
. Искомое множество точек соот- |
2 |
2 |
ветствует части плоскости (Z), выделенной на рис. 2.15 (в дан ном случае точки, лежащие на левой ветви гиперболы, принад лежат искомому множест
ву и поэтому его граница |
|||
отмечена на |
рис. |
2.15 |
|
сплошной линией). |
|
||
г) |
Величина |
arg (z - i) |
|
равна |
углу, который век |
||
тор, |
идущий |
из |
точки |
z0= / в точку z, образует |
с положительным направ- |
Рис 2 15 |
|
лением оси ОХ. Поэтому точки z, удовлетворяющие условию
arg (z |
п , лежат на луче, выходящем из точки z0 = i под уг- |
|
417 |
71
лом — к оси ОХ. Учитывая ограничение - 7t <ar g( z - /) на 4
главное значение аргумента комплексного числа, получаем ис комое множество точек плоскости (Z) (рис. 2.16).
|
Рис. 2.16 |
Рис. 2.17 |
д) |
Заданное условие arg z >| z | определяет ограничение н |
угол ср, образованный радиус-вектором точки z с положитель
ным направлением оси ОХ: (р > г >0, где г - модуль комплекс ного числа z.
Соотношение г =ср в полярных координатах представляет
собой уравнение спирали Архимеда.
Архимедова спираль является траекторией точки, которая движется с постоянной скоростью по лучу, вращающемуся с по стоянной угловой скоростью вокруг начала координат. При этом скорость движения точки по лучу и угловая (в радианах) ско рость вращения луча совпадают. Искомое множество точек изо бражено на рис. 2.17.
2.6. Последовательности комплексных чисел
Последовательность {zn} комплексных чисел можно рас сматривать как отображение в С множества натуральных чисел N (как функцию целого положительного аргумента л, прини мающую комплексные значения zn - f(n ), n e N ) . Как и в слу чае последовательности {Х,,} действительных чисел Х п е R, последовательность {zn} будет задана, если известно правило /’ которое позволяет найти любой ее элемент г „ е С по его номе-